2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：相似三角形

　相似三角形 　　课标要求 1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实 例了解黄金分割. 2. 通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比. 3. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4. 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比 例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. 考点精讲 5. 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积 比等于相似比的平方. 6. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 7. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 8. 在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点 为原点，有一条边在横坐标上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图 形是位似的. 　　知识点梳理 一、比例及成比例的线段 1. 比例的性质. 基本性质 如果 （b，d≠0），那么ad＝bc； 如果ad＝bc（b，d≠0），那么  　​ 　 等比性质 如果 … （b＋d＋…＋n≠0），那么 合比性质 如果 （b，d≠0），那么 ； 如果 （b，d≠0），那么 ​ 　　2.黄金分割. 如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且 那么线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫 作黄金比（ ≈0.618）. 　　3.平行线分线段成比例. （1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例. 如图2，当l3∥l4∥l5时，有  　​ 　 　​ 　等. ​ ​ （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得 的对应线段成比例. 如图3，当DE∥BC时，有  　​ 　 　​ 　等. 如图4，当DE∥BC时，有  　​ 　等. ​ ​ ​ 二、相似三角形的性质与判定（含位似） 1. 相似三角形的性质. （1）相似三角形的对应角 　相等　，对应边 　成比例　. （2）相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于 　相似 比　. （3）相似三角形的周长比等于 　相似比　，面积比等于 　相似比的平方　. 相等 成比例 相似 比 相似比 相似比的平方 　　2.相似三角形的判定. （1）判定定理. 图示 文字表述 判定定理一 平行于三角形一边的直线和其 他两边或两边的延长线相交， 所构成的三角形与原三角形相 似 判定定理二 三边对应成比例的两个三角形 相似 图示 文字表述 判定定理三 两角对应相等的两个三角形相 似 判定定理四 两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似 　　（2）判定思路. ①有平行截线→用判定定理一 ②有一对等角 ③有两边对应成比例 ⑤等腰三角形 ④直角三角形 　　（3）相似三角形的基本模型. 平行模型 同位角、内错角 相等 共角模型 有一个公共角 双垂直 共线型 有一个公共角， 90°角，同角的 余角相等 对顶角 模型 对顶角相等 一线三 等角型 矩形ABCD中，AE⊥EF得△ABE∽△ECF　 等边△ABC中，∠ADE＝60°得△ABD∽△DCE　 AB＝AC，且∠ADE＝∠B得△ABD∽△DCE 　　3.射影定理. 如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC，则有AD2＝BD·CD，AB2＝DB·CB， AC2＝DC·BC. 4. 一线三垂直常存在的背景图形. 　　5.相似多边形的定义. 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别 　相等　，对应边 　成 比例　，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形 　对应边　的比叫 作相似比. 6. 相似多边形的性质. （1）相似多边形的对应角 　相等　，对应边 　成比例　. （2）相似多边形的周长比等于 　相似比　，面积比等于 　相似比的平方　. 相等 成 比例 对应边 相等 成比例 相似比 相似比的平方 7. 位似. 如图，两个多边形的顶点A与A'，B与B'，C与C'……所在的直线都经过同一 点，并且 ……像这样的两个多边形叫作 　位似多边形　，点 O叫作 　位似中心　. 位似多边形 位似中心 8. 位似的性质. （1）两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质； （2）对应点的连线都经过同一点； （3）对应边互相 　平行　或在同一条直线上； （4）在平面直角坐标系中，若以原点为位似中心，位似比为k，则位似图形 上对应点的坐标比等于k或－k. 平行 考题类型精析 例1　如图，直线a∥b∥c，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C， E，B，D，F，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，则DF的长度为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 例2　（2023巴南）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿 DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G，若BF·AD ＝6，则AF的长为（　　　） A. 3 B. 6 C. D. 2 【答案】D 例3　如图，在▱ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点 F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G. 若EF＝2，则线段CG的长为 （　　　） A. B. 4 C. 2 D. 【思路点拨】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE＝ ∠CFB＝∠ABE＝∠E，从而得到CF＝BC＝8，AE＝AB＝12，再用平行线分 线段成比例定理求出BE的长，然后用等腰三角形的“三线合一”求出BG的长， 最后用勾股定理求解即可. 【答案】C 　　例4　如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 则四边形EFGH的周长与四边形ABCD的周长之比是（　　　） A. B. C. D. 【思路点拨】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握相似多边形的周长 之比等于相似比是解题的关键. 【答案】D 例5　在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（－2， 4），B（－4，0），O（0，0）.以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原 来的 得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是 　　　　　　　　. 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质.在平面直角坐标系中，如果位似 变换以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－ k，根据位似变换的性质计算即可. 【答案】（－1，2）或（1，－2） 【解析】以点O为位似中心，相似比为 把△ABO缩小，点A的坐标是 （－2，4），则点A的对应点C的坐标为（－2× 4× 或（2× － 4× 即（－1，2）或（1，－2）. 例6　（2023南开）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 （－2，1），（－ 1）.以点O为位似中心，在原点的另一侧按1∶2的相似比 将△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标为（　　　） A. （1，－ B. （－4，2） C. （4，－2） D. （4，2） 【思路点拨】直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合 点A坐标即可得出点A'的坐标. 【答案】C 例7　周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时， 他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了 点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点 D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线. 已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测 量示意图如图所示.则河宽AB＝ 　　　　　. 【思路点拨】本题考查相似三角形在实际生活中的应用，根据题目条件构造 出相似三角形的模型是解题关键.在解题时，只要抓住△ABC∽△ADE，根据对 应边成比例列出等式，即可求出河宽AB. 本题培养了学生运用数学模型解决实际 问题的能力. 