2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破 课件：平行四边形与多边形

　平行四边形与多边形 　　课标要求 1. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探 索并掌握多边形的内角和与外角和公式. 2. 理解平行四边形的概念. 3. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、 对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分 的四边形是平行四边形. 4. 了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 5. 了解正多边形的概念. 考点精讲 　　知识点梳理 一、平行四边形 1. 知识结构图. 2. 平行四边形：两条对边分别 　平行　的四边形叫作平行四边形.平行四边 形是特殊的四边形，平行四边形不具有稳定性. 平行 　　3.性质与判定. 图形 性质 判定 边 对边分别平行 且 　相等　 （1）两组对边分别平行的四边形 是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形 是平行四边形； （3）一组对边 　平行且相等　的 四边形是平行四边形 相等 平行且相等 角 对角分别 　 ， 邻角 　互补　 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角 线 对角线互 相 　平分　 对角线 　互相平分　的四边形是平行四边形 对称 性 是 　中心　对称图形，对称中心是两条对角线的交 点 面积 边长×该边上的高，如图，S平行四边形＝ah 相等 互补 平分 互相平分 中心 　　4.判定方法. （1）已知一组对边相等 （2）已知一组对边平行 （3）已知两条对角线：证这两条对角线互相平分. 　　5.平行四边形中的六个面积关系（表格横线上填“＞”“＜”或“＝”）. 图 形 l是过对称中 心O的任意一 条直线 点B是平行 四边形内 任意一点 点A是对角线 上任意一点 面积 关系 一对全等三 角形： S1 　　S2 S1 　＝S2； OE 　＝OF； AF 　＝CE； BF 　＝　DE 两对全等三角形： S1 ＝S2 　＝　 S3 　＝S4 S1＋S3 　＝ 　 S2＋S4 S1 　＝S2 S1·S3 　 ＝　 S2·S4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 　　6.利用平行四边形的性质进行相关证明与计算时还应掌握以下知识. （1）对边平行可得相等的角，进而可证得相似三角形； （2）对边相等、对角线互相平分、过对称中心的直线可得相等的线段； （3）有一条角平分线AE时可证得等腰三角形（如图1），有两条角平分线时 可得直角三角形（如图2）或平行线段（如图3）. 　　7.平行四边形中九种常见辅助线作法. （1）连接对角线或平移对角线，构造相等线段或平行； （2）截取等长线段，构造等腰三角形； （3）过顶点作对边的垂线，构造直角三角形； （4）连接对角线交点与一边中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位 线或平行； （5）连线、延长或作平行线构造相似三角形； （6）过顶点作对角线的垂线，构造平行或全等三角形. 注：因为矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形，所以本节的部分结论对 于矩形、菱形、正方形同样适用，同学们要注意举一反三. 二、多边形 1. 知识结构图. 2. 多边形的性质. （1）n边形的内角和等于 　（n－2）·180°　（n≥3）； （2）多边形的外角和为 　360°　，这是多边形计算中的一个突破口； （3）从n（n＞3）边形一个顶点可引出 　（n－3）　条对角线，n（n＞ 3）边形共有 　 　条对角线. （n－2）·180° 360° （n－3） ​ 3. 正多边形的性质. （1）各边 　相等　，各内角 　相等　； （2）每个内角等于 　​ 　，每个外角等于 　​ 　； （3）对于正n边形，当n为 　奇数　时，仅是轴对称图形；当n为 　偶数　 时，既是轴对称图形又是中心对称图形； 相等 相等 ​ ​ 奇数 偶数 （4）正n边形有 　n　条对称轴； （5）正多边形有一个外接圆和一个内切圆，为同心圆. 注意：每条边都相等的多边形不一定是正多边形，因为它的每个内角不一定 都相等，如菱形；每个内角都相等的多边形也不一定是正多边形，因为它的边不 一定相等，如矩形. n 4. 多边形剪下一个角后，边数“或多或少或不变”. 考点类型精析 例1　（2023江津）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F 是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF. （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝8 cm，DE＝3 cm，求四边形DEFB的面积. 【思路点拨】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再 证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得，BF＝DE ＝3 cm，四边形DEFB是平行四边形，得其面积＝BF·CD，即可求解. 【答案】（1）证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵CF＝3BF，∴BC＝2BF. ∴DE＝BF. ∴四边形DEFB是平行四边形. （2）解：由（1）得，DE＝BF＝3 cm. ∵D是AC的中点，AC＝8 cm， ∴CD AC＝4 （cm）. ∵∠ACB＝90°， ∴S四边形DEFB＝BF·CD＝3×4＝12（cm2）. 例2　若一个正多边形的内角和等于720°，则这个多边形的一个外角的度数 是 　　　　　. 【思路点拨】本题主要考查多边形的内角和公式和外角和定理.在解题时，通 过内角和公式180°（n－2）确定边数之后，再根据外角和为360°进行计算. 【答案】60° 命题点1　平行四边形的相关证明与计算 1. （2020重庆A卷）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过 点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. AC平分∠DAE. 重庆中考真题回顾 （1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； （1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.∵∠AOE＝50°， ∴∠EAO＝40°.∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠ACB＝∠DAC＝40°. （2）求证：AE＝CF. （2）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°. ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）. ∴AE＝CF. 2. 