精品解析：江苏省淮安市清河开明中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

数学一 一、选择题：（本大题共8小题，共24分，请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ） A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 C. 买一张电影票，座位号是偶数号 D. 没有水分，种子发芽 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知二次函数的图象上有点，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 8. 二次函数的图象如图所示，则方程的两根之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二、填空题：（本大题共8小题，共24分） 9. 抛物线的顶点坐标为_____________． 10. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为________． 11. 已知，则代数式的值为_____________． 12. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 13. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表，根据下表回答问题． 若、两点都在该函数图象上，当时，的值为_____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则_____________． 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为．在以下结论中：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是_____________．（填序号） 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得，连接，取的中点，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 计算下列各题 （1）； （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在“全国安全教育日”来临之际，我校举行了安全知识竞赛，学校随机抽取了部分参赛学生的成绩进行整理，根据成绩绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）： 频数分布表 成绩 频数 频率 请根据上述统计图表信息，解答下列问题： （1）共抽取了______________名学生进行调查； （2）______________；并将频数分布直方图补充完整； （3）若全校有2000名学生，成绩80分及以上者为“优秀”，根据抽样调查结果，估计该校学生得“优秀”等次的学生有______________人． 20. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 21. 李华准备用自己学习到的三角函数知识来测算一下自家楼前景观花坛的宽．如图，李华在阳台处观察到花坛的一边点处的俯角，花坛的另一边点处的俯角，且花坛与地面平行，测得点与李华居住的楼之间的距离，点，，在同一条直线上．求花坛的宽．（精确到，参考数据：，，，） 22. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 23. 某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 24. 已知关于的二次函数（为常数） （1）求证：对于任意的实数，该二次函数图像与轴总有交点； （2）若此抛物线与轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，求的范围． 25. 【问题发现】如图1，在中，，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成60°与15°，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，，，试求的度数． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值； （3）点、点在二次函数图像上，若对于任意，，都有恒成立，请直接写出实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一 一、选择题：（本大题共8小题，共24分，请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 2. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ） A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 C. 买一张电影票，座位号是偶数号 D. 没有水分，种子发芽 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件； D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件； 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程, 方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 故选：D． 4. 已知二次函数的图象上有点，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向下，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数经过点，， ， 故选：A． 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 6. 在中，，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 7. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，解出即可作答． 【详解】令，可得：， 解得：， 那么小球落到地面需要经过的时间为， 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，则方程的两根之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程的根，利用二次函数对称轴为直线即可解决此类问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与一元二次方程的关系． 【详解】设与轴的交点为，， ∴当时，，即，是方程的两个实数根， 根据图象可知， ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，共24分） 9. 抛物线的顶点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据抛物线的解析为进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴此函数的顶点坐标为． 故答案为：． 10. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知，则代数式的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 【答案】0.92 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92， 故答案为：0.92． 13. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表，根据下表回答问题． 若、两点都在该函数图象上，当时，的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，根据可得，即可求解． 【详解】解：根据表格可得抛物线的对称轴为直线， ∵、两点都在该函数图象上， ∴关于对称， ∴ 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定；作轴，垂足为，证明，得到，继而，再根据，，得到，则，最后由即可得解． 【详解】解：作轴，垂足为， ∵轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为．在以下结论中：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是_____________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断①；由顶点坐标得出对称轴，即可判断②；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断③；由图象可知抛物线与直线有交点，即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故①正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故②错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故③正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：①③④． 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得，连接，取的中点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及含30度角的直角三角形，勾股定理，中位线定理，解题的关键是取的中点，连接、，通过勾股定理分别计算出、，是的中位线，从而得到，在中，，当且仅当、、三点共线时取等号，从而得到的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 在中，，，， ，， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， 在中，， 当且仅当、、三点共线时取等号， 即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11小题，共102分） 17. 计算下列各题 （1）； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 在“全国安全教育日”来临之际，我校举行了安全知识竞赛，学校随机抽取了部分参赛学生的成绩进行整理，根据成绩绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）： 频数分布表 成绩 频数 频率 请根据上述统计图表信息，解答下列问题： （1）共抽取了______________名学生进行调查； （2）______________；并将频数分布直方图补充完整； （3）若全校有2000名学生，成绩80分及以上者为“优秀”，根据抽样调查结果，估计该校学生得“优秀”等次的学生有______________人． 【答案】（1） （2）， 补全频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，样本估计总体； （1）成绩在“”的人数为20人，占调查人数的，根据频率频数总数可求出调查人数，进而求出、的值； （2）根据各组频数即可补全频数分布直方图； （3）求出样本中，“优秀”的频率，即可估计总体中“优秀”的频率，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 解：调查人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， （人）， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 故答案为：． 20. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】略 21. 李华准备用自己学习到的三角函数知识来测算一下自家楼前景观花坛的宽．如图，李华在阳台处观察到花坛的一边点处的俯角，花坛的另一边点处的俯角，且花坛与地面平行，测得点与李华居住的楼之间的距离，点，，在同一条直线上．求花坛的宽．（精确到，参考数据：，，，） 【答案】花坛的宽为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得，，在，求出的长，在中，求出的长，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 故花坛的宽为． 22. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）5． 【解析】 【分析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式 （2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围 （3）由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积 【详解】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上， ∴m=6， ∴反比例函数的解析式为：y=， ∴n==﹣2， ∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：y=x+1； （2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2时，kx+b＞． （3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5． ∴S△ABC=×2×5=5． 23. 某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】（1）超过人 （2）该单位这次共有名员工去旅游 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； 【小问2详解】 解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 24. 已知关于的二次函数（为常数） （1）求证：对于任意的实数，该二次函数图像与轴总有交点； （2）若此抛物线与轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，求的范围． 【答案】（1） 证明：，当时， ， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点和解一元二次方程， （1）令，得出一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，得出一元二次方程，然后对方程分解因式，又因一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴，从而可以求得符合要求的正整数m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则 ∴， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，一个交点在轴正半轴，另一个交点在轴负半轴， ∴． 25. 【问题发现】如图1，在中，，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成60°与15°，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，，，试求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由等角对等边得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点，连接，由等腰直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，得出．设，则，从而即可得解； （3）过点作，且，连接，，证明，得出，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而解，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ， ， ． ． 在中，，根据勾股定理，． ； （2）如图，取中点，连接． ，，点为中点， ． ， ， 为等边三角形． ． 设， ， 又∵， ∴． ． （3）过点作，且，连接，，如图， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴，，即， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴，即， 在中， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值； （3）点、点在二次函数图像上，若对于任意，，都有恒成立，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）①先求得直线的解析式为，设点，则，根据，可得，解方程，即可求解；②过点作于点，过点作轴交于点，点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值，进而设点，则，得出的关系式，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据，即可求解． （3）先求抛物线的对称轴，然后分，，三种情况，利用二次函数的图象及性质可以分别求出t的值． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作轴于点， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点代入， 得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵、， ∴ 设点，则， ∵ ∴ ∴，即 解得：或（舍去） ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作轴交于点， ∵点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当线段最大时，取得最大值，， 设点，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， ∴，此时； 【小问3详解】 在中，对称轴为直线， 若，即时， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴； 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∵， ∴ 解得，； ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $