2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质 课标要求 1. 通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. 2. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质. 3. 会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y=a(x-k)2+k的形 式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的 对称轴,并能解决简单实际问题. 4. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 5. 知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 考点精讲 知识点梳理 一、二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫作二次函数. 二、二次函数的三种解析式及性质 解析式(a≠0) 顶点式y=a(x-h)2+k 交点式y=a(x-x1) (x-x2) 一般式y=ax2+bx +c 对称轴 x=h x x=- 顶点坐标 (h,k) ( (- 增减性 a>0,开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而 减小 ;在对称 轴右侧,y随x的增大而 增大 . a<0,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而 增大 ;在对称 轴右侧,y随x的增大而 减小 减小 增大 增大 减小 最值 a>0,当x=h时, y有最小值; a<0,当x=h时, y有最大值 a>0,当x 时, y有最小值; a<0,当x 时, y有最大值 a>0,当x=- 时, y有最小值 ; a<0,当x=- 时, y有最大值 三、根据二次函数的解析式判断函数的图象与性质 a a的符号决定抛物线的开口 方向, 的值决定抛物线开口大小 a>0,开口向 上 ;a<0,开口 向 下 上 下 a,b 共同决定抛物线对称轴的位置 a,b同号时,对称轴在y轴 左 侧 a,b异号时,对称轴在y轴 右 侧 b=0时,对称轴为 y 轴 左 右 y c 决定与y轴交点的位置 c>0,抛物线与y轴交于 正 半轴 c<0,抛物线与y轴交于 负 半轴 c=0,抛物线过 原点 正 负 原点 b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个 数 b2-4ac>0,抛物线与x轴有 两 个 交点 b2-4ac<0,抛物线与x轴 没有 交 点 b2-4ac=0,抛物线与x轴有 一 个 交点 两 没有 一 四、根据二次函数图象判断系数相关结论 大致 图象 结论 a>0 b>0 c<0 b2-4ac>0 a < 0 b = 0 c>0 b2-4ac > 0 a>0 b<0 c > 0 b2-4ac>0 a<0 b > 0 c<0 b2-4ac = 0 < = > > > = 大致 图象 结论 a>0 b > 0 c>0 b2-4ac < 0 a>0 b>0 c = 0 b2-4ac>0 a < 0 b > 0 c=0 b2-4ac>0 a>0 b = 0 c=0 b2-4ac = 0 > < = < > = = 五、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标 方程ax2+bx+c= 0的解. 抛物线与x轴有两个交点 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,b2- 4ac>0. 抛物线与x轴有一个交点 方程ax2+bx+c=0有两个 相等 的实数根,b2 -4ac=0. 抛物线与x轴无交点 方程ax2+bx+c=0没有实数根,b2-4ac < 0. 相等 < 六、确定二次函数解析式的方法 1. 解析式未知. (1)顶点在原点,可设函数的解析式为y=ax2. (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设函数的解析式为y=ax2+c. (3)顶点在x轴上,可设函数的解析式为y=a(x-h)2. (4)抛物线过原点,可设函数的解析式为y=ax2+bx. (5)已知顶点坐标为(h,k)时,可设函数的解析式为顶点式y=a(x- h)2+k. (6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0),(x2,0)时,可设函数 的解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2). (7)已知抛物线上任意三点坐标时,可设函数的解析式为一般式y=ax2+ bx+c. 2. 解析式已知. 解析式中有几个字母未知,只需找出二次函数图象上相同个数的点的坐标代 入求解即可. 七、二次函数图象的平移 1. 平移的方法及步骤. (1)将二次函数的解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定顶点坐 标. (2)保持二次函数图象的形状不变,平移其顶点坐标即可. 2.平移规律. 