2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：图形的对称（含折叠）、平移与旋转

图形的对称（含折叠）、平移与旋转 　　课标要求 1. 通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图 形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 2. 能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对 称图形. 3. 了解轴对称图形的概念，探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的 轴对称性质. 考点精讲 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 5. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一 个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应 点分别与旋转中心连线所成的角相等. 6. 了解中心对称、 中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的 两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 7. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 知识点梳理 1. 知识结构图. 　　2.轴对称和轴对称图形. 名称 轴对称 轴对称图形 定义 把一个图形沿某一条直线 ，如果 它能与另一个图形 ，那么就说这 两个图形成 ，这条直线就 是 ，两个图形中的对应点叫 作 ⁠ 把一个图形沿某一条直线折 叠，如果 ⁠的部分 能够互相 ，那么这个 图形叫作轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴 图示 折叠 重合 轴对称 对称轴 对称点 直线两旁 重合 区别 （1）两个图形；（2）一条对称轴 （1）一个图形；（2）对称轴 条数不确定 续表 名称 轴对称 轴对称图形 轴对 称 的性 质 （1）对称点的连线被 垂直平分； （2）对应线段 ，对应角 ⁠； （3）成轴对称的两个图形是全等图形 判定 沿某条直线折叠后两旁部分能否重合 对称轴 相等 相等 对称 轴 找法 （关 键） 对应点连线的垂直平分线 　　3.中心对称和中心对称图形. 名称 中心对称 中心对称图形 定义 把一个图形绕着某一点旋转 ⁠， 如果它能与另一个图形 ，那么就 说这两个图形关于这一点成 ⁠ ，这个点叫作 ，这两个 图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对 称中心的 ⁠ 把一个图形绕着某一点旋 转 ，如果旋转后图 形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫作中心对称图 形，这个点就是它的对称中心 图示 180° 重合 中心对 称 对称中心 对称点 180° 区别 两个图形 一个图形 中心 对称 的性 质 （1）关于某点成中心对称的两个图形是全等图形； （2）关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心， 且被对称中心平分 判定 绕某点旋转180°后与原图能否重合 对称 中 心找 法 （关 键） 对应点连线的交点 　　4.常见的轴对称图形、中心对称图形. 5. 图形的折叠. （1）几何图形的折叠实质是轴对称，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴 对称； （2）满足折叠性质，即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周 长、面积等均相等； （3）折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分，即折痕可看作垂直平分线、 角平分线. 6. 图形的平移. 定义 在平面内，一个图形整体沿着一定的方向移动一定 的距离，这样的图形运动称为平移 两要 素 平移的 和 ⁠ 性质 （1）平移前后，对应线段 ，对应角 ⁠ ⁠； （2）各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线 上）且相等，可构成平行四边形； （3）平移前后的图形全等 方向 距离 相等 相 等 　　7.图形的旋转. 定义 把一个平面图形绕着平面内的某一点转动一个角度 叫作图形的旋转，这个点叫作旋转中心，转动的角 叫作旋转角 三要 素 旋转中心、 和 ⁠ 旋转方向 旋转角 性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等（一定可以得到 等腰三角形）； （2）每组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋 转角； （3）旋转前后的图形全等 　　考题类型精析 例1　下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） 【思路点拨】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义.在解题时，根 据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可. 【答案】D 　　例2　（2023巴南）如图，△ABC的顶点A（4，0），B（2，4），点C在y 轴的正半轴上，AB＝AC，将△ABC向左平移得到△A'B'C'.若A'B'经过点C，则 点C'的坐标为（　　　） A. （－3 B. （－ C. （－ 3） D. （－3，2） 【思路点拨】利用勾股定理求出OC，即可求出点C的坐标；求出直线AB的 函数解析式即可求出直线A'B'的函数解析式，由此即可得到答案. 【答案】D 例3　（2023西大附中）如图，在正方形ABCD中，F是BC的中点，G是边 DC上一点，且CG＝4.将△AFG沿AG翻折，使点F的对应点E落在CD的延长线 上，连接EF交折痕AG于点H，则HG的长是（　　　） A. 1 B. C. D. 【思路点拨】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、三角形的面 积，解决本题的关键是掌握翻折的性质. 【答案】C 　　例4　如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点 B的坐标为（0，2 .将该三角形沿x轴向右平移，得到Rt△O'A'B'，此时点B' 的坐标为（2 2 则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积 为 　　　. 【思路点拨】本题考查平移的性质及等腰直角三角形的性质.在解题时，抓住 线段OA经过平移扫过的部分是一个平行四边形，先利用平移的性质得出AA'的 长，再根据等腰直角三角形的性质得到AA'对应的高，最后结合平行四边形的面积 公式求解即可. 【答案】4 【解析】∵点B的坐标为（0，2 将该△OAB沿x轴向右平移，得到 Rt△O'A'B'，此时点B'的坐标为（2 2 ∴AA'＝BB'＝2 .∵△OAB是等腰直角三角形， ∴A（ .