2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：三角形及全等三角形

三角形及全等三角形 　　课标要求 1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形 的稳定性. 2. 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 3. 了解三角形重心的概念. 4. 探索并证明三角形的中位线定理. 5. 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形. 考点精讲 6. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 7. 掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 8. 掌握基本事实：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等. 9. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 10. 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 11. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 　　知识点梳理 一、三角形的基本性质 1. 三角形的分类. 三边都不相等的三角形 等腰三 角形 底与腰不相等的 等腰三角形 等边三角形 （1）按边分类 （2）按角分类 2. 三角形的三边a，b，c的关系. （1）任意两边之和 　大于　第三边，如图，a＋b 　＞　c. （2）任意两边之差 　小于　第三边，如图  　＜　c. （3）给出三条线段的长度，若两条较短的线段之和大于第三条线段长度即可 构成三角形，反之不能构成三角形. 大于 ＞ 小于 ＜ 3. 三角形的内角和与内外角关系. （1）三角形的内角和等于 　180°　. （2）三角形的外角和等于 　360°　. （3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，如图，∠1 ＝ 　∠A＋∠B　. （4）三角形的一个外角 　大于　与它不相邻的任意一个内角，如图， ∠1 　＞　∠A，∠1 　＞　∠B. 180° 360° ∠A＋∠B 大于 ＞ ＞ （5）在同一个三角形中，大边对大角， 等边对等角，小边对小角. 4. 三角形的稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长 固定，其形状和大小就固定不变了，三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如 桥梁、起重机、人字形屋顶等. 二、三角形中的重要线段 1. 高线：三角形一个顶点到其对边所在直线的垂线段. （1）如图1，AD为△ABC边BC上的高线，则有AD⊥BC，∠ADB＝ ∠ADC＝90°. （2）锐角三角形的三条高线都在三角形 　内　，直角三角形其中两条高线恰 好是直角边，钝角三角形其中两条高线在三角形 　外　. 内 外 2. 中线：连接三角形一个顶点与其对边中点的线段. （1）如图2，AD为△ABC边BC上的中线，则有 ①BD＝CD＝ 　 BC. ②S△ABD＝S△ACD＝ 　 S△ABC. ​ ​ （2）三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，如图2，点O为△ABC的重 心，则有  　2　. 2 3. 中位线：连接三角形两条边中点的线段.如图3，DE，DF，EF均为 △ABC的中位线，则有： （1）位置关系：DE 　∥　BC. （2）数量关系：DE＝ 　 BC. （3）△DEF的周长＝ 　 △ABC的周长. （4）△DEF的面积＝ 　 △ABC的面积. ∥ ​ ​ ​ 4. 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点 与交点之间的线段. （1）如图4，AD为△ABC的一条角平分线，则有∠BAD＝∠CAD ＝  　 ∠BAC. （2）三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心，如图4，点O为△ABC 的内心，则点O到△ABC三条边的距离相等. ​ （3）与角平分线有关的三个角度关系： ①如图5，在△ABC中，若∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则有∠BPC ＝90°＋ 　 . A ②如图6，在△ABC中，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则有 ∠BPC A. ③如图7，在△ABC中，若∠CBD与∠BCE的平分线交于点P，则有∠BPC ＝90°－ 　 . A 5. 三角形中“中点”问题的四种常见模型及辅助线作法. 倍长中线 连接中点构造中位线 构造三线合一 构造斜边中线 （1）单个中点首先考虑倍长中线. （2）多个中点，首先考虑中位线（平行四边形中连接对角线即可产生中 点）. （3）等腰三角形底边出现中点考虑三线合一. （4）直角三角形斜边出现中点考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，另外还产生了两组相等的角. 6. 四种重要线段把三角形分成两部分的面积比. 图 示 原 理 不等底同高 等底同高 S左∶（S左＋ S右）＝1∶4 以c，d为底，不等 底等高；以a，b为 底，不等底同高 结 论 S左∶S右＝a∶b S左＝S右 S左∶S右＝1∶3 S左∶S右＝a∶b＝ c∶d 　　三、全等三角形 1. 定义：能够 　完全重合　的两个三角形叫作全等三角形. 2. 性质. （1）全等三角形的对应边 　相等　，对应角 　相等　. （2）全等三角形的周长 　相等　，面积 　相等　. （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线和中位线都 　相等　. 完全重合 相等 相等 相等 相等 相等 　　3.判定. （1）判定定理. 已知条 件 三边对应相 等 两边及其夹 角对应相等 两角及其夹 边对应相等 两角及其中 一角的对边 对应相等 直角三角形 中斜边和一 条直角边对 应相等 图示 适用的 定理 SSS SAS ASA AAS HL 　　注意：“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等. （2）判定思路. 找夹角➝SAS 找第三边➝SSS 已知一边和一角对应相等 边为角的对边➝找另一角➝AAS 边为角的一边 找夹角的另一边➝SAS 找夹边的另一角➝ASA 找边的对角➝AAS 找夹边➝ASA 找一角的对边➝AAS 已知两边对应相等 已知两角对应相等 　　考题类型精析 例1　（2023巴蜀）如图，在△ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是 △ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＋∠P＝ （　　　） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 【思路点拨】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角和，可求出∠A的度数，再根据补角的定义、三角形的内角和分别求出 ∠ACB，∠P的度数，最后求出结果. 【答案】C 例2　如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC， ∠ABC的平分线，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠C＝（　　　） A. 75° B. 80° C. 85° D. 90° 【思路点拨】本题考查三角形内角和定理、角平分线与外角的概念.在解题 时，先求出∠C的度数，再根据AE是∠BAC的平分线与外角等于不相邻两内角之 和得出∠AED的度数，并求出∠EAD的度数，从而得到答案. 【答案】A 例3　若一个三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是 （　　　） A. 1 B. 2 C. 8 D. 11 【思路点拨】本题考查三角形三边关系定理及推论.在解题时，设第三边的长 为x，根据三角形三边关系定理及推论列出不等式即可求解. 【答案】C 例4　（2023巴蜀）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线 段AD交于点F，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，则∠DEF的度 数为（　　　） A. 28° B. 36° C. 38° D. 42° 【思路点拨】由三角形的内角和定理求得∠CAB的度数，然后由全等三角形 的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB. 结合已知条件易求∠EAB的度数；再根据三 角形的内角和是180°结合图形可得∠DEF的度数. 