2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破 课件：函数的图象与性质

函数的图象与性质 　　课标要求 1. 能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围，并会求出函数值. 2. 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化情况进行初步讨论. 考点精讲 知识点梳理 一、函数自变量的取值范围 函数解析式的形式 自变量的取值范围 含有分式 使分母不为零的实数 含有二次根式 使被开方数大于或等于零的实数 含有分式和二次 根式 使分母不为零且被开方数大于或等于零的实数 　　二、函数的表示 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法. 三、函数的图象 画函数图象的步骤：列表、描点、连线. 考题类型精析 例1　在函数y 中，自变量x的取值范围是（　　　） A. x≥－1 B. x≤－1 C. x≠－1 D. x＞－1 【思路点拨】在解题时，根据“被开方数大于等于0、分母不等于0”列式计 算，即可得到答案. 【答案】D 例2　小明同学利用计算机软件绘制函数y （a，b为常数）的图 象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a，b的值满足（　　　） A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0 C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0 【思路点拨】由图象可知，当x＞0时，y＜0， ∴a＜0；当x＝－b时，函数值不存在， ∴－b＜0，∴b＞0. 【答案】C 例3　小云在学习过程中遇到一个函数y x｜（x2－x＋1）（x≥－2）. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当－2≤x＜0时，对于函数y1＝｜x｜，即y1＝－x，当－2≤x＜0时， y1随x的增大而 　　　　　，且y1＞0； 对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而 　　　　，且y2 ＞0. 结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增 大而 　　　　　. （2）对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表： x 0 1 2 3 … y 0 1 … 　　结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大.在平面直角坐 标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象. （3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分 析，解决问题：若直线l与函数y x｜（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两 个交点，则m的最大值是 　　　　　. 【思路点拨】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可. （2）利用描点法画出函数图象即可. （3）观察图象可知，当x＝－2时，m的值最大. 【答案】解：（1）当－2≤x＜0时，对于函数y1＝｜x｜，即y1＝－x，当－ 2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0； 对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0. 结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增 大而减小. 故填：减小；减小；减小. （2）函数图象如图所示： （3）∵平行于x轴的直线l与函数y x｜（x2－x＋1）（x≥－2）的图 象有两个交点， ∴结合（1）（2）的分析可知，当x＝－2时，m的值最大，最大为 ×2× （4＋2＋1） . 故填： . 命题点　函数图象探究题 1. （2023重庆A卷）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每 秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿 折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点E，F 的距离为y. 重庆中考真题回顾 （1）请直接写出y关于t的函数解析式并注明自变量t的取值范围； 解：（1）∵当点E，F分别在AB，AC上运动时，△AEF是一个边长为t的等边 三角形， ∴点E，F的距离等于AE或AF的长， ∴当0≤t≤4时，y关于t的函数解析式为y＝t； 当点E，F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4－2（t－4）， ∴当4＜t≤6时，y关于t的函数解析式为y＝4－2（t－4）＝12－2t. 综上，y关于t的函数解析式为 （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条 性质； 解：（2）由（1）中得到的函数解析式可知：当t＝0时，y＝0； 当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0. 分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图所示. 该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时， y随t的增大而增大.（答案不唯一） （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值. 解：（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12－2t中，得3＝t，3＝12－2t. 解得t＝3或t＝4.5. 故当点E，F相距3个单位长度时，t的值为3或4.5. 2. 如图，在正方形ABCD中，AD＝4，动点F，E分别从点A，B出发，点F以 每秒1个单位长度的速度沿着A→D→C方向运动，到达点C时停止运动，点E沿 着B→A→D方向运动，到达点D时停止运动，连接EC，BF，BF⊥CE，令 S△AEC＝y1，S△ABF＝y2，运动时间为t，请回答下列问题： （1）请直接写出y1，y2与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； 解：（1）当点F在AD边上时，此时0≤t≤4，如图1，连接AC. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAF＝∠CBE＝90°， ∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF⊥CE，∴∠ABF＋∠BEC＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC，∴△AFB≌△BEC（AAS），∴AF＝BE＝t， 图1 ∴AE＝AB－BE＝4－t， ∴y1＝S△AEC AE·BC （4－t）×4＝8－2t， y2＝S△ABF AB·AF ×4t＝2t. ∴y1＝S△AEC AE·AB （t－4）×4＝2t－8， y2＝S△ABF AB·BC ×4×4＝8. 综上，y1＝ y2＝ 当点F在DC边上时，此时4＜t≤8，如图2，连接AC，AF. 同理，△BCF≌△CDE，∴CF＝DE，∴AE＝DF＝t－4， 图2 图2 （2）请写出函数y1的一条性质； 解：（2）当0≤t≤4时，y1的值随t的增大而减小；当4＜t≤8时，y1的值随t的增 大而增大. （3）在直角坐标系中画出y1，y2的图象，并根据图象直接写出当y1≥y2时，t的 取值范围. 解：（3）在平面直角坐标系内画出y1，y2的函数图象，如下： 当y1≥y2时，t的取值范围为0＜t≤2或t＝8. 基础过关 1. （2024无锡）在函数y 中，自变量x的取值范围是（　D　） A. x≠3 B. x＞3 C. x＜3 D. x≥3 D 当堂检测 2. （2024达州）小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：y 她按 照探究反比例函数的过程对其进行探究： 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … － － －4 0 m n … （1）m＝ 　　　　　，n＝ 　　　　　； 解：（1）当x＝1时，m 4； 当x＝2时，n . 4 （2）①在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象； 解：（2）①描点、连线画出函数的图象如图： ②小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是 ⁠； A. 当x＞－1时，y随x的增大而增大 B. 此函数的图象关于原点中心对称 C. 函数图象经过原点且位于第一、三象限 D. 当x＝－1时，此函数有最小值，最小为－4 A （3）若正比例函数y＝kx与函数y 的图象交于A（x1，y1），B（x2， y2）两点，求（x1＋x2＋2）（y1＋y2－3）的值. 解：（3）∵正比例函数y＝kx与函数y 的两交点A（x1，y1），B（x2， y2）关于原点对称，∴x1＝－x2，y1＝－y2， ∴（x1＋x2＋2）（y1＋y2－3）＝2×（－3）＝－6. 能力提升 3. （2023巴蜀）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝3， BC＝2AD＝4.点P从点C出发，沿着折线CB→BA方向运动，到达点A时停止运 动.设点P运动的路程为x，连接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：（1）当0≤x≤4时，y PC·AB x×3 x； 当4＜x≤7时，PB＝x－4，AP＝7－x.∵BC＝2AD＝4，∴AD＝2， ∴y （AD＋BC）·AB－ BC·PB－ AD·PA （2＋4）×3－ ×4×（x－4）－ ×2×（7－x） ＝－x＋10. 综上，y关于x的函数解析式为y＝ （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； 解：（2）列表如下： x 0 4 7 y 0 6 3 画该函数的图象如下： x 0 4 7 y 0 6 3 函数性质： ①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大； ②当4＜x≤7时，y随x的增大而减小.（答案不唯一） （3）结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的 时，直接写出x的取 值范围.（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 解：（3）∵梯形ABCD的面积 （AD＋BC）·AB （2＋4）×3＝9， ∴梯形ABCD面积的 4.当0≤x≤4时，y＞4，即 x＞4， 解得x ≈2.7.∴2.7＜x≤4； 当4＜x≤7时，y＞4，即－x＋10＞4， 解得x＜6.∴4＜x＜6.综上，x的取值范围为2.7＜x＜6. $$