2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：等腰三角形和直角三角形

等腰三角形和直角三角形 　　课标要求 1. 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形 的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等 边三角形的各角等于60°.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形 （或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形. 2. 能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 考点精讲 3. 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形 的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的 三角形是直角三角形. 4. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 5. 能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形. 　　知识点梳理 一、等腰三角形的性质与判定. 定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形 性质 1.两腰 　相等　，如图，AB＝AC 2.两个底角 　相等　（简称等边对等角），如图，∠B＝ ∠C 3.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 　重合　（简 称“三线合一”） 4.是轴对称图形，如图， 　AD　所在直线是等腰△ABC 的对称轴 相等 相等 重合 AD 判定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义） 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等 边”） 　　二、等边三角形的性质与判定. 定义 三条边相等的三角形是等边三角形 性质 1.三条边 　相等　，如图，AB＝AC＝BC 2.三个内角 　相等　，且每个内角大小都是 　60°　，如 图，∠A＝∠B＝∠C＝60° 3.是轴对称图形，有 　3　条对称轴 判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形（定义） 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 相等 相等 60° 3 面积计 算公式 S a2（a是等边三角形的边长） 注意1.平行线、角平分线、等腰三角形知二推一. 2. 尺规作图（等腰三角形存在性）. 尺规作图 三、直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是90°的三角形叫作直角三角形 性质 1.直角三角形两锐角之和等于 　90°　，如图，∠A＋ ∠B＝ 　90°　 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 　一半　，如 图，CD是斜边上的中线，CD＝ 　 AB 3.30°角所对的直角边等于斜边的 　一半　，如图，若 ∠A＝30°，则BC＝ 　 AB 4.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么 　a2＋b2＝c2　 90° 90° 一半 ​ 一半 ​ a2＋b2＝c2 性质 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那 么这条直角边所对的锐角等于 　30°　，如图，若BCAB，则∠A＝ 　30°　 30° 30° 判定 1.有一个角是90°的三角形是直角三角形（定义） 2.有两个角是45°的三角形是直角三角形 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 4.某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 面积计 算 公式 S ab ch，其中a，b是两直角边长，c为斜边 长，h为斜边上的高 　　四、等腰直角三角形的性质与判定 1. 性质. （1）两直角边相等，如图，AB＝CB. （2）两锐角相等且都等于45°，如图，∠BAC＝∠BCA＝45°. 2. 判定. （1）有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. （3）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形. （4）有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形. 五、五个特殊的三角形辅助线作法（三角形的分割） 简记：有特殊角30°，45°，60°，作垂线构造直角三角形. 考题类型精析 例1　如图，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12， AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为（　　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作 DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC. 下 列结论：①∠DCB＝∠B；②CD AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝ 30°，则DE＝EF＋CF. 其中正确的结论有（　　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【思路点拨】根据等角对等边，互余角的关系， 等腰三角形的判定等推理判断即可. 【答案】C 例3　如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°， E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 【思路点拨】由直角三角形斜边上中线的性质可求得AE，CE的值，利用三 角形外角的性质结合等腰三角形的性质可求解∠AEC＝90°，再利用三角形的面 积公式计算可求解. 【答案】C 例4　“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的 骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成的1 个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b.