2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：一次方程（组）及其应用

一次方程（组）及其应用 　　课标要求 1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关 系的有效模型. 2. 掌握等式的基本性质. 3. 能解一元一次方程. 4. 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组. 5. 能解简单的三元一次方程. 考点精讲 知识点梳理 一、等式的性质及其在解方程中的应用 1. 等式的性质. 基本性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a＝b，则a＋c＝b＋c 移项 若a＝b，则a－c＝b－c 性质2 若a＝b，则ac＝bc 去分母 若a＝b，c≠0，则 系数化为1 　　性质3：若a＝b，则b＝a（对称性）； 性质4：若a＝b，b＝c，则a＝c（传递性）. 强调：等式的性质是解方程的基础，同时从方程解出未知数的值后代入原方 程检验，看这个值能否使方程的两边相等，也能减少错误. 2. 一次方程（组）的相关概念. （1）一元一次方程：只含有 　1　个未知数（也称元），并且所含未知数的 项的次数是 　1　的整式方程； （2）二元一次方程：含有 　2　个未知数，并且所含未知数的项的次数是1的 整式方程； （3）二元一次方程组：含有 　2　个未知数，并且所含未知数的项的次数是1 的方程组； （4）方程的解：使方程中等号左右两边相等的 　未知数　的值. 1 1 2 2 未知数 二、一元一次方程的解法 去分母→去括号→移项、合并同类项→系数化为1. 失分警告： 去分母 ①不要漏乘不含分母的项； ②分子（若为多项式）是一个整体，去分母后加 　括号　 去括号 ①括号前的数要乘括号内的每一项； ②去掉“－（ ）”形式的括号时，原括号内的每一项要 　变号　 括号 变号 移项 移项一定要 　变号　 合并同类项 字母及其指数不变，只把系数相加减 系数化为1 分子、分母不要颠倒 变号 三、二元一次方程组的解法（方法选取） 1. 二元一次方程组的解法. （1）基本思想：二元一次方程组 一元一次方程； 　　（2）两种消元法： 消元法 最佳适用情况 示例 具体方法 代入消 元法 方程组中一个方程的 常数项为0或某一个未 知数的系数为 　1　时 将一个方程中的一个未知数用含 另一个未知数的代数式表示出 来，代入另一个方程中，化二元 一次方程组为一元一次方程求解 1 消 元 法 最佳适用情况 示例 具体方法 加 减 消 元 法 方程组中两个方程同 一未知数的系数相等 或 　互为相反数　时 将方程组中同一未知数的系数变 为相同或互为相反数，两个方程 相加或相减，化二元一次方程组 为一元一次方程求解 　　注：其他非特殊的二元一次方程组，两种消元法皆适用. 互为相反数 2. 二元一次方程（组）解的应用. （1）若 是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝0的解，则am＋bn ＝0，要注意二元一次方程ax＋by＝0的解不唯一； （2）若 是关于x，y的二元一次方程组 的解， 则 即：见到方程的解就要代入方程（所学方程都适用）. *四、三元一次方程组及其解法 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程. 五、一次方程（组）的实际应用 1. 解题的一般步骤. （1）审：分清已知什么，求什么，明确等量关系； （2）设：一般题干最后一句求哪个量，就设其为x，其他未知数用含x的代 数式或y来表示； （3）列：根据等量关系列方程（组），注意量的单位要统一； 注：一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程. （4）解：解方程（组），求出未知数的值； （5）验：双重验证 （在解答过程中不用书写） （6）答：写出答语. 2. 常见数学问题与等量关系. （1）购买、分配类问题： 费用＝单位费用×数量 总量＝单位量×数量 　　　　　　　　　　 ⇩ 总费用＝甲的单位费用×甲的数量＋乙的单位费用×乙的数量； 总数量＝甲的数量＋乙的数量（或甲、乙之间和差倍分数量关系）. （2）打折销售问题： ①售价＝标价（原价）×折扣（如打八折，折扣就是80％）； ②利润＝售价－进价（成本价）； ③利润率 ×100％，即“获利15％”指的是进价（成本价）×15％. （3）阶梯费用问题： ①未超过部分：单位费用×用量； ②超过部分：（单位费用＋a）×超过部分的用量. （4）配套问题： ①1个A和1个B配套：A的数量＝B的数量； ②m个A和n个B配套：数量比为A∶B＝m∶n，即A的数量的n倍＝B的数量 的m倍. （5）比赛积分问题： ①总场数＝胜场数＋负场数＋平场数； ②总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分. （6）工程问题：工作总量未定时，可设工作总量为单位1. ①工作总量＝工作效率×工作时间； ②工作总量＝各单位工作量之和； ③工作效率 . （7）行程问题（匀速运动）：基本关系式s＝v·t. ①相遇问题（同时出发）：如图1，s甲＋s乙＝ 　sAB　，t甲＝t乙； sAB ②追及问题：同时不同地：如图2，s甲＝s乙＋ 　sAC　，t甲＝t乙； sAC 同地不同时：如图3，甲出发a小时后乙出发，在B处乙追上甲，s甲＝s乙，t 甲＝ 　a＋t乙　； a＋t乙 ③航行问题： 顺水速度＝静水速度＋水流速度； 逆水速度＝静水速度－水流速度. 考题类型精析 例1　下列等式的变形中，正确的是（　　　） A. 由2＋x＝8，得x＝8＋2 B. 由2x＋6＝4x，得x＋6＝2x C. 由2x＝3，得x D. 由 －1＝1，得x－5＝1 【思路点拨】本题主要考查等式的两条基本性质.在解题时，需要根据等式的 性质逐一判断四个选项是否正确.熟练掌握等式的基本性质是解答此题的关键. 【答案】C 例2　解方程： 1. 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的解法.