2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：一次函数的图象与性质

一次函数的图象与性质 　　课标要求 1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的 解析式. 2. 会利用待定系数法确定一次函数的解析式. 3. 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b（k≠0） 探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况. 4. 理解正比例函数. 5. 体会一次函数和二元一次方程的关系. 6. 能用一次函数解决简单实际问题. 考点精讲 　　知识点梳理 一、一次函数的图象与性质 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）（当b＝0时，y＝kx为正比例函数） k，b符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＝0 b＞0 b＜0 b＝0 大致图象 经过象限 第一、 二、三 第一、 三、四 第一、 三 第一、 二、四 第二、 三、四 第二、 四 判断倾斜方向、增减性看k k＞0，图象呈“/ ”，必经过 第 象限，y随x的增大 而 ⁠ k＜0，图象呈“\ ”，必经过 第 象限，y随x的增 大而 ⁠ 第一、二、三 第一、三、四 第一、二、四 第二、三、四 一、三 增大 二、四 减小 判断与y轴交点位置 看b b＞0，图象交于y轴的 ，必经过第 ⁠ 象限； b＝0，图象过原点； b＜0，图象交于y轴的 ，必经过第 ⁠ 象限 与y轴交点 令x＝0，求对应的y值，交点坐标为 ⁠ 与x轴交点 令y＝0，求对应的x值，交点坐标为 ⁠ 正半轴 一、二 负半轴 三、四 （0，b） （－ 0） 　　二、一次函数解析式的确定（待定系数法） 1. 设一次函数的解析式为y＝kx＋b. 2. 找出一次函数图象上的两个点，并把这两个点的坐标代入y＝kx＋b中， 从而得到一个关于k，b的二元一次方程组. 3. 解这个方程组，得到k，b的值. 4. 将k，b的值代入所设函数的解析式y＝kx＋b中即可. 　　三、一次函数图象的平移 平移前解析式 平移方式（m＞0） 平移后解析式 简记 y＝kx＋b 向左平移m个单位长 度 y＝k（x＋m）＋b x左加右减 向右平移m个单位长 度 y＝k（x－m）＋b 向上平移m个单位长 度 y＝kx＋b＋m 等号右端整体上加下 减 平移前解析式 平移方式（m＞0） 平移后解析式 简记 y＝kx＋b 向下平移m个单位长 度 y＝kx＋b－m 等号右端整体上加下 减 　　四、两条直线的位置关系 已知直线y1＝k1＋b1和直线y2＝k2＋b2，若两直线平行，则k1＝k2且b1≠b2； 若两直线垂直，则k1k2＝－1. 五、一次函数与一元一次方程的关系 一元一次方程kx＋b＝0的解⇔一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的 ⁠ ⁠. 横 坐标 六、一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组 的解⇔一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2图 象的 ，即（m，n）. 交点 七、一次函数与一元一次不等式的关系 1. 从“数”上看. kx＋b＞0的解集⇔y＝kx＋b中，y＞0时x的取值范围； kx＋b＜0的解集⇔y＝kx＋b中，y＜0时x的取值范围. 2. 从“形”上看. kx＋b＞0的解集⇔函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标； kx＋b＜0的解集⇔函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标. 八、用一次函数解决简单实际问题 解题的一般步骤：根据题意求函数的解析式⇒由函数的性质进行相关计算. 考题类型精析 例1　（2023两江新区）一次函数y1＝ax＋b与正比例函数y2＝－bx在同一坐 标系中的图象大致是（　　　） 【思路点拨】利用一次函数的图象性质依次判断即可. 【答案】C 例2　在y＝kx＋b（k，b为常数）中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1 时，y＝4. （1）求k，b的值； （2）当y＝－5时，x的值等于多少？ 【思路点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数的解析式：将自变量x的 值及与它对应的函数值y代入，然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而 写出函数的解析式. 【答案】解：（1） 　（2）x＝2. 例3　已知直线y＝kx－3与直线y＝－x＋2相交于x轴上一点，则k＝ 　　. 【思路点拨】本题考查两条直线的交点问题，突破口是求出直线y＝－x＋2 与x轴的交点坐标，并将其代入y＝kx－3中.直线的交点问题的实质就是求对应的 二元一次方程组的解的问题，考查的是方程与函数之间的关系. 【答案】 例4　（2023万州）如图，如果一次函数y＝2kx－3与正比例函数y＝kx交于 点A（2，m），与x轴交于点B，那么△AOB的周长为（　　　） A. 5 B. 1 C. 1 D. 1 【答案】D 　　例5　如图，若函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A（m， 2），则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是（　　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞－1 D. x＜－1 【答案】D 例6　A，B两地相距20 km，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地.甲先出 发，匀速行驶，甲出发1 h后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1 h后提高速度 并继续匀速行驶，结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发 　　　　　h后和乙相遇. 【思路点拨】本题考查的是用一次函数解决实际问题，主要利用了路程、速 度、时间三者之间的关系.在解题时，利用待定系数法分别求两个一次函数的解析 式是解题的关键. 【答案】 命题点1　一次函数的图象与性质 1. 关于x的一次函数y x＋2，下列说法正确的是（　C　） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与y轴的交点坐标是（2，0） C. 若点A（3，y1）和点B（－2，y2）都在该函数图象上，则y1＞y2 D. 图象沿y轴方向向上平移2个单位长度得到函数y x的图象 C 重庆中考真题回顾 2. 一次函数y＝2x－b的图象经过A（－1，y1）和B（2，y2）两个点，则y1，y2 的大小关系是（　B　） A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. 当b＞0时，y1＞y2 D. 当b＜0时，y1＞y2 B 命题点2　确定一次函数的解析式 3. 将直线y＝x＋1的图象向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（　D　） A. y＝x＋4 B. y＝x－4 C. y＝x＋2 D. y＝x－2 4. 