【答案】17 m 命题点1　相似三角形的性质 1. （2024重庆A卷）若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的 面积比是（　D　） A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9 D 重庆中考真题回顾 2. （2023重庆B卷）如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长 度为6，则DE的长度为（　B　） A. 4 B. 9 C. 12 D. 13.5 B 命题点2　相似三角形性质的应用 3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（　C　） A. 3 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm C 命题点3　位似图形的相关计算 4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且OD∶AD＝1∶2， 若△DEF的周长为2，则△ABC的周长为（　C　） A. 18 B. 8 C. 6 D. 4 C 5. 如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（　B　） A. 点N B. 点K C. 点R D. 点Q B 6. （2022重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相 似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　A　） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 A 7. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA＝AD，则 △ABC与△DEF的面积比是（　C　） A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 1∶9 C 基础过关 1. （2024广西）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝5，CE＝6，则DF 的长为（　A　） A. B. 7 C. 8 D. A 当堂检测 2. （2023八中）若 则 （　C　） A. B. C. D. C 3. （2024潍坊）如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器 面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割 点，则支撑点C，D之间的距离为（　A　）（结果保留根号） A. （80 －160）cm B. （80 －120）cm C. （40 －80）cm D. （80 －120）cm A 4. （2023一中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中 心，若 ABCD的面积是25，则四边形EFGH的面积是（　A　） A. 4 B. 10 C. D. A 5. （2024西安）一种燕尾夹在闭合状态时的示意图如图1，图2是在打开状态时的 示意图（此时AB∥CD），相关数据（单位：mm）如图所示，从图1闭合状态到 图2打开状态，点B，D之间的距离减少了（　D　） A. 10 mm B. 20 mm C. 22 mm D. 25 mm D 6. （2023渝中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，DE∶EC＝ 2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F. 若 2，则 （　C　） A. 15.5 B. 16.5 C. 17.5 D. 18.5 C 7. 下列说法正确的是（　C　） A. 有两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似 B. 各有一个角是40°的两个等腰三角形相似 C. 有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D. 一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 C 8. （2023大渡口）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2 cm，∠BAC＝ 120°，AD⊥BC于点D，P是边BC上的一个动点，以AP为边向右作 △APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 　 cm. ​ 能力提升 9. （2024忠县）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点E，AB＝AD＝ 3 BD＝6，∠BCD＝90° 则AC＝ 　2 　. 2 10. （2024浙江）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影 长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得 到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现 第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得 第一时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为 　24　尺. 24 11. （2022上海）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC 上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； 证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵CF＝BE， ∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF. 在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF（SAS）.∴∠CAE＝∠BAF. （2）CF·FQ＝AF·BQ. 证明：（2）∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF. ∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴ . ∴△ACE∽△AFQ. ∴∠AEC＝∠AQF. ∴∠AEF＝∠BQF. ∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE. ∴∠BQF＝∠AFE. ∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ. ∴ .即CF·FQ＝AF·BQ. 12. （2024上海）如图，过△ABC顶点C作直线CF分别与AB及中线AD交于点 F，E，过点D作DM∥FC交AB于点M. （1）若S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，求AE∶ED的值； （1）解：∵DM∥FC，∴△AEF∽△ADM，∴（2 . ∵S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，∴S△AEF∶S△ADM＝2∶5， ∴（2 ∴ 即 ∴AE∶ED . （2）求证：AE·FB＝2AF·ED. （2）证明：∵DM∥FC，∴ BDM∽△BCF， ∴ .∵D是BC中点，∴ ∴BF＝2BM＝2MF，∴ 即 ∴AE·FB＝2AF·ED. 13. （2024武汉）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫作 格点.A，B，C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成 画图，画图过程用虚线表示. （1）在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的 线段CD，再将PC绕AC的中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA； 解：（1）如图1，线段CD，AG即为所求. 图1 图1 （2）在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的 得到△EFC，画出 △EFC； 解：（2）如图2，△EFC即为所求. 图2 图2 （3）在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM＋MN最小. 解：（3）如图3，点M，N即为所求. 图3 图3 14. （2024乐山）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形， ∠BAC＝∠DAE＝90°. （1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证： ①△ABE≌△ACD； （1）证明：①∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠EAC＝∠DAE－∠EAC，即∠BAE＝∠CAD. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS）. ②BP⊥CD； 证明：②∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD. ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠BPC＝∠BAC＝90°， 即BP⊥CD. （2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE， CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6 AD＝3. ①求证：△BDP∽△CDA， （2）①证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD. ∵∠BDP＝∠CDA，∴△BDP∽△CDA. ②求△PDE的面积. ②解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6 ∴AB＝AC＝6 × 6. 在△ADE中，∠DAE＝90°，AD＝AE，AD＝3，∴AE＝3， ∴CE＝CA＋AE＝9，在Rt△ACD中，∠DAC＝90°， 由勾股定理，得CD 3 同（1）②易得BP⊥CD，∴∠CAD＝∠CPE＝90°. ∵∠ACD＝∠PCE，∴△CAD∽△CPE， ∴ 即 解得PE CP ∴PD＝CP－CD －3 ∴S△PDE PD·PE × × . $$