2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破 课件：线段、角、相交线与平行线

线段、角、相交线与平行线 　　课标要求 1. 通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和 点等. 2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义. 3. 掌握基本事实：两点确定一条直线. 4. 掌握基本事实：两点之间线段最短. 5. 理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离. 考点精讲 6. 理解角的概念，能比较角的大小. 7. 认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的 和、差. 8. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角） 的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质. 9. 理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的 垂线. 10. 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 11. 掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 12. 识别同位角、内错角、同旁内角. 13. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相 等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 14. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上. 15. 理解平行线的概念并掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么两直线平行. 16. 掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 17. 掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 18. 探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错 角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直 线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）. 19. 了解平行于同一条直线的两条直线平行. 20. 能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 21. 能通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 22. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概 念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 23. 知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过 程可以有不同的表达形式，会用综合法的证明格式. 24. 了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 25. 通过实例体会反证法的含义. 　　知识点梳理 一、线段、线段和差、直线 1. 两个基本事实. （1）经过两点，有且仅有一条直线；（2）两点之间， 　线段　最短. 2. 两点间的距离. 连接两点之间的线段的长度. 线段 3. 线段的和与差. 如图，在线段AC上取一点B，则有 （1）AB＋ 　BC　＝AC； （2）AB＝ 　AC　－ 　BC　； （3）BC＝ 　AC　－ 　AB　. BC AC BC AC AB 4. 线段的中点. 如图，点M把线段AB分成线段AM与MB，如果AM＝MB，则点M叫作线 段AB的中点，且AM＝MB＝ 　 AB. ​ 5. 知识拓展. （1）经过平面上n个点中的任意两点画直线，最多可画 条. （2）一条线段上有n（n≥2）个点（包括线段的两个端点），则线段的总条 数为 . （3）n条直线，两两相交，交点最多有 个. 二、角、相交线、平行线 1. 角的分类（α为角的大小）. 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜α＜ 90° α＝90° 90°＜α＜ 180° α＝180° α＝360° 　　2.角中度、分、秒的换算. 1°＝ 　60　'，1'＝ 　60　″. 注：角的度、分、秒是60进制的. 如：34.5°＝ 　34　° 　30　'；112.27°＝ 　112　° 　16　' 　12　″. 60 60 34 30 112 16 12 3. 余角、补角. （1）余角：如图，两个角的和为 　90°　，则这两个角互为余角. 同角（等角）的余角 　相等　.（常在涉及直角的角度转化中使用，如三垂直 证全等、相似，互余证切线等） 90° 相等 （2）补角：如图，两个角的和为 　180°　，则这两个角互为补角. 同角（等角）的补角 　相等　. 拓展：利用一副三角板，可以拼出15°，75°，105°，120°，135°， 150°，180°的角. 180° 相等 4. 角平分线. （1）概念：若从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，则 称这条射线为这个角的平分线. （2）定理：角的平分线上的点到角的两边的距离 　相等　. （3）逆定理：角的内部到角两边的距离 　相等　的点在角的平分线上. 相等 相等 （4）与角平分线（下面图中OC均为∠AOB的平分线）有关的四大模型及辅 助线作法： 过OC上点C向两边作 垂线CD，CE，则有△OCD≌△OCE D为OA上任意一点，在OB上 截取OE＝OD，连接CD，CE， 则有△OCD≌△OCE 过OC上点C作DE⊥OC， 则有△OCD≌△OCE， △ODE为等腰三角形 过OC上点C作CD∥OB， 则有△OCD为等腰三角形 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系 现；角平分线加垂线，三线合一试试看；角平分线加平行线，等腰三角形必呈现. 5. 相交线与三线八角. （1）对顶角 　相等　，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5和∠7，∠6与∠8互 为对顶角. （2）邻补角之和为 　180°　，∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8 互为邻补角. 相等 180° （3）同位角有∠1与∠5，∠2与 　∠6　，∠3与 　∠7　，∠4与 　∠8　. （4）内错角有∠3与∠5，∠4与 　∠6　. （5）同旁内角有∠3与∠6，∠4与 　∠5　. ∠6 ∠7 ∠8 ∠6 ∠5 6. 垂线与垂线段. （1）垂线：在两条直线相交形成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这 两条直线互相垂直，交点叫作垂足. （2）垂线段：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点与垂足连线的线段叫 作该直线的垂线段，垂线段的长度就是直线外一点到已知直线的距离. （3）垂线的性质. ①在同一平面内，过一点 　有且只有一　条直线与已知直线垂直. ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 　垂线段　最短. 有且只有一 垂线段 （4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. （5）垂直平分线. ①定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线. ②性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 如图，DE垂直平分BC，则BE＝EC＝ 　 ，BD＝ 　CD　. BC CD 7. 平行公理及推论. （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）推论：若a∥b，b∥c，则a 　∥　c. 拓展：若m∥l，n∥l，则m∥n. ∥ 8. 平行线的性质与判定. （1）同位角 　相等　 两直线平行. （2）内错角 　相等　 两直线平行. （3）同旁内角 　互补　 两直线平行. 相等 相等 互补 9. 两条平行线间的距离. （1）概念：过直线上一点作这条直线的平行线的垂线，垂线段的长度叫作这 两条平行线间的距离. （2）性质：两条平行线间的距离 　处处相等　. 处处相等 【归纳总结】由平行线联想到的： ①角度之间的关系（相等、互补），如图1. ②面积相等（同底等高），如图2. ③线段成比例，如图3. ④三角形相似，如图4. 三、定义、命题、定理、证明 1. 定义：对名称和术语的含义加以描述，并作出明确的规定，也就是给出它 们的定义. 2. 命题：判断一件事情的句子叫作命题.一般地，命题都是由条件和结论组 成的. 3. 真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题. 4. 