若ab＝8， 大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　　） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用.在解题时，中间小正方形的边长为a －b，4个直角三角形的面积＋小正方形的面积＝25，根据此关系列式求解即可， 通过本题，体会“数形结合，表示出题目中相应线段的长度，再寻找数量关系列 式求解”的解题思路. 【答案】D 【解析】∵中间小正方形的边长为a－b. ∴每一个直角三角形的面积为 ab ×8＝4， ∴4× ab＋（a－b）2＝25. ∴（a－b）2＝25－16＝9，即a－b＝3，故选D. 命题点1　等腰三角形的相关计算 1. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点C旋转，使得点A， D，E在同一直线上，连接BE. 若BE＝2，AE＝7，则CD的长是 　5　. 5 重庆中考真题回顾 2. 如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D是AB边上一点，且 连 接CD，以CD为斜边向下构造Rt△DEC，若∠EDC＝30°，BC＝2，则DE的长 为 　 . ​ 命题点2　等腰三角形的存在性 3. 在等边三角形ABC所在的平面内找一点P，使△PAB，△PBC和△PAC都是等 腰三角形，具有这样性质的点P有 　10　个. 10 4. （2023沙坪坝）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的 顶点A，C分别在x轴、y轴上，已知正方形边长为3，D为x轴上一点，其坐标为 （1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t s. （1）求线段CD的函数解析式； 解：（1）设线段CD的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）. ∵线段CD经过C（0，3），D（1，0）， ∴ 解得 ∴线段CD的函数解析式为y＝－3x＋3（0≤x≤1）. （2）连接PC，PD，求△CPD的面积S关于t的函数解析式； 解：（2）①点P运行至点B时，t 3（s）. 如图1，当点P在CB上时，即0≤t≤3时， 图1 S PC·OC t·3 t. ②当点P运行至点A时，t 6（s）. 如图2，当点P在BA上时，即3＜t≤6时， S＝SOABC－S△OCD－S△ADP－S△BPC 图2 ＝3×3－ ×1×3－ ×2×（6－t）－ ×3×（t－3） ＝6－ . ∴S＝ （3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形？若存在， 直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（3）①如图3，当点P在线段CB上时，若使得△CDP为等腰三角形，则CD ＝DP，设P（p，3）. ∵CD＝DP，则（1－0）2＋（0－3）2＝（1－p）2＋（0－3）2， 解得p1＝0，p2＝2.∴P（2，3）. 图3 ②如图4，当点P在BA上时，设P（3，m）. 有CD2＝（1－0）2＋（0－3）2＝10，CP2＝（0－3）2＋（3－m）2＝m2－6m＋18， DP2＝（1－3）2＋（0－m）2＝m2＋4. 若CD＝CP，则m2－6m＋18＝10，即m2－6m＋8＝0， 解得m1＝2，m2＝4（舍去），∴P（3，2）. 图4 若CP＝DP，则m2－6m＋18＝m2＋4，解得m ∴P（3 .若CD＝DP，则m2＋4＝10， 解得m1＝－ （舍去），m2 ∴P（3 . 综上，点P的坐标为（2，3），（3，2），（3 （3 . 命题点3　等腰三角形及直角三角形相关计算、证明 5. （2023重庆B卷节选）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为线 段AD上一动点（不与点A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转 60°得到线段CF，连接AF. （1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC. 将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠ECF. ∴∠BCE＝∠ACF. 在△BCE和△ACF中， ∴△BCE≌△ACF（SAS）. ∴∠CBE＝∠CAF. （2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点 H，求证：EH＝FH. 解：（2）如图，过点F作FK∥AD，交DH的延长线于点K，连接EK，FD. ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC. ∵AD⊥BC，∴BD＝CD. ∴AD垂直平分BC. ∴EB＝EC. 又∵△BCE≌△ACF， ∴AF＝BE，CF＝CE. ∴AF＝CF. ∴点F在AC的垂直平分线上. ∵AB＝BC，∴点B在AC的垂直平分线上.∴BF垂直平分AC. ∴AC⊥BF，AG＝CG AC. ∴∠AGF＝90°. 又∵DG AC＝CG，∠ACD＝60°，∴△DCG是等边三角形. ∴∠CGD＝∠CDG＝60°.∴∠AGH＝∠DGC＝60°. ∴∠KGF＝∠AGF－∠AGH＝30°.又∵∠ADK＝∠ADC－∠GDC＝30°， KF∥AD，∴∠HKF＝∠ADK＝30°.∴∠FKG＝∠KGF＝30°. ∴FG＝FK. 在Rt△CED与Rt△CFG中， ∴Rt△CED≌Rt△CFG（HL）.∴GF＝ED. ∴ED＝FK. ∴四边形EDFK是平行四边形.∴EH＝HF. 基础过关 1. （2023江北）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（　D　） A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或55° D 当堂检测 2. （2023渝北）下列说法正确的是（　D　） A. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线 B. 在同一平面内，两条不平行的线段必相交 C. 三角形的三条高线交于一点 D. 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形 D 3. （2023南开）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作 AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 4. （2024渝北）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，若CA＝6，CB＝8，CD为 △ABC的中线，点E在边AC上（不与端点重合），BE与CD交于点F，若EC＝ EF，则DF＝ 　 . ​ 5. （2024长春）两块完全相同的等腰直角三角尺按如图所示的方式摆放，线段 AC在直线MN上.若F恰好是线段AB中点，则∠AFD的大小为 　15°　. 15° 6. （2024重庆模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ BC D为斜边AB的中点，E为线段BC上一点，连接AE，在AE上取点 F，连接BF，DF，若∠BFD＝45°，且DF 则线段CF的长为 　 －. －1 7. （2023巴蜀）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D，E分别在 边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1 ＝ 　76°　. 76° 能力提升 8. 古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装 置，如图1是投石机的侧面示意图.AB为炮架的炮梢两顶点，已知A，B两点到炮 轴O的距离分别为1 m和8 m，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索 还有5 m.如图2，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为点A'，点B的对 应点为点B'.当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若AA'垂直地面， ∠BOB'＝60°，此时，点B'到水平地面的距离是 　 m. 9. （2024重庆一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为 D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接 EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝ 　 . ​ 10. （2024辽宁）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为 AB边上一点，BD＝1，E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右 侧作等边三角形DEF，连接AF，若AF 则BE的长为 　 －1或 1　. －1或 1 11. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，G是边AC上的一 点，过点G的直线分别交AB，BC的延长线于点E，F，连接BG，交CD于点 H，若∠A＝∠F. （1）求证：CD∥EF； （1）证明：∵∠BCA＝90°，∴∠GCF＝90°. ∵∠A＝∠F，∠AGE＝∠FGC， ∴∠AEG＝∠GCF＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°. ∴∠AEG＝∠CDA. ∴CD∥EF. （2）若∠CGH＝∠CHG，试说明BG平分∠ABC. （2）解：∵CD∥EF，∴∠CHG＝∠EGB. ∵∠CGH＝∠CHG， ∴∠CGH＝∠EGB. ∵∠AEG＝90°，∴∠BEG＝90°.∴∠BEG＝∠BCG. 在△BEG和△BCG中， ∴△BEG≌△BCG（AAS）.∴∠EBG＝∠CBG. ∴BG平分∠ABC. 12. （2022北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD， DC，延长DC到点E，使得CE＝DC. （1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF. 若AF⊥EF，求 证：BD⊥AF； （1）证明：在△BCD和△FCE中， ∴△BCD≌△FCE（SAS）.∴∠DBC＝∠EFC. ∴BD∥EF. ∵AF⊥EF，∴BD⊥AF. （2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2.若AB2＝AE2 ＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明. （2）解：由题意补全图形如图. CD＝CH. 证明如下： 证明：延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，EF. ∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF. 由（1）可知BD∥EF，BD＝EF. ∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°. ∴AE⊥EF. ∴BD⊥AE. ∴∠DHE＝90°. 又∵CD＝CE. ∴CH＝CE. 13. （2022重庆B卷节选）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 D为 BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时 针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG. （1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若P为FG的中点，连接 PD，求PD的长； （1）解：如图1，连接CP. 图1 由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°.∴△FCG为等腰直角三角形. ∵P是FG的中点，∴CP⊥FG. ∵D是BC的中点，∴DP BC， 图1 在Rt△ABC中，AB＝AC＝2 ∴BC AB＝4.∴DP＝2. （2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN ＝MF，求证：AM＋AF AE. （2）证明：如图2， 过点E作EH⊥AE交AD的延长线于点H. ∴∠AEH＝90°.由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°， ∴∠FEG＝∠AEH. ∴∠AEG＝∠HEF. ∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD BAC＝45°. ∴∠H＝90°－∠CAD＝45°＝∠CAD. ∴AE＝HE. 图2 图2 ∴△EGA≌△EFH（SAS）.∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°. ∴∠EAG＝∠BAD＝45°.∵AB⊥AC，HE⊥AC，∴AB∥HE. ∴∠AMF＝∠HEF. ∵∠AGN＝∠AEG，∴∠AGN＝∠HEF. ∴∠AGN＝∠AMF. ∵GN＝MF，∴△AGN≌△AMF（AAS）. ∴AG＝AM. ∵AG＝FH，∴AM＝FH，∴AF＋AM＝AF＋FH＝AH AE. $$