移动方向(m>0) 平移前的 顶点坐标 规律 平移后的顶点坐标 平移后的解析式 向左平移m个单位 长度 (h,k) 根据点坐标的平移规律:x左加右减,y上加下减,平移顶点坐标即可 (h-m,k) y=a(x-h +m)2+k 移动方向(m>0) 平移前 的 顶点坐 标 规律 平移后的顶点 坐标 平移后的解析 式 向右平移m个单位 长度 (h, k) 根据点坐标的 平移规律:x 左加右减,y 上加下减,平 移顶点坐标即 可 (h+m,k) y=a(x-h -m)2+k 移动方向(m>0) 平移前 的 顶点坐 标 规律 平移后的顶点 坐标 平移后的解析 式 向上平移m个单位 长度 (h, k) 根据点坐标的 平移规律:x 左加右减,y 上加下减,平 移顶点坐标即 可 (h,k+m) y=a(x- h)2+k+m 移动方向(m>0) 平移前 的 顶点坐 标 规律 平移后的顶点 坐标 平移后的解析 式 向下平移m个单位 长度 (h, k) 根据点坐标的 平移规律:x 左加右减,y 上加下减,平 移顶点坐标即 可 (h,k-m) y=a(x- h)2+k-m 考题类型精析 例1 如果函数y=(m+1 2是二次函数,那么m= . 【思路点拨】本题主要考查二次函数的定义,正确得出关于m的方程是解题 的关键. 【答案】2 例2 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx+2b与y=-ax+b的图 象可能是( ) 【思路点拨】本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是根据 a,b与0的大小关系进行分类讨论. 【答案】D 例3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列判断中 正确的有( ) ①abc>0; ②b2-4ac>0; ③2a+b>0; ④4a-2b+c<0; ⑤a-b+c>0. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点 判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴的交点情况进行推理,进而对 所得结论进行判断. 【答案】D 例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图 所示,则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是( ) A. m≥-4 B. m≥0 C. m≥5 D. m≥6 【思路点拨】在解题时,根据函数的图象,由直线y=m与二次函数图象的交点个数,确定方程的解的个数,从而确定方程ax2+bx+c=m中m的取值范围. 【答案】A 例5 若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是A(2,1),且经过点B (1,0),则该二次函数的解析式为 . 【思路点拨】本题考查利用待定系数法求函数的解析式,知道二次函数的顶 点式是解题的关键. 【答案】y=-x2+4x-3 命题点1 二次函数的图象与性质 1. 把抛物线y=x2-2x向左平移1个单位长度,然后向上平移2个单位长度,则平 移后抛物线的解析式是( B ) A. y=x2-1 B. y=x2+1 C. y=(x-2)2-1 D. y=(x-2)2+1 B 重庆中考真题回顾 2. 将抛物线y=-2x2先向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得抛 物线的解析式是( C ) A. y=-2(x-3)2-1 B. y=2(x+3)2-1 C. y=-2(x+3)2-1 D. y=-2(x+3)2+1 3. 点P1(-0.5,y1),P2(2.5,y2),P3(-5,y3)均在二次函数y=-x2+ 2x的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( D ) A. y3>y2>y1 B. y3>y1=y2 C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3 C D 命题点2 二次函数的图象与系数的关系 4. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,该函数图象的对称轴x =1,图象与y轴交点的纵坐标是2,则下列结论:①2a+b=0;②方程ax2+bx +c=0一定有一个根在-2和-1之间;③方程ax2+bx+c- 0一定有两个不 相等的实数根;④b-a<2.其中,正确结论的个数是( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 5. 在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两 点,A(-3,0),B(1,0),与y轴交点C的纵坐标在-3~-2之间,根据图 象判断以下结论:①abc2>0; b<2;③若a -bx1=a -bx2且 x1≠x2,则x1+x2=-2;④直线y=- cx+c与抛物线y=ax2+bx+c的一个交 点(m,n)(m≠0),则m .其中正确的结论是( A ) A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ A 6. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,与y轴交于(0,-1),对称 轴为x=1.下列结论:①abc>0;②a ;③对于任意实数m,都有m(am+ b)>a+b成立;④若(-2,y1),( y2),(2,y3)在该函数图象上, 则y3<y2<y1;⑤方程|ax2+bx+c|=k(k≥0,k为常数)的所有根的和为 4.