∴▱OAA'O边AA'对应的高为 . ∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2 × 4. 　　例5　（2023八中）如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接 BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若三角形AED 的周长是17，BD＝9，则等边三角形ABC的面积是（　　　） A. 32 B. 16 C. D. 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，旋转前后对应边、对应角相等是解题 的关键. 【答案】B 　　例6　如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中 点A，B的对应点分别是点A'，B'，则点A'的坐标是（　　　） A. （1，－3） B. （4，0） C. （3，－3） D. （5，－1） 【思路点拨】本题考查旋转的定义和在方格纸中构造垂直的方法.在解题时， 利用旋转的定义画出图形，即可得到点A'的坐标. 【答案】D 【解析】如图，可知点A'的坐标为（5，－1），故选D. 　　例7　如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将 △ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则点P的坐标为（　　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 【思路点拨】选两组对应点，连接后作其垂直平分线，两垂直平分线的交点 即为点P. 【答案】C 　　例8　如图，现有一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该 直角三角形沿DE折叠，使点B与点A重合.若DE＝1，则BC的长为（　　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 【思路点拨】本题考查轴对称的性质和含有30°角的直角三角形的三边关系. 在解题时，抓住△DBE≌△DAE，进而得到∠CAD＝30°，从而求出CD的长， 最终得到BC的长. 【答案】C 　　例9　如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8.将AB沿AE翻折，使 点B落在点B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的 点C'处，EF为折痕，连接AC'.若CF＝3，则tan∠B'AC'＝ 　　　　. 【思路点拨】连接AF，设CE＝x，用含有x的式子表示出AE，AF，再证明 ∠AEF＝90°，由勾股定理得AF2＝AE2＋EF2，AF2＝AD2＋DF2.根据等量代换 列出方程，便可求得x，再进一步求出B'C'的长，即可求得结果. 【答案】 【解析】如图，连接AF. 设CE＝x，则EC'＝CE＝x，BE＝B'E＝10－x. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∴AE2＝AB2＋BE2＝82＋（10－x）2＝164－20x＋x2， EF2＝CE2＋CF2＝x2＋32＝x2＋9. 由折叠知∠AEB＝∠AEB'，∠CEF＝∠C'EF. ∵∠AEB＋∠AEB'＋∠CEF＋∠C'EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB'＋∠C'EF＝90°. ∴AF2＝AE2＋EF2＝164－20x＋x2＋x2＋9＝2x2－20x＋173. ∵AF2＝AD2＋DF2＝102＋（8－3）2＝125， ∴2x2－20x＋173＝125，解得x＝4或6. 当x＝6时，CE＝C'E＝6，BE＝BE'＝10－6＝4，C'E＞B'E，不合题意， 舍去， ∴CE＝C'E＝4. ∴B'C'＝B'E－C'E＝（10－4）－4＝2. ∵∠B'＝∠B＝90°，AB'＝AB＝8， ∴tan∠B'AC' . 命题点1　对称图形的识别 1. （2024重庆B卷）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　A　） A 重庆中考真题回顾 2. （2024重庆A卷）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　C　） C 命题点2　与折叠有关的计算 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在 AC，AB边上，AE AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连 接CE，CF. 若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ ⁠. ​ 4. 宽与长的比是 的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美 感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点 E，则sin∠DAE的值为（　A　） A. B. C. D. A 命题点3　网格中对称作图 5. 如图，△OAB在平面直角坐标系中，网格是由边长为1个单位长度的小正方形 组成，点O，A，B均为格点（网格线的交点）. （1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1； 解：（1）如图所示，△OA1B1为所求； （2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后的△OA2B2； （2）如图所示，△OA2B2为所求； （3）仅用无刻度直尺画出线段AB中点C. （保留作图痕迹） （3）如图所示，线段AB中点C. 命题点4　图形旋转的相关证明及计算 6. （2024重庆A卷）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不与端 点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE. 在直线AD上取一 点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G. （1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含 α的代数式表示）； 解：（1）60°＋α （2）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数 量关系，并证明； 解：（2）CG DE，证明略 （3）如图2，若∠BAC＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当 △AEG为等腰三角形时，请直接写出此时 的值. 解：（3 或 基础过关 1. （2024张家口）如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原 图形重合，则旋转角可以是（　C　） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° C 当堂检测 2. （2024内蒙古）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD 沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF， 点E为AB的中点，连接EF，ED. 