2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：分式方程及其应用

分式方程及其应用 　　课标要求 1. 能解可化为一元一次方程的分式方程. 2. 能根据具体的实际意义，检验方程的解是否合理. 考点精讲 知识点梳理 一、解分式方程的步骤 1. 分式方程的概念. 分母中含有 　未知数　的方程叫作分式方程. 2. 分式方程的解法. （1）基本思路：分式方程 整式方程 得解； 未知数 （2）解分式方程的一般步骤： 步骤 具体解法 实例演练： －1 去分 母 方程两边同乘 　最简公分母　， 约去分母，化为整式方程 方程两边同乘（x－2），得3＝－（x ＋1）－（x－2） 求解 求出整式方程的解 去括号，得3＝－x－1－x＋2.移项、 合并同类项、系数化为1，得x＝－1 最简公分母 步骤 具体解法 实例演练： －1 验根 把整式方程的解代入最简公分 母，结果为0，是分式方程的 　增 根　，分式方程无解；结果不为 0，是分式方程的解 当x＝－1时，x－2＝－1－2＝－ 3≠0，故x＝－1是分式方程的解 增 根 3.分式方程的增根与无解. （1）增根： ①含义：增根是去分母后的整式方程的解，同时也使得分式方程的分母 等于0； ②解题方法： 先将分式方程转化为整式方程，求出x（含未知字母）；再令最简公分母为 0，求出x的值；最后代入即可求出未知字母的值. （2）无解的两种情况： ①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解； ②分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方 程无解. 二、实际应用中常见类型及关系式 1. 列分式方程解实际问题的一般步骤. 注意：双检验——①检验是否为分式方程的解；②检验是否符合实际问题. 2. 常见数学问题与等量关系. （1）购买（盈利）问题： 基本数量关系： 数量 单价. 常考关系式： 数量差； 单价差. （2）行程问题： 基本数量关系： 时间. 常考关系式： 时间差； 时间相等： . （3）工程、工作量问题： 基本数量关系： 工作时间. 常考关系式： 时间差； 时间相等： ； 时间和： a（常数）. 考题类型精析 例1　解方程： 2. 【答案】解：去分母，得x－2＝2（x－1）. 去括号，得x－2＝2x－2. 移项、合并同类项，得－x＝0. 系数化为1，得x＝0. 经检验，x＝0是原方程的解，即原方程的解是x＝0. 例2　解方程： 1. 【思路点拨】本题主要考查解分式方程的一般方法.在解题时，将方程两 边同时乘最简公分母，化为整式方程后再求解.掌握分式方程的求解方法，验 根是关键. 【答案】解：原方程无解. 例3　（2023万州）某区政府对经开大道实施改造提质工程，该工程全长6 300 m，改造内容涉及路面整治，绿化景观提质，人行踏板铺设等.建工集团安排 甲、乙两个施工队对经开大道分别从两端向中间施工，甲、乙两个施工队负责施 工的长度总和等于该工程全长，已知甲施工队负责施工长度的3倍比乙施工队负责 施工的长度长900 m. （1）求甲、乙两个施工队分别施工的长度是多少米； （2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍.如果甲、乙两队同 时开始施工，乙队比甲队多用6天完工，求甲、乙两个施工队每天各施工多少米. 【思路点拨】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程并正确求解分式方程. 在解题时，找到等量关系并列出方程是解题的关键.特别注意不要忘记验根. 【答案】解：（1）设甲施工队负责施工的长度是x m，则乙施工队负责施工 的长度是（3x－900） m. 根据题意，得x＋3x－900＝6 300. 解得x＝1 800. ∴3x－900＝3×1800－900＝4 500. 答：甲施工队负责施工的长度是1 800 m，乙施工队负责施工的长度是4 500 m. （2）设甲施工队每天施工y m，则乙施工队每天施工1.5y m. 根据题意，得 6.解得y＝200. 经检验，y＝200是原方程的解，且符合题意. ∴1.5y＝1.5×200＝300. 答：甲施工队每天施工200 m，乙施工队每天施工300 m. 命题点1　解分式方程 1. 分式方程 1 的解是（　D　） A. x＝1 B. x＝－2 C. x D. x＝2 D 重庆中考真题回顾 2. （2024重庆A卷）若关于x的不等式组 至少有2个整数 解，且关于y的分式方程 2－ 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 a的值之和是 　16　. 16 3. （2023重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解， 且关于y的分式方程 2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值 之和是 　4　. 4 y+9≤2(y+2)， >1 4. （2022重庆B卷改编）若关于x的分式方程 1的解为正数，且关于 y的一元一次不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是 　13　. 13 3x−2≥2(x+2)， a−2x＜−5 5. （2021重庆A卷改编）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥6，且关于y的分式方程 2的解是正整数，则所有满足条件的a的值之和是 　8　. 8 6. （2022重庆B卷）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠. （1）计划修建灌溉水渠600 m，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比 原来多修建20 m，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉 水渠多少米； 解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x m， 则原计划每天施工（x－20） m. 由题意，得5（x－20）＋2x＝600.解得x＝100. 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100 m. 命题点2　分式方程的应用 （2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1 800 m，为早日完成任务， 决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工.甲施工队按 （1）中增加人员后的修建速度进行施工.