如图，在▱ABCD中，∠C＝45°，AB＝6 BC＝12.E为BC边上一点， 且满足CE＝AE，作∠CEA的平分线EF交AD于点F，则EF的长度 为 　2 　. 2 命题点2　多边形 3. 如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开 后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF， 则∠AFC的度数为 　135°　. 4. 已知一个正n边形的每个内角都为144°，则边数n为 　10　. 135° 10 基础过关 1. （2024广东）若一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的 则这个 正多边形的边数为（　D　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. （2023梁平）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　D　） A. 对边相等 B. 邻角互补 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 D D 当堂检测 3. （2024辽宁）如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A （－1，2），OC＝5，点B的坐标是（　C　） A. （2，4） B. （2，－4） C. （4，2） D. （4，－2） C 4. （2024盐城）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 ∠ACB＝（　B　）. A. 20° B. 24° C. 40° D. 45° B 5. （2023巴蜀）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并 延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，则阴影部分的面积为（　C　） A. 24 cm2 B. 17 cm2 C. 18 cm2 D. 10 cm2 C 6. （2023沙坪坝）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为线段BC的中点，连接OE，若∠BAC＝90°，AE＝3，AC＝4，则OE的长为（　A　） A. B. 2 C. 5 D. A 7. （2023梁平）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（－3， 2），C（0，2），点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC运动， 点Q从点A出发，开始以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达原点后立刻 以原来4倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若 以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t的值为 　1或3或 　. 1或3或 能力提升 8. （2023南岸）如图，在▱ABCD中，AB∥CD，CB＝2AB，∠DCB的平分线 交BA的延长线于点F. （1）求证：DE＝AE； （1）证明：∵CE是∠DCB的平分线， ∴∠DCE＝∠BCF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝DC. ∴∠DCE＝∠CFB. ∴∠BCF＝∠CFB. ∴BC＝BF. ∵BC＝2AB，∴BF＝2AB. ∴A为BF的中点， ∴AB＝AF，∴AB＝DC＝AF. 在△DEC和△AEF中， ∴△DEC≌△AEF（AAS）.∴DE＝AE. （2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数. （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°.∵△DEC≌△AEF， ∴CE＝FE. ∵BC＝BF，∴BE平分∠FBC. ∴∠EBC＝∠FBE CBF＝35°.∴∠BEA＝35°. 9. （2023一中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的 中点，延长AB至点D，使BD AB，连接EF，ED，EB，FD，ED交BC于 点O. （1）证明：BF与ED互相平分； （1）证明：∵E，F分别是AC，BC的中点， ∴EF∥AB，EF AB. ∵点D在AB的延长线上，BD AB， ∴EF∥BD，EF＝BD. ∴四边形BDFE是平行四边形. ∴BF与ED互相平分. （2）若AB＝4，CF＝3，求OE的长. （2）解：∵∠ABC＝90°，EF∥AB， ∴∠OFE＝180°－∠ABC＝90°. ∵AB＝4，CF＝3， ∴EF AB＝2，BF＝CF＝3. ∴OF＝OB BF . ∴OE . 10. （2023一外）如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，E 是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P. （1）求证： ①AB∥CD； （1）证明：①∵AD∥BC， ∴∠A＋∠ABC＝180°. ∵∠A＝∠DCB， ∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴AB∥CD. ②2∠P＋∠ECB＝180°. 证明：②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE， ∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP. 如图，过点P作PG∥CD， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PG. ∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG. ∴∠BPC＝∠BPG＋∠CPG＝∠ABP＋∠DCP＝∠PBC＋∠ECP. 在△BPC中，∠BPC＋∠PBC＋∠ECP＋∠ECB＝180°， ∴2∠BPC＋∠ECB＝180°. （2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝ 2∠DFC，求∠PCF的度数. （2）解：设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC＝4x. 由（1）知，2∠P＋∠ECB＝180°，∴6x＋4x＝180.∴x＝18°.∴∠P＝54°. ∵3∠D＝2∠DFC，∴设∠D＝2y，∠DFC＝3y.∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠A＋∠ABC＝180°，∠A＋∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y. ∴∠ABC＝∠D＝2y.∴∠CBP＝y.∵CF平分∠BCP， ∴∠BCP＝2∠BCF＝6y.在△BCP中， ∠CBP＋∠P＋∠BCP＝180°，∴y＋54°＋6y＝180°. ∴y＝18°.∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°. $$