2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：解直角三角形及其实际应用

解直角三角形及其实际应用 　　课标要求 1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A， cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值. 2. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题. 3. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，或由已知三角函数值求它的 对应锐角. 4. 了解近似数，并在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值. 5. 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 考点精讲 　　知识点梳理 1. 锐角三角函数. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为Rt△ABC的一个锐角，则有 （1）∠A的正弦： sin∠A  　​ 　. （2）∠A的余弦： cos ∠A  　​ 　. （3）∠A的正切： tan∠A  　​ 　. ​ ​ ​ 　　2.特殊角的三角函数值. α 30° 45° 60° 示意图 sin α ​ cos α ​ tan α 1 ​ ​ ​ ​ 　　3.解直角三角形（如图1）. （1）三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝ 　90°　. （2）三边关系：a2＋b2＝c2. （3）边角关系：sin A cos B； cos A  　sin B　；tan A＝ 　​ 　 . （4）在Rt△ABC中，在五个量∠A，∠B，a，b，c中，知道两个（其中 含一边），即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量. 90° sin B ​ 4. 锐角三角函数的实际应用. （1）俯角、仰角：如图2，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线 下方的角叫作俯角. （2）坡度（坡比）、坡角：如图3，坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫作 坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫作坡角，i＝tan α . （3）方位角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向旋转到目标 方向线所成的角（一般指锐角），通常叫北（或南）偏东（或西）x度.如图4， 点A在点O的北偏西35°的方向上；点B在点O的东北方向上；点C在点O的南 偏西60°的方向上. 　　5.锐角三角函数的实际应用常见模型及其关系式. 常见模 型 关系式 求AB长： AB＝AD－BD ⇒AB 求BC长： BC＝BD＋CD ⇒BC 常见模型 关系式 求AE长： AE＝AC＋CE ⇒AE 求CD长： CD＝BE＝AB－AE ⇒CD 求BD长： BD＝CD－BC ⇒BD 　　6.近似数和精确度. （1）近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数，如：π取3.14.身 高约165 cm.这里说的3.14和165都是近似数. （2）精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示，一个近似数四舍 五入到哪一位就说这个数精确到哪位，如：3.141 59精确到0.01为 　3.14　，精 确到千分位为 　3.142　. 3.14 3.142 （3）取近似值时，精确度在某些特殊情况下的取舍方法： ①去尾：如裁衣时，4.9≈4，0.91≈0； ②取整：如[x]表示取不大于x的最大整数，[4.9]＝4，[0.91]＝0； ③进一：如统计分组、导火索长度、出租车里程、电话计时等，4.9≈5， 0.91≈1. 考题类型精析 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是 （　　　） A. B. C. 3 D. 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三 角函数的定义是解题的关键. 【答案】A 例2　在△ABC中，若 （ － cos B）2＝0，则∠C的度数是 （　　　） A. 45° B. 75° C. 105° D. 120° 【思路点拨】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计 算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 【答案】C 例3　如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 求AB的 长. 【思路点拨】本题考查解直角三角形.在解题时，过点C作CD⊥AB于点 D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD. 根据含30°角的直角三角形边的关系求 出CD的长，再求出AD的长，相加即可得出AB的长. 【答案】AB＝3 例4　（2023一中）为巩固精准扶贫成果，打通“道路最后一公里”，政府决 定在A，B两村之间修建一条互通大道（即线段AB）.如图，湖泊区域是以点C 为圆心，半径为10 km的圆形区域.经测量，湖泊区域的圆心C位于A村北偏东 60°方向且AC为10 km，B村位于A村正东方向，湖泊区域的圆心C位于B村 北偏西45°方向.（参考数据： ≈1.732 ≈2.449） （1）求湖泊区域的圆心C到B村的距离（结果精确到0.1 km）； （2）勘测地形后，政府决定将位于湖泊区域的公路段改建为桥梁.若桥梁段 的建造费用为200万元/km，公路段的建造费用100万元/km，现政府拨款3 500万 元用于建造整条互通大道，请问政府划拨的资金充足吗？请说明理由. 