乙施工队修建360 m后，通过技术创新， 每天比原来多修建20％，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同.求乙施 工队原来每天修建灌溉水渠多少米. 解：（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y m，则技术更新后每天修建水渠y （1＋20％）＝1.2y m. 由题意，得 .解得y＝90. 经检验，y＝90是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90 m. 基础过关 1. （2022无锡）分式方程 的解是（　D　） A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝3 D. x＝－3 D 当堂检测 2. （2024秦皇岛）秦始皇统一度量单位意义重大，这一举措极大地方便了生产与 生活.如图1和图2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下 探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可列方程为（　A　） A. B. C. D. 图1 图2 A 3. （2023八中）关于x的方程 1有增根，则m的值是（　D　） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. －7 D 4. （2022金华）若分式 的值为2，则x的值是 　4　. 5. （2022永州）解分式方程 0去分母时，方程两边同时乘的最简公分母 是 　x（x＋1）　. 6. （2023大渡口）若关于x的方程 8的解是x＝1，则m＝ 　6　. 4 x（x＋1） 6 7. （2024南开）解分式方程： －1. 解：方程两边同乘2（x＋1），得2x＝3x－2（x＋1）. 解得x＝－2.检验：当x＝－2时，x－2≠0. ∴原方程的解是x＝－2. 8. （2024江苏）解分式方程： －2 . 解：方程两边同乘（x－2），得2x＋3－2（x－2）＝－（x－1）. 解得x＝－6.检验：当x＝－6时，x－2≠0. ∴原方程的解是x＝－6. 9. （2023北碚）为给旅客带来更好的居住体验，某酒店计划请施工队对90间客房 进行改造升级，已知每天乙队改造客房数量是甲队的1.5倍. （1）若甲队先做5天，然后乙队加入，甲队和乙队再合作10天全部完成.问甲队每 天改造多少间客房？ 解：（1）设甲队每天改造x间客房，则乙队每天改造1.5x间客房. 根据题意，得（5＋10）x＋10×1.5x＝90.解得x＝3. 答：甲队每天改造3间客房. （2）若甲队先独自改造20间客房，剩余部分由甲队和乙队合作完成，则甲队完成 所有客房改造共做了12天.问甲队每天改造多少间客房？ 解：（2）设甲队每天改造y间客房，则乙队每天改造1.5y间客房. 根据题意，得 12.解得y＝4. 经检验，y＝4是所列方程的解，且符合题意. 答：甲队每天改造4间客房. 10. （2023巴南）某校组织七年级学生去距学校10 km的实践中心开展研学活 动，一部分学生骑自行车先走，过了16 min后，其余学生乘汽车出发，结果 乘汽车的学生比骑车的学生提前24 min到达实践中心，已知汽车的速度是骑 车学生速度的3倍. （1）求骑车学生的速度； 解：（1）设骑车学生的速度是x km/h，则汽车的速度是3x km/h. 由题意，得 . 解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意. 答：骑车学生的速度是10 km/h. （2）汽车追上骑车学生的地点距离实践中心的路程有多远？ 解：（2）设骑车学生出发y h后，汽车追上骑车学生. 由题意，得10y＝30（y－ .解得y .则10－10× 6（km）. 答：汽车追上骑车学生的地点距离实践中心的路程是6 km. 能力提升 11. （2022毕节）小明解分式方程 －1的过程如下. 解：去分母，得3＝2x－（3x＋3）①. 去括号，得3＝2x－3x＋3②. 移项、合并同类项，得－x＝6③. 化系数为1，得x＝－6④. 以上步骤中，开始出错的一步是（　B　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 12. （2022遂宁）若关于x的方程 无解，则m的值为（　D　） A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4 13. （2024南岸）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥2，且 关于y的分式方程 3有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和 是 　－1　. D －1 14. （2023南岸）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障 能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和 B款燃油车的对比调查发现，A款电动汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均 每千米的加油费少0.6元. （1）若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车 可行驶总路程的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费； 解：（1）设A款电动汽车平均每千米的充电费为x元，则B款燃油车平均每千米的 加油费为（x＋0.6）元. 根据题意，得 ×4.解得x＝0.2. 经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意. 答：A款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元. （2）A款电动汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150 km的路程到达 乙地.行驶30 km后，到达一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小 时增加15 km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 求原计划的 速度. 解：（2）设原计划的速度为y km/h，则提速后的速度为（y＋15） km/h. 根据题意，得 × .解得y＝75. 经检验，y＝75是所列方程的解，且符合题意. 答：原计划的速度为75 km/h. $$