在解题时，方程两边每一项 都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项.另外，在去分母时，若 分子为多项式，应添括号. 【答案】解：去分母，得3（x－3）－2（2x＋1）＝6. 去括号，得3x－9－4x－2＝6. 移项、合并同类项，得－x＝17. 系数化为1，得x＝－17. 例3　下列方程中，属于二元一次方程的是（　　　） A. 3x－2y＝4z B. 4x C. 4y＝6 D. 6xy＋9＝0 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程的概念.在解题时，要熟悉二元一次 方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的次数都是1. 【答案】B 例4　下列x，y的各对数值中，是方程组 的解的是（　　　） A. B. C. D. 【思路点拨】本题主要考查方程组的解的定义.在解题时，可以通过解二元一 次方程组得到答案，也可以将各选项中的未知数的值代入方程组，能使方程组中 每个方程左、右两边都相等的未知数的值即为正确答案. 【答案】C 例5　解方程组： 【思路点拨】本题主要考查分式方程的解.在解题时，可以利用代入消元法把 方程①变形为x＝y＋1，代入②中求解；也可以利用加减消元法将①＋②，消去 y后求出方程的解.通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程是解方程组 的主要思想方法. 【答案】解：由①＋②，得4x＝8.解得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝1.则该方程组的解为 例6　某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1 000只，这两种节能灯的 进价、售价如下表所示： 型号 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 　　（1）如果进货款恰好为37 000元，那么可以购进甲、乙两种型号的节能 灯各多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求 全部售完后，乙型节能灯的利润为20％，则乙型节能灯需打几折？ 【思路点拨】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程并正确求解一元 一次方程.在解题时，找到等量关系并列出方程是解题的关键. 【答案】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1 000－ x）只. 由题意，得25x＋45（1 000－x）＝37 000. 解得x＝400.则1 000－x＝1 000－400＝600（只）. 答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只. （2）设乙型节能灯需打a折. 由题意，得60×0.1a－45＝45×20％.解得a＝9. 答：乙型节能灯需打九折. 例7　医院购了一批测温枪.已知2支A型号测温枪和1支B型号测温枪共需310 元，3支A型号测温枪和2支B型号测温枪共需540元. （1）A，B两种型号测温枪的单价各是多少元？ （2）已知该医院需要采购两种型号的测温枪共60支，且A型号测温枪的数量 不超过B型号测温枪数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用. 【思路点拨】本题主要考查由具体问题中的数量关系列出二元一次方程组， 在解题时，设A型号测温枪的单价是x元，B型号测温枪的单价是y元，根据等量 关系列出方程组，求解即可，本题培养学生的方程思想和建模意识. 【答案】解：（1）设A型号测温枪的单价是x元，B型号测温枪的单价是 y元. 由题意，得 解得 答：A型号测温枪的单价是80元，B型号测温枪的单价是150元. （2）设购买A型号测温枪m支，B型号测温枪（60－m）支. 由题意，得m≤2（60－m）.解得m≤40. 设本次采购所花总金额为w元. 由题意，得w＝80m＋150（60－m）＝－70m＋9 000. ∵－70＜0， ∴w的值随m值的增大而减小. ∴当m＝40时，w取得最小值，wmin＝－70×40＋9 000＝6 200（元），此时 60－m＝60－40＝20（支）. 答：当购买40支A型号测温枪和20支B型号测温枪时，所花费用最少，最少费 用为6 200元. 命题点1　解一元一次方程 1. （2020重庆A卷）解一元一次方程 （x＋1）＝1－ x时，去分母正确的是 （　D　） A. 3（x＋1）＝1－2x B. 2（x＋1）＝1－3x C. 2（x＋1）＝6－3x D. 3（x＋1）＝6－2x 2. （2021重庆A卷）若关于x的方程 a＝4的解是x＝2，则a的值为 　3　. 3. （2021重庆B卷）方程2（x－3）＝6的解是 　x＝6　. D 3 x＝6 重庆中考真题回顾 命题点2　解二元一次方程组 4. 解方程组： 解：由①＋②，得3x＝9.解得x＝3. 将x＝3代入②，得6＋y＝7.解得y＝1. ∴原方程组的解为 命题点3　一次方程（组）的实际应用 5. （2024重庆B卷）某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷 任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算 需要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元.已知每千克A种 外墙漆的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元. （1）求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元； 解：（1）设每千克A种外墙漆的价格为x元，则每千克B种外墙漆的价格为（x－ 2）元. 