【答案】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题可知，AC＝10 km，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°. 在Rt△ACD中，CD AC＝5 km，∴AD CD＝15 km. 在Rt△BDC中，CD＝BD＝5 km， BC CD＝5 ≈12.2（km）， ∴圆心C到B村的距离为12.2 km. （2）政府划拨的资金充足. 在AD，BD上分别取点E，F，使CE＝CF＝10 km. 在Rt△CED中，ED 5（km）， 在Rt△CFD中，FD 5（km）， ∴AE＝AD－ED＝15－5＝10（km），BF＝BD－DF＝（5 －5） km. ∴建造费用为200×（5＋5）＋100×（10＋5 －5） ＝2 000＋500＋500 ＝2 500＋500 ≈2 500＋500×1.732＝3 366＜3 500. ∴政府划拨的资金充足. 命题点1　直角三角形的边角关系 1. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12， tan∠BAD 则sin C＝ 　​ 　. ​ 重庆中考真题回顾 命题点2　解直角三角形的实际应用 2. （2024重庆A卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港 运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向 航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A 港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离 到达C港.（参考数据： ≈1.41 ≈1.73 ≈2.45） （1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E. ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 由题意可知，∠GAB＝45°，∠EBC＝60°， ∴∠BAE＝45°，∴AE＝AB· cos ∠BAE＝40× cos 45°＝20 （海里）， ∴CE＝BE·tan∠EBC＝20 × 20 （海里）， ∴AC＝AE＋CE＝20 20 ≈20×1.41＋20×2.45≈77.2（海里）， ∴A，C两港之间的距离77.2海里. （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先 到达C港？请通过计算说明. 解：（2）甲货轮先到达C港，理由如下： 由（1）得∠BAE＝45°，∠EBC＝60°， ∴BE＝AB·sin∠BAE＝40×sin 45°＝20 （海里）， ∴BC 40 （海里）， ∵∠ADF＝60°，∠CDF＝30°，∴∠ADC＝90°， ∴CD AC＝（10 10 海里， AD＝AC· cos 30°＝（10 30 海里， ∴甲行驶路程为：AB＋BC＝40＋40 ≈96.4（海里）， 乙行驶路程为：AD＋CD＝10 30 10 10 20 40 ≈105.4 （海里）. ∵96.4＜105.4，且甲、乙货轮速度相同， ∴甲货轮先到达C港. 3. （2024重庆B卷）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东 方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方 向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2 km.（参考数据： ≈1.41 ≈1.73 ≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1 km）； 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E. 由题意得∠DAB＝90°，∴∠CAB＝60°，∠EBA＝30°， ∴AE AB＝1（km），BE AE （km）. C在B的北偏西15°方向，∴∠EBC＝90°－30°－15°＝45°， ∴△EBC是等腰直角三角形，∴CE＝BE （km）， BC BE × ≈2.5（km）， ∴BC的长度约为2.5 km. （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D－C－B，乙选择 的路线为：D－A－B. 请计算说明谁选择的路线较近？ 解：（2）如图，过点C作CF⊥AD于点D. 由（1）知AE＝1 km，CE km， ∴AC＝AE＋CE＝（1 km， 在Rt△AFC中，CF＝AC·sin ∠CAF ＝（1 ·sin 30° （km）， AF＝AC· cos ∠CAF＝（1 · cos 30° （km）， 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，∠DFC＝90°， ∴DF＝CF·tan ∠DCF ·tan 30° （km）， CD （km）. ∴CD＋BC ≈4.03（km）， AD＋AB＝DF＋AF＋AB 2≈5.15（km）. ∵4.03＜5.15， ∴甲选择的路线较近. 4. （2023重庆B卷）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A， B养殖场捕捞海产品.经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏 东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3 600 m. （1）求养殖场B与灯塔C的距离（结果精确到个位）； 解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3 600 m， cos 60° sin 60° ∴AD＝3 600× 1 800 （m）， CD ×3 600＝1 800（m）.在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1 800（m）. ∴BC 1 800 ≈1 800×1.414≈2 545（m）. 