【答案】B 　　例5　在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.以CA为边在∠ACB的另一 侧作∠Acm＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线cm上截取CE＝BD， 连接AD，DE，AE. （1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数； （2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F， 请问第（1）题中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说 明理由. 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，先证明 △ABD≌△ACE，再判断△ADE的形状，即可得出答案，通过证明三角形全等， 寻找对应边与对应角，进行线段或角之间的和差转化是解题的关键. 【答案】解：（1）∠ADE＝30°. （2）第（1）题中的结论仍成立. 证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝30°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°. ∵BD＝CE，∠B＝∠ACE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE. ∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝120°， 即∠DAE＝120°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°. 命题点　与全等三角形有关的证明及计算 1. （2024重庆A卷）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D 作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F. 若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ 　3　. 3 重庆中考真题回顾 2. （2024重庆B卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长度为 　2　. 2 3. 如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE， ∠BAD＝∠CAE＝40°.连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　140°　. 140° 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. （1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数； 解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.又∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°. （2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F. 求证：AE＝FE. 证明：（2）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD. ∴∠BAD＝∠F. ∴AE＝FE. 基础过关 1. （2022杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　B　） A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线 B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线 C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线 D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线 B 当堂检测 2. （2023黔江）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　C　） A. 1，2，4 B. 2，4，6 C. 2，6，7 D. 5，7，13 C 3. （2024绵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于 点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则AC的长 为（　B　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 B 4. （2023南开）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿AC方向平移到 △DEF的位置，使点D和点C重合，连接AE，交BC于点H，则△ABH的面积为 （　B　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 B 5. （2023巴蜀）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在边AB，BC上， CD，AE交于点F，∠AFD＝60°，FG为△AFC 的角平分线，点H在FG的延 长线上，连接HA，HC，且∠AHC＋∠AFC＝180°.下列结论中：①BD＝ CE；②AF＋CF＝FH；③FC＝CG； ④ .其中说法正确的 有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 6. 如图，直角三角形被挡住了一部分，聪聪根据所学知识很快就另外画出了一个 与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　B　） A. SAS B. ASA C. AAS D. HL B 能力提升 7. （2023南开）下列说法不正确的是（　B　） A. 三边分别对应相等的两个三角形全等 B. 三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长叫作点到直线的距离 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B 8. （2023巴蜀）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至 点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF，FD，DE， 若 72，则  　4　. 4 9. （2024牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F 三点共线，请添加一个条件 　DE＝EF（答案不唯一）　，使得AE＝CE. （只 添一种情况即可） DE＝EF（答案不唯一） 10. （2024湖南）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. （1）求证：△ABC≌△ADE； （1）证明：在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）. （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∠BAC＝60°，∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°. 11. （2023达州）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝8 cm，D 为AB的中点.如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点 Q在线段CA上由点C向点A运动. （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过t s后，△BPD与△CQP是 否全等，请说明理由； 解：（1）经过1 s，△BPD和△CQP全等.理由如下： 当t＝1 s时，BP＝CQ＝2 cm.∵BC＝8 cm，∴PC＝6 cm. ∵D为AB的中点，∴BD＝6 cm.∴BD＝PC. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）. （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时， 能够使△BPD与△CQP全等？ 解：（2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t s时，△BPD与△CQP全等. ∵点Q的运动速度和点P的运动速度不等，∴BP≠CQ. ∴满足三角形全等必有BP＝PC，BD＝CQ. ∴2t＝8－2t，x·t＝6.解得x＝3，t＝2. ∴当点Q的运动速度为3 cm/s，能够使△BPD与△CQP全等. $$