由题意，得300x＋300（x－2）＝15 000. 解得x＝26.则x－2＝24. 答：每千克A种外墙漆的价格为26元，每千克B种外墙漆的价格为24元. （2）已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积的 乙完成粉刷任 务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.则甲每小时粉刷外墙的面积是多 少平方米？ 解：（2）设甲每小时粉刷外墙的面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是 y平方米. 由题意，得 －5 . 解得y＝25.经检验，y＝25是原方程的解，且符合题意. 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 6. （2024重庆A卷）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有 甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关 政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备 可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补 贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 解：（1）设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有（30－x）条. 由题意，得3x＋2（30－x）＝70. 解得x＝10.则30－x＝20. 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条. （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需 多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙 类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资 金更新生产线的设备？ 解：（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线 的设备为（m－5）万元. 由题意，得 .解得m＝50. 经检验，m＝50是原方程的解，且符合题意. 则m－5＝45.故还需要更新设备费用为10×50＋20×45－70＝1 330（万元）. 答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 7. （2023重庆A卷）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的炸酱面、牛肉 面两种食品.该公司花费3 000元一次性购买了炸酱面、牛肉面共170份，此时炸酱 面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买炸酱面、牛肉面两种食品各多少份. 解：设购买炸酱面x份，牛肉面y份. 由题意，得 解得 答：购买炸酱面80份，牛肉面90份. 8. （2023重庆B卷）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季 节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区 农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10 000亩，甲区农田的80％ 和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同.求甲、乙 两区各有农田多少亩. 解：设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x＋10 000）亩. 由题意，得80％（x＋10 000）＝x. 解得x＝40 000.则x＋10 000＝40 000＋10 000＝50 000. 答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩. 9. （2022重庆A卷）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行 爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙 的1.2倍. （1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时后恰好追上乙，求 甲骑行的速度； 解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时. 由题意，得 ×1.2x＝2 x. 解得x＝20.则1.2x＝1.2×20＝24. 答：甲骑行的速度为24千米/时. （2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求 甲骑行的速度. 解：（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时. 由题意，得 .解得y＝15. 经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意. 则1.2y＝1.2×15＝18. 答：甲骑行的速度为18千米/时. 10. （2022重庆B卷）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠.计划修建灌 溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再 施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米. 