若EF＝1，则△BED的面积是（　A　） A. B. C. D. A 3. （2022百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左 平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点B的对应点B'的坐标为 （　D　） A. （3，1） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3） D 4. （2023南开）如图，在△ABC中，∠B＝60°，将△ABC绕点C顺时针方向旋 转至△CDE的位置，F为CE上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点G， 若CF平分∠ACG，∠CAF＝2∠EAF，∠AED＝21°，则∠G＝ ⁠. 34° 5. （2024山东）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点， 且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P， 对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是 （　D　） D ①AF＝DE； ②BM∥DE； ③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形； ④EP·DH＝2AG·BH. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 能力提升 6. （2024济南）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线BD上一点，连 接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点M，将△EFM 沿EF翻折，得到△EFN，连接AN，交EF于点G，若点F是BC边的中点，则线 段AN的长是 ⁠. ​ 7. （2024重庆B卷）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作 BD∥AC. （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E. 若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD； （1）证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC， ∴∠CBD＝180°－∠ACB＝90°. ∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°. ∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAE＝∠BCD. 又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE，∴△ACE≌△CBD（ASA）. ∴CE＝BD. ∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD. ∴AC＝2BD； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长 交AC于点G，连接CF. 过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG 于点N，求证：AM＝CN BD； （2）证明：如图所示，过点G作GH⊥AB于点H，连接HF. ∵BD∥AC，∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG. ∵点F是AD的中点，∴AF＝DF. ∴△AGF≌△DBF（AAS）. ∴AG＝BD，BF＝GF. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∵GH⊥AH， ∴△AHG是等腰直角三角形.∴AH AG BD. ∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF， ∴FH＝FC＝BF BG， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH， ∠GFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC， ∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°. ∵FM⊥BG，∴∠BFM＝90°，∴∠HFM＝∠CFN. 设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°－x，∠CGB＝90°－x. ∴∠HMF＝∠BFM＋∠FBM＝135°－x，∵CN平分∠ACB， ∴∠GCN ACB＝45°，∴∠CNF＝∠CGN＋∠GCN＝135°－x， ∴∠HMF＝∠CNF，∴△HFM≌△CFN（AAS），∴HM＝CN. ∵AM＝AH＋HM，AH BD，∴AM BD＋CN； （3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC. 点P是直 线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点 R是直线AD上一动点，连接BR，QR. 在点P的运动过程中，当BQ取得最小值 时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT. 在点R的运动过程 中，直接写出 的最大值. （3）解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC延长线与点H，连接FH， ∵BD∥AC，∠ACB＝90°，∴∠BCH＝∠CBD＝90°. ∵DH⊥AC，∴四边形BCHD是矩形，∴BC＝DH＝AC. ∵点F是AD的中点，且AF＝AC， ∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，∴△FDH是等边三角形， ∴∠DFH＝∠FDH＝60°，∴∠BDA＝∠DAH＝30°， ∴∠FHA＝∠FAH＝30°，由旋转的性质可得FQ＝FP， ∠PFQ＝60°＝∠DFH，∴∠DFQ＝∠HFP， ∴△DFQ≌△HFP（SAS），∴∠FDQ＝∠FHP＝30°， ∴点Q在直线DQ上运动. 设直线DQ交FH于点K，则DK⊥FH，FK FH，∠FDK FDH＝30°， ∴∠BDQ＝60°.由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， ∴∠DBQ＝30°.设AC＝DH＝6a，则AH DH＝6 a， ∴BD＝CH＝AH－AC＝6 a－6a， ∴DQ BD＝3 a－3a，∴BQ DQ＝9a－3 a. 在Rt△DFK中，FK FH DH＝3a， ∴DK 3 a.∴QK＝DK－DQ＝3a， 在Rt△FQK中，由勾股定理得FQ 3 a. ∵△DFQ≌△HFP，∴PH＝DQ＝3 a－3a， ∴CP＝CH－PH＝3 a－3a. 由折叠的性质可得TQ＝BQ＝9a－3 a， ∵FT≤FQ＋TQ，∴ ≤ . ∴当点Q在线段FT上时 此时有最大值，最大值为 ∴ 的最大值为 . $$