假命题：如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题. 5. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 6. 反例：要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子，使其具备命题的条 件，而不具备命题的结论，这样的例子称为反例. 7. 定理：经过推理证实了正确性的真命题. 8. 证明的必要性：实验、观察、归纳得出的结论可能正确也可能不正确，因 此，一个数学结论是否正确必须进行推理并做出判断，这个推理过程就叫作证明. 9. 反证法：适用于直接证明比较困难，情况多而复杂，但是否定比较简单的 命题.用反证法证明的步骤： （1）反设：假定要证的结论不成立，而设结论的反面成立； （2）归谬：将“反设”作为条件，经过正确推理，导出与定义、基本事实、 定理或与已知条件产生矛盾的结论； （3）因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的 反面不成立，那么结论一定成立. 考题类型精析 例1　（2023西大附中）已知点A，B，C位于直线l上，其中线段AB＝4， 且2BC＝3AB，若点M是线段AC的中点，则线段BM的长为（　　　） A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 1或3 【思路点拨】分两种情况：当点C在点B的右侧时和当点C在点B的左侧 时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系，计算即可. 【答案】C 例2　（2023育才）当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是 （　　　） A. 9时 B. 10时 C. 4时或8时 D. 2时或10时 【答案】D 例3　如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中，∠α与∠β互余的 是（　　　） 【思路点拨】根据平角的定义、同角的余角相等、等角的补角相等和邻补角 的定义对各选项进行分析判断，即可得到答案.通过本题，进一步理解与掌握余 角、补角、邻补角的概念及性质. 【答案】A 例4　（2023沙坪坝）如图，AB∥CD，CQ平分∠BCD，连接AQ，交BC 于点P. 若∠AQC＝51°，∠BAQ＝23°，则∠APC＝　处 . 【思路点拨】本题考察了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的推 论，熟练掌握这些性质是解题关键. 【答案】79° 命题点1　点、线、面 1. 如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从上面看到该几何体的形状 图是（　C　） C 重庆中考真题回顾 命题点2　利用平行线性质求角度 2. （2024重庆A卷）如图，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数是（　B　） A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° B 3. （2024重庆B卷）如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　C　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 125° C 4. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB 于点H，GE平分∠FGD. 若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数. 解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，∴∠FGH＝55°. ∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 命题点3　命题 5. 用三个不等式xy＞0 x＋y＞0中的一个不等式与x＞y作为条件，余 下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为 （　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 6. （2024重庆模拟）下列命题是真命题的是（　D　） A. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形 D 基础过关 当堂检测 1. （2023巴蜀）在如图所示四个几何体中，是棱锥的是（　A　） A 2. （2023一外）如图，已知点C是线段AB上一点，AC∶BC＝8∶3，E是AB的 中点，D是AC的中点.若DE＝9，则AB的长为（　D　） A. 48 B. 52 C. 60 D. 66 D 3. （2022自贡）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是 （　A　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 150° A 4. （2024唐山）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体 后，与顶点E重合的顶点是（　D　） A. A B. B C. C D. D D 5. （2024西安）如图，直线AB∥CD，点E在直线CD上，且AE⊥BE，∠1＝ 55°，则∠2的度数为（　A　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 125° A 6. 下列定理中，没有逆定理的是（　C　） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 C 7. （2023南开）72°的余角为 　18°　. 8. （2023西大附中）如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD， BC的中点.下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②若AC＝BD，则AM＝ BN；③AC－BD＝2（MC－DN）；④2MN＝AB－CN. 其中正确的结论 是 　①②③　. 18° ①②③ 9. （2023南开）将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，OC和OE为折痕， 点A，D折叠后的对应点分别为点A'，D'，若∠A'OD'＝20°，则∠COE＝ 　80°. 80° 能力提升 10. （2022达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一 个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则 ∠PNM＝（　C　） A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° C 11. （2023南开）下列说法中正确的有（　B　） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②互为邻补角的两个角一定互补； ③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；⑤两 条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 12. （2023巴蜀）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平 分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，若4∠BOE＋∠BOC＝180°，∠DOE＝ 70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ 　110°或70°　. 110°或70° 13. （2022张家界）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝ 　35. 35° 14. 如图，O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD ＝90°. （1）如图1，过点O作射线OE，使OE平分∠AOC，当∠COE＝25°时，求 ∠BOD的度数； 解：（1）∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°. ∵OE平分∠AOC，∴∠COE AOC，∴∠AOC＝50°， ∴∠BOD＝180°－∠COD－∠AOC＝180°－90°－50°＝40°. （2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好平分∠AOD时，求出∠BOD与 ∠COE的数量关系. 解：（2）∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°， ∴∠AOC＝90°－∠BOD. ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOC＋∠COE AOD＝45° AOC， 即∠AOC＝90°－2∠COE. ∴90°－2∠COE＝90°－∠BOD， 即∠BOD＝2∠COE. $$