8.6.2 直线与平面垂直的判定 第一课时教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直的判定 第一课时教学设计 教材分析 本节内容选自人教 A 版《普通高中教科书一数学必修第二册》8.6.2 直线与平面垂直(第一课时)，属于新授概念课，包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础,是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和直线与平面垂直关系的中介.直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用.直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法.直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略.基于以上分析，确定本节课的教学重点为:直线与平面垂直定义的抽象与归纳；难点为:直线与平面垂直判定定理的发现与验证. 学情分析 本节课授课对象为高一学生，虽然学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等具备学习本节课所需的知识.但由于他们把空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力还不强，因而他们对于如何借助直线与直线垂直来刻画直线与平面垂直还会遇到困难，更难用确切的数学语言刻画直线与平面垂直,考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，教学时可在教师的提示下由学生自己得到直线与平面垂直的定义.对于直线与平面垂直的判定定理，学生通过探究和动手实践，会初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直,但在缺少逻辑推理的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑结论的正确性.教学时需要引导学生通过亲身的反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题,也可以结合平面向量基本定理，让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性. 本节课的教学难点是发现并验证直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中，让学生以小组为单位进行合作，通过学生活动、动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系;再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理,由于学生对这种用“有限”代替“无限的过程. 课时目标 1.目标 《数学课程标准》中与本节课相关的要求是: （1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义; （2）通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理; （3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.因此，从知识上，理解直线与平面垂直的意义;从认知水平上，探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题;从思想方法上，在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题，“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的转化思想. 2．目标解析 （1）学生通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义. （2）学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直,能结合直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角. （3）学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用;知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等;能认识到“直线与平面垂直的判定”与“直线与平面平行的判定”在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般思路和方法. 根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为: （1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义. （2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理. （3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 评价任务 评价任务一:能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象;通过学生活动，给出直线与平面垂直的直观解释;通过影子实验，抽象出直线与平面垂直的概念. 评价任务二:能够根据定义得到直线与平面垂直时,直线与平面内任意一条直线垂直的结论,并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能. 评价任务三:能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务四:能在折纸实验操作中，得到直线与平面垂直的判定定理，并给出直线与平面垂直判定定理的验证，同时能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言. 评价任务五:能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题. 学习活动 （一）构建直线与平面垂直的定义 1.生活中的线面垂直关系 问题 1：播放奥运会跳水运动中炸鱼名场面和水花消失术的两段视频.引出问题，炸鱼术与水花消失术，你能直观地感受到入水动作有什么区别？ 师生活动：教师展示比萨斜塔、学校家风广场上笔直的国旗，引出直线和平面垂直这种特殊的位置关系，提出问题. 设计意图：用生活中的视频与图片做情境引入，培养学生的直观想象能力，让学生在头脑中初步形成线面垂直的印象，同时培养学生爱国家、爱家乡的目的. 2.数学文化 学生用自己的语言简述对线面垂直的理解。