2025年天津市中考数学一模模拟专题复习——圆的证明与计算

2025天津市中考数学一模模拟专题复习——圆的证明与计算 1.（2024年天津市滨海新区一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图① 图② （1）如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； （2）如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 2.（2024年天津市河北区一模模拟）在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 3.（2024年天津市河西区一摸模拟）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 4.（2024年天津市西青区一模模拟）已知是的直径，点，是上两点，，连接，，． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 5.（2024年天津市部分区县一模模拟）已知内接于，且为的直径，为圆上一点，连接，． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，若，过点作的切线与的延长线交于点，且，求的大小． 6.（2024年天津市河东区一模模拟）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，连接并延长交于点G，连接，若，的半径为5，求的长． 7.（2023年天津市河西区一模模拟）在中，为直径，C，D为上两点，连接． （1）如图①，过点C，点D分别作的切线交于点P，当时，求和的度数； （2）如图②，若．过点D作的切线，与的延长线交于点P，，求的度数． 8.（2023年天津市西青区一模模拟） 已知是的直径，点，是上两点，，连接，，． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 9. （2024年天津市南开翔宇期末试卷）已知：在中，为直径，P为射线上一点，过点P作的切线，切点为点C，D为弧上一点，连接． （1）如图1，若，求度数； （2）如图2，若四边形为平行四边形，，求的长． 10.（2024年天津市武清区城关中学期末试卷） 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 11.（2023）年天津市宝坻区第三中学期末试卷）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B． （1）求证：HB是⊙O的切线； （2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径． 12.（2023年天津市海河中学期末试卷）如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上的一点，交于点，连接，，若，． （1）求的度数； （2）若的半径为，求线段的长． 2025天津市中考数学一模模拟专题复习——圆的证明与计算 1.（2024年天津市滨海新区一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图① 图② （1）如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； （2）如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直径，得到，等边对等角，得到，利用，求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而求出的度数； （2）连接，与相交于点，等边对等角，推出，得到，切线，得到，推出四边形为矩形，得到，即可． 【小问1详解】 为的直径， ． ． ， ． ． 四边形是圆内接四边形， ． ． 【小问2详解】 如图，连接，与相交于点． ， ． ， ． ． ． 与相切于点， ，即． ． ， ． ，． 为的直径， ． 四边形为矩形． ． 2.（2024年天津市河北区一模模拟）在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：∵半径经过弦的中点． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 3.（2024年天津市河西区一摸模拟）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，， （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1）； （2）半径为4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【小问1详解】 解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． 【小问2详解】 如图：连接， 直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 4.（2024年天津市西青区一模模拟）已知是的直径，点，是上两点，，连接，，． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，由，得到，再分别解，即可得到答案； （2）如图所示，连接，先由垂径定理的推理得到，即，同理可得，由切线的性质得到，即可证明，得到，求出，则． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴，即， 同理可得， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5.（2024年天津市部分区县一模模拟）已知内接于，且为的直径，为圆上一点，连接，． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，若，过点作的切线与的延长线交于点，且，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由圆周角定理得到，由为的直径得到 ．由则．则． （2）连接，由是的切线得到．又，可证，得到．由等边对等角可证，则 ．进一步求得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， 为的直径， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：连接， 是的切线， ，即． 又，即． ． ． ． ， ． ． ， ． ． 即． 6.（2024年天津市河东区一模模拟）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，连接并延长交于点G，连接，若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，然后由圆周角定理得到解题即可； （2）连接，可以得到，进而求得 是等边三角形，然后利用三角函数解题即可． 小问1详解】 解：如图①，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图②，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线，C为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， :∴ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵半径为5， ∴， ∵ 是的直径， ∴， 在中， ． 7.（2023年天津市河西区一模模拟）在中，为直径，C，D为上两点，连接． （1）如图①，过点C，点D分别作的切线交于点P，当时，求和的度数； （2）如图②，若．过点D作的切线，与的延长线交于点P，，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，首先根据切线的性质，可证得，，可证得垂直平分，再由等腰三角形的性质，可求得的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，即可求得的度数； （2）连接，首先根据切线的性质，可求得，再根据平行线的性质及三角形外角的性质，可求得，最后根据圆周角定理，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：如图：连接，． ，为切线， ，． ， 垂直平分， ． ． 在中，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接． 为切线， ． ， ， ． ∵在中，， ． 8.（2023年天津市西青区一模模拟） 已知是的直径，点，是上两点，，连接，，． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，由，得到，再分别解，即可得到答案； （2）如图所示，连接，先由垂径定理的推理得到，即，同理可得，由切线的性质得到，即可证明，得到，求出，则． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴，即， 同理可得， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. （2024年天津市南开翔宇期末试卷）已知：在中，为直径，P为射线上一点，过点P作的切线，切点为点C，D为弧上一点，连接． （1）如图1，若，求度数； （2）如图2，若四边形为平行四边形，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为的切线可得，由可得，最后可求出的度数； （2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明是等边三角形，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， 为直径， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴ 10.（2024年天津市武清区城关中学期末试卷） 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等 边三角形，则BD＝OB＝OD＝5． 【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°． ∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC＝ ∵AD平分∠CAB， ∴ ， ∴CD＝BD． 在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2， ∴易求BD＝CD＝5； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD＝OB＝OD． ∵⊙O的直径为10，则OB＝5， ∴BD＝5． 11.（2023）年天津市宝坻区第三中学期末试卷）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B． （1）求证：HB是⊙O的切线； （2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线； （2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可得⊙O的直径． 【详解】证明：（1）如图，连接OH， ∵PH平分∠APB， ∴∠HPA＝∠HPB， ∵OP＝OH， ∴∠OHP＝∠HPA， ∴∠HPB＝∠OHP， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 ∴OH∥BP， ∵BP⊥BH， ∴OH⊥BH， ∴HB是⊙O的切线； （2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E， ∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH， ∴四边形EOHB是矩形， ∴OE＝BH＝4，OH＝BE， ∴CE＝OH﹣2， ∵OE⊥PC ∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2， 在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2， ∴OP2＝（OP﹣2）2+16 ∴OP＝5， ∴AP＝2OP＝10， ∴⊙O的直径是10． 12.（2023年天津市海河中学期末试卷）如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上的一点，交于点，连接，，若，． （1）求的度数； （2）若的半径为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，从而得出，由平行线的性质可得：，根据三角形内角和定理即可得出答案； （2）作于点G，根据垂径定理可得，根据30度角直角三角形即可求出，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点G， 根据垂径定理，得， ∵，． ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$