故养殖场B与灯塔C的距离约为2 545 m. （2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞.若甲组 航行的平均速度为600 m/min，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考 数据： ≈1.414 ≈1.732） 解：（2）AB＝AD＋BD＝1 800 1 800≈4 917.6（m）， 600×9＝5 400（m），∵5 400 m＞4 917.6 m， ∴能在9分钟内到达B处. 基础过关 1. （2024天津 cos 45°－1的值为（　A　） A. 0 B. 1 C. －1 D. －1 2. （2023黔江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9， cos B 则AC的长为 （　C　） A. 6 B. 2 C. 3 D. 9 A C 当堂检测 3. （2024雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如 图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50 m至B处， 测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（　A　） A. 25 m B. 25 m C. 25 m D. 50 m A 4. （2024包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝ FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG. 若AB＝4，BC＝6，则sin ∠GBF的值为（　A　） A. B. C. D. A 5. 如图，一轮船从港口O出发以16海里/时的速度向北偏东50°方向航行；另一轮 船同时从港口O出发以12海里/时的速度向南偏东40°方向航行.航行2小时后，两 船相距（　C　） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 60海里 C 6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6 km，当火箭 到达点A时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（　B　） A. 6sin 43° km B. 6 cos 43° km C. 6tan 43° km D. km B 能力提升 7. 题目：“如图，∠MON＝60°，点B在射线OM上，OB＝2 射线OA在 ∠MON的内部，∠AOM＝45°，点P在射线OA上，且∠OBP＝∠AON，Q是 射线PA上的动点，当△BPQ是钝角三角形时，求PQ的取值范围.”对于其答 案，甲答：0＜PQ＜2；乙答：2＜PQ＜8；丙答：PQ＞8.则说法正确的是 （　C　） A. 只有乙答得对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 乙、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 C 8. （2024九龙坡）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点 上，那么sin ∠ACB的值为（　C　） A. B. C. D. C 9. （2024泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河 段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方 距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12 m（图中点A，B，C，P在同一平面 内），那么大汶河此河段的宽AB为 　74　m.（参考数据：sin 40°≈ sin 63.6°≈ tan 50°≈ tan 63.6°≈2） 74 10. （2022扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C 的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 　 . 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝8，过点A作AC的垂线，并在AC 右上方部分取一点D，使得tan∠ACD 则△BCD的面积最大值为 　8 . ​ 824 12. （2023巴蜀）五一假期，小墩和小融相约去动物园A游玩.小融家C在小墩家 B正北方向，动物园A在小墩家B的北偏西30°方向上，在小融家C的北偏西75° 方向上，已知小墩家B与小融家C距离为1 600 m. （1）求动物园A与小墩家B的距离（结果保留根号）； 解：（1）如图，过点C作CN⊥AB于点N. ∵∠ABC＝30°，∴∠A＝75°－30°＝45°. ∵BC＝1 600 m，∴NC＝AN BC＝800 m. ∴BN＝BC· cos 30°＝1 600× 800 （m）. ∴AB＝AN＋BN＝（800＋800 m. 故动物园A与小墩家B距离为（800＋800 m. （2）在小墩家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发 当天路段BM因施工无法通行，小墩到动物园A可以走路线1：B→C→A，也可 以走路线2：B→D→M→A，请经过计算说明他走哪一条路线较近？（参考数 据： ≈1.73 ≈1.41） 解：（2）由（1）可知，AB＝（800＋800 m. ∵M为AB的中点， ∴AM＝BM＝（400＋400 m.∵BC∥DM， ∴∠BMD＝∠ABC＝30°.∵∠D＝90°， ∴BD BM＝（200＋200 m，DM BD＝（200 600） m. ∵AN＝CN＝800 m，∠A＝45°，∴AC AN＝800 （m）. ∴路线B→C→A为BC＋AC＝1 600＋800 ≈2 728（m）， 路线B→D→M→A为BD＋DM＋AM＝200＋200 200 600＋400＋ 400 1 200＋800 ≈2 584（m），∵2 584＜2 728， ∴走路线B→D→M→A较近. $$