进而引出：18 世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出线面垂直的直观解释：一条直线不向平面上的任何一面倾斜，以及古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直. 设计意图：激发学生学习兴趣 3.旗杆影子实验 问题 3：直立于地面的旗杆与它在地面的影子垂直吗？ 追问：随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆与所有影子都垂直吗？ 将梁家河的红旗和地面抽象出数学模型，通过向学生展示旗杆在太阳的照射下在地面上的影子的位置发生变化的动画，让学生自行归纳出线面垂直的定义，进而感知线面垂直的本质，进而深化概念，通过设问和代入的方式，加强学生对线面垂直概念的理解. 追问：旗杆与对于地面上其他直线垂直吗？从而得到直线与平面垂直的定义. 文字语言：如果直线l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：∀𝑚 ⊂ 𝛼, 𝑙 ⊥ 𝑚 ⇒ 𝑙 ⊥ 𝛼 师生活动：学生根据动画及引导得出线面垂直的定义，教师板书符号表示，学生完成学案. 问题 4：在得到直线与平面垂直的定以后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立？ 师生活动：教师引导学生，结合定义，给出垂线、垂面、垂足的概念，给出文字语言、图形语言、符号语言的三种表示. 设计意图：建立垂面、垂线、垂足概念，知道线面垂直的符号表示，并让学生理解学习数学概念的“基本思路”. （二）探究直线与平面垂直判定定理 实验探究（教师借助信息技术呈现折纸实验）：如图，准备一块三角形的纸片ABC ，过ABC的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD ，DC 与桌面接触）.（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直？为什么？ 进而获得猜想：如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直那么该直线与平面垂直。 追问 1：线面垂直的定义和判定定理有什么区别与联系？为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直. 师生活动：教师引导学生从平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步作出解释。学生对此猜想利用向量的方法进行证明. 设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想，结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理对此判定定理的正确性进行说明。为此，可以在学生探索出判定定理的猜想后，通过追问，提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性.结合判定定理的得出. 问题 5：用定义来判断线面垂直方便吗？能否将无限证明转化为有限证明？（提出降维思想）小组讨论： （1）如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面垂直？ （2）如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则该直线与此平面垂直？ （3）如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线与此平面垂直？ 师生活动：小组讨论后，学生到黑板上画出反例. 设计意图：设计障碍点，从而很自然的引出对判定定理的探究. 问题 6：尝试分别用图形语言、符号语言准确地表示直线与平面垂直的判定定理，并说说它的作用. 师生活动：教师板书，学生完成导学案. 设计意图：实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.同时，体现了线线垂直到线面垂直的转化. （三）实际应用直线与平面垂直的判定定理 思考：装修工如何用一把钢角尺确定门轴与地板是否垂直？与门轴平行的另一条边与地面垂直吗？由此你可以得出什么猜想？由门框的实际例子思考线面垂直的实际应用，以及得出猜想并求证 例题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平 面。 师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线，再利用“两条平行直线中的一条垂直某一直线，则另一条也垂直于这一条直线”进行转化。教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成证明. 设计意图：数学学习过程的梳理有助于加深学生对数学抽象、数学推理、数学建模的理解，提高和升华学生的数学核心素养. 真题试练 如图，四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴 ⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=1，𝐴𝐵=. 证明：𝐴𝐷 ⊥平面𝑃𝐴𝐵. （2024 新高考Ⅰ卷 17 题改编） 师生活动：当堂检测，做这道题目，教师查看学生的完成情况，并请一位学生投影讲解自己的解题思路与解题过程，教师在这个过程中予以指导. 设计意图：巩固线面垂直的判定定理，用不同的方法，可以使用例题中的推论，如果两条平行直线中的一条垂直某一直线，则另一条也垂直于这一条直线 （四）课堂练习 例 1 在四面体 A-BCD 中，AB＝AC，DB＝DC,M 为 BC 中点，求证：BC⊥面 AMD 师生活动：教师引导学生分析题目中的信息，观察图形，找到线面垂直的条件。学生独立完成，师生共同评价。引出常见的线线垂直：等腰三角形三线合一、菱形对角线、圆的直径对应的圆周角等. 设计意图：帮助学生解决此类问题，形成建模. 例 2 如图，点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面 ABCD. 师生活动：学生独立分析问题，找到解决问题的办法，并与他人分享. 设计意图：可以让学生感受到数学来源于生活又应用于生活的重要性. （五）归纳小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并结合问题进行归纳总结： （1）我们在知识上学到了什么？ （2）本节课用到了哪些数学思想？ 本节课采用 steam 教学模式，将数学与生活、艺术、科技、实践等相结合，遵循学科融合发展. 师生活动：教师引导，学生回答，教师再总结. 设计意图：让学生了解本节课所学内容，使学生在轻松愉悦的状态下结束课程. （六）布置分层作业 必做：同步练习册 92-93； 选做：课本 152 页第 2、3 题； 思考题：在正方体中可以找到几组线面垂直；查阅资料，了解欧几里得与《几何原本》. 设计意图：激发学生继续探究的学习兴趣，培养学生善于联系生活发现问题的习惯 学科网（北京）股份有限公司 $$