其中正确结论有( A ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A 基础过关 1. (2023一中)关于抛物线y=-3(x-1)2+2,下列说法正确的是( B ) A. 开口向上 B. 对称轴是x=1 C. 顶点坐标是(-1,3) D. 函数y有最小值2 2. (2024哈尔滨)将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位长度,再向上平 移1个单位长度得到的抛物线解析式为( C ) A. y=2(x+3)2-4 B. y=2(x+3)2-2 C. y=2(x-1)2-2 D. y=2(x-1) B C 当堂检测 3. (2024台州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的 部分对应取值如下表: x … -1 0 1 2 3 … y … 15 5 -1 -3 -1 … 点A(m,y1),点B(n,y2)均在函数图象上,且2<m<n,则下列结论正 确的是( D ) A. y1>y2>2 B. y1>y2>-3 C. y2>y1>2 D. y2>y1>-3 D 4. (2024浙江)已知二次函数y=x2-4x+3的图象经过点P,点P的横坐标为 m,当m≤x≤4时,总有-1≤y≤4m,则m的值为( D ) A. 4 B. 4- C. 4 D. D 5. (2024宜昌)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-2,与 x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示,下列结 论:①4a-b=0;②c<0;③4ac>b2;④点(- y1),(- y2), ( y3)是该抛物线上的点,则y2<y1<y3,其中,正确的结论有( B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 B 6. (2023育才)已知点N(xn,yn)在二次函数y=x2-2x+1的图象上,其中x1 =1,x2=2,…,xn=n.令A1=x1+y2,A2=x2+y3,…,An=xn ;Bn 为An的个位数字(n为正整数),则下列说法:①A6=30;②x1+x2+x3+x4= y1-y2+y3-y4+y5;③ … ;④An-24n的最小值为 -132,此时n=11;⑤B1+B2+…+B2 022的个位数字为6.其中正确的个数为 ( A ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 7. (2023一外)已知a,b,c分别是 ABC的边长,则关于x的一元二次方程 (a+b)x2+2cx+a+b=0与x轴的交点的个数为 0 . 8. (2022长春)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤ 时,函数值y的最 小值为1,则a的值为 -1- . 0 -1- 9. (2022潍坊)为落实“双减”,老师布置了一项这样的课后作业: 二次函数的图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限,写出满足这些条件的 一个函数解析式. 【观察发现】 请完成作业,并在直角坐标系中画出大致图象. 解:【观察发现】 y=-x2(答案不唯一). 函数图象如图. 【思考交流】 小亮说:“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.” 小莹说:“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.” 你认同他们的说法吗?若不认同,请举例说明. 【思考交流】 ∵抛物线的对称轴为x=- a<0, ∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧,也可以在y轴的右侧,还可以是y轴. 例如:y=-x2,∴小亮的说法不正确; 抛物线的图象不一定在x轴的下方, 例如:y=-(x+3)2+3,∴小莹的说法不正确. 【概括表达】 小博士认为这个作业的答案太多,老师不方便批阅,于是探究了二次函数y=ax2 +bx+c的图象与系数a,b,c的关系,得出了提高老师作业批阅效率的方法. 请你探究这个方法,写出探究过程. 【概括表达】 在二次函数y=ax2+bx+c中, ∵二次函数的图象不经过第一象限, ∴a<0,c≤0.∵二次函数的图象经过点(-1,-1), ∴a-b+c=-1.①当对称轴在y轴的右侧,即b>0时, 此时顶点在x轴上或x轴下方, ∴ =b2-4ac≤0,即b2≤4ac,∴ac≥0. ∵a<0,∴c≤0.∵2ac≤a2+c2,∴4ac≤(a+c)2=(b-1)2, ∴b2≤(b-1)2,解得b≤ ; ②当对称轴在y轴的左侧或y轴上,即b≤0时,只需保证与y轴的交点在x轴上或 x轴下方,∴c≤0. 综上,a<0,b≤ c≤0,且a-b+c=-1. 能力提升 10. (2022宁波)点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2 +n的图象上.若y1<y2,则m的取值范围为( B ) A. m>2 B. m C. m<1 D. m<2 B 11. (2024宁波)新定义:若一个点的横纵坐标之和为6,则称这个点为“和谐 点”.若二次函数y=x2-2x+c(c为常数)在-1<x<3的图象上存在两个“和 谐点”,则c的取值范围是( B ) A. c<7 B. 4<c C. -1<c<1 D. 0<c B $$