若点（3，1）在一次函数y＝kx－2（k≠0）的图象上，则k的值为（　D　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 D D 命题点3　一次函数图象的平移 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A（5，m）且与y轴交于点 B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C. 过点C且 与y＝2x平行的直线交y轴于点D. （1）求直线CD的解析式； 解：（1）把A（5，m）代入y＝－x＋3，得m＝－5＋3＝－2.∴A（5，－2）. ∵点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C， ∴C（3，2）.∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D， ∴可设CD的解析式为y＝2x＋b. 把C（3，2）代入，得6＋b＝2.解得b＝－4. ∴直线CD的解析式为y＝2x－4. （2）直线AB与直线CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B 的位置时结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围. 解：（2）在y＝－x＋3中，当x＝0时，y＝－x＋3＝3，∴B（0，3）. 在y＝2x－4中，当y＝0时，2x－4＝0，解得x＝2. ∴直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）. 易得直线CD平移到经过点B时的直线的解析式为y＝2x＋3. 当y＝0时，即2x＋3＝0，解得x＝－ . ∴直线y＝2x＋3的图象与x轴的交点坐标为（－ 0）， ∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为－ ≤x≤2. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x与直线l2的交点A的横坐标为2， 将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3 ，直线l3与y轴交于点B，与直 线l2交于点C，点C的纵坐标为－2，直线l2与y轴交于点D. （1）求直线l2的解析式； 解：（1）把x＝2代入y x，得y＝1. ∴点A的坐标为（2，1）. ∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度得到直线l3， ∴直线l3的解析式为y x－4.将y＝－2代入y x－4，得x＝4. ∴点C的坐标为（4，－2）.设直线l2的解析式为y＝kx＋b. ∵直线l2过A（2，1），C（4，－2）， ∴ 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－ x＋4. （2）求△BDC的面积. 解：（2）在y＝－ x＋4中，当x＝0时，y＝4.∴D（0，4）. 在y x－4中，当x＝0时，y＝－4. ∴B（0，－4），∴BD＝8，∴△BDC的面积 ×8×4＝16. 基础过关 1. （2024辽宁）关于一次函数y＝2x＋4，下列说法正确的是（　C　） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点（0，－2） C. 函数值y随自变量x的增大而增大 D. 当x＞－1时，y＜2 C 当堂检测 2. （2022邵阳）在平面直角坐标系中，A（ m），B（ n）是直线y＝ kx＋b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是（　A　） A. m＜n B. m＞n C. m≥n D. m≤n 3. （2022娄底）将直线y＝2x＋1向上平移2个单位长度，相当于（　B　） A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度 C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 A B 4. （2022陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与y＝2x＋m相交于 点P（3，n），则关于x，y的方程组 的解为（　B　） A. B. C. D. B 5. （2022大庆）写出一个过点D（0，1）且y随x的增大而减小的一次函数关系 式： ⁠. 6. （2023涪陵）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与直线y＝mx＋2 相交于点A（－3，－1），则不等式mx＋2＜kx＋b的解集为 ⁠. y＝－x＋1（答案不唯一） x＜－3 7. （2022广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体 质量x（kg）满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所 挂物体质量的数量关系. x 0 2 5 y 15 19 25 （1）求y与x的函数解析式； 解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15，得19＝2k＋15. 解得k＝2.故y与x的函数解析式为y＝2x＋15. （2）当弹簧的长度为20 cm时，求所挂物体的质量. 解：（2）把y＝20代入y＝2x＋15， 得20＝2x＋15.解得x＝2.5.故所挂物体的质量为2.5 kg. 能力提升 8. （2022鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y＝kx ＋b（k，b为常数，且k＜0）的图象与直线y x的图象都经过点A（3，1）， 当kx＋b x时，根据图象可知，x的取值范围是（　A　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 A 9. （2023育才）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x－3过点A（－4， m）且与y轴交于点B，把点A先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 度，得到点C，过点C且与y＝x平行的直线交y轴于点D. （1）求直线CD的解析式； 解：（1）把A（－4，m）代入y＝－ x－3，得m＝2－3＝－1. ∴A（－4，－1）. ∵将点A先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点C， ∴C（－2，2）. ∵过点C且与y＝x平行的直线交y轴于点D， ∴设直线CD的解析式为y＝x＋b. 把C（－2，2）代入，得－2＋b＝2. 解得b＝4.∴直线CD的解析式为y＝x＋4. （2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿射线EB方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围. 解：（2）当x＝0时，y＝－ x－3＝－3，则B（0，－3）. 当y＝0时，x＋4＝0，解得x＝－4.则直线CD与x轴的交点坐标为（－4，0）. 易得直线CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝x－3. 当y＝0时，x－3＝0，解得x＝3. 则直线y＝x－3与x轴的交点坐标为（3，0）. 故直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标x0的 取值范围为－4≤x0≤3. $$