解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x－ 20）米. 由题意，得5（x－20）＋2x＝600.解得x＝100. 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米. 基础过关 1. （2022滨州）在物理学中，通过导体的电流I跟导体两端的电压U、导体的电 阻R之间有以下关系：I . 去分母，得IR＝U，那么其变形的依据是（　B　） A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 分式的基本性质 D. 不等式的性质2 B 当堂检测 2. （2023南阳）已知x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，则a的值是（　C　） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 C 3. 解方程 －1时，去分母正确的是（　A　） A. 3（2x－1）＝4×2x－12 B. 3（2x－1）＝4×2x－1 C. 3（2x－1）＝2x－12 D. （2x－1）＝4×2x－12 A 4. （2024育才）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要 采购A，B两种菜苗开展种植活动.已知购进15捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需450 元；购进10捆A种菜苗和8捆B种菜苗共需220元.设购进一捆A种菜苗x元，一捆B 种菜苗y元，根据题意可列方程组为（　D　） A. B. C. D. D 5. （2023綦江）甲、乙、丙、丁四位同学对关于x，y的二元一次方程组 （其中a，b均为非零常数）进行探究后有以下描述： 甲：若a＝b，则x ； 乙：当a＝－6，b＝2时，方程组中的x与y互为相反数； 丙：若 是方程组 的解，则方程组 的解为 丁：当3a－b＝0时，x＋y＝1. 其中描述正确的有（　A　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 A 6. （2022随州）已知二元一次方程组 则x－y＝ 　1　. 7. （2024宿迁）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则 关于x，y的方程组 的解是 　​ 　. 1 ​ 8. （2024浙江）如图，从某月的月历表中取一个2×2方块.已知这个方块所围成 的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期.若设左上角的日期为x，则根 据题意可列方程为 　x＋（x＋1）＋（x＋7）＋（x＋8）＝44　. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 x＋（x＋1）＋（x＋7）＋（x＋8）＝44 9. （2022绍兴）解方程组： 解： 由①＋②，得3x＝6. 解得x＝2.把x＝2代入②，得y＝0. ∴原方程组的解为 10. （2023荣昌）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中 的a，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为 （1）求原方程组中a，b的值； a＝－1，b＝10. （2）求原方程组的正确解. ​ 能力提升 11. （2022武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻 方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对 角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方.图2是一个未完成的幻方，则x 与y的和是（　D　） 图1　　　 图2 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 D 12. （2023巴蜀）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长 方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81，8个长方形纸片围成 如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64，12个长方形纸片围成如图3所示的 正方形，其阴影部分的面积为 　49　. 49 13. （2024南岸）为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校 园农场，培养学生的劳动能力.农场去年春季种植蔬菜和水果共收获130 kg.由于 同学们劳动技能的提高，今年春季的蔬菜产量比去年增加了10％，水果产量比去 年增加了20％，蔬菜和水果的总产量比去年增加了18 kg. （1）去年春季蔬菜和水果的产量各是多少千克？ 解：（1）设去年春季蔬菜的产量是x kg，水果的产量是y kg，则今年春季蔬菜的 产量是（1＋10％）x kg，水果的产量是（1＋20％）y kg. 由题意，得 解得 答：去年春季蔬菜的产量是80 kg，水果的产量是50 kg. （2）今年4月，收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果 和收割蔬菜.每小时收割蔬菜的质量是采摘水果质量的1.2倍，两组同学同时开始 劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务.水果采摘小组每小 时采摘水果多少千克？ 解：（2）设水果采摘小组每小时采摘水果m kg，则蔬菜收割小组每小时收割蔬菜 1.2m kg. 由题意，得 .解得m＝40. 经检验，m＝40是所列方程的解，且符合题意. 答：水果采摘小组每小时采摘水果40 kg. $$