2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：一次不等式（组）的解法

一次不等式（组）的解法 　　课标要求 1. 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2. 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确 定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 3. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实 际问题. 考点精讲 知识点梳理 一、不等式的性质 性质1：如果a＞b，那么a±c 　＞　b±c； 性质2：如果a＞b，且c＞0，那么ac 　＞　bc或  　＞　 ； 性质3：如果a＞b，且c＜0，那么ac 　＜　bc或  　＜　 . 失分警告：运用不等式的性质3时，不等号的方向要改变.这也是不等式与等 式性质的区别之处. ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ 　　二、一元一次不等式的解法及解集表示 解法步骤 与解一元一次方程类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别注意性质3的变号） 解集的表示 x＜a x＞a x≤a x≥a x＞a x≤a 总结 在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一定边界点，二定方向.定边界点时，“≥”和“≤”是实心圆点，“＞”和“＜”是空心圆圈；定方向的原则为小于向左，大于向右 　　三、不等式组的解法及解集表示 解法：先分别求出各个不等式的解集，再利用数轴或口诀求出不等式组的解集 解集的 类型及 表示 类型（a＞ b） 在数轴上表示 口诀 解集 大大取较大 x＞a 小小取较小 x＜b x＞a x＜b 解集的 类型及 表示 小大、大小取中间 b＜x≤a 解集的 类型及表示 大大小小无解集 b＜x≤a b＜x≤a 无解 　　四、一次不等式的实际应用 1. 不等号与常见对应关键词. 不等号 对应关键词 ＞ 大于，多于，超过，高于 ＜ 小于，少于，不足，低于 ≥ 至少，不低于，不小于，不少于 ≤ 至多，不超过，不高于，不大于（答案不唯一） 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 至少，不低于，不小于，不少于 至多，不超过，不高于，不大于（答案不唯一） 　　2.列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤. （1）审：审清题干已知什么，求什么； （2）设：设出合适的未知数，并用未知数表示出相关的量； （3）找：找出不等关系对应的关键词，如“至多”“不少于”等； （4）列：根据不等关系列出不等式； （5）解：解列出的不等式； （6）作答. 3. 常见数学问题与等量关系. （1）总利润＝总售价－总成本； （2）购买资金（总费用）＝甲的单位费用×甲的数量＋乙的单位费用×乙的 数量. 注：总量＝各部分之和（各部分一般等于单位量×数量）. 考题类型精析 例1　（2023北碚）下列判断不正确的是（　　　） A. 若a＞b，则a＋2＞b＋2 B. 若a＞b，则－3a＜－3b C. 若2a＞2b，则a＞b D. 若a＞b，则ac2＞bc2 【思路点拨】本题主要考查不等式的性质.在解题时要特别注意，不等式两边 同乘正数时，不等号的方向不改变. 【答案】D 例2　（2023巴南）若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这 个不等式组的解集为（　　　） A. －1＜x＜3 B. －1≤x＜3 C. －1≤x≤3 D. －1＜x≤3 【思路点拨】本题主要考查解一元一次不等式的基本步骤和在数轴上正确表 示不等式的解集.在解题时，要特别注意以下两点：（1）在表示解集时，“≥” 和“≤”要用实心圆点表示，“＜”和“＞”要用空心圆圈表示.（2）在确定不 等式解集的方向时，若是“＞”或“≥”向右画，若是“＜”或“≤”向左画. 【答案】D 例3　如果点P（2m，3－6m）在第四象限，那么m的取值范围是 （　　　） A. 0＜m B. － m＜0 C. m＜0 D. m 【思路点拨】本题主要考查解一元一次不等式组.在解题时，先根据第四象限 内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小 小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 【答案】D 例4　学校准备为“校园歌手”比赛购买奖品.已知在商城购买3个A种奖品和2 个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和4个B种奖品共需210元. （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校计划购买A，B两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1 500元，正逢商城搞促销活动，所有商品一律按八折销售，则学校在商城最多能购 买多少个A种奖品？ 【思路点拨】本题主要考查方程组和一元一次不等式的应用问题.在解第 （1）题时，应找准等量关系，正确列出二元一次方程组；在解第（2）题时，根 据费用不超过1 500元，正确列出一元一次不等式. 【答案】解：（1）A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为15元. （2）设学校购买a个A种奖品，则购买（80－a）个B种奖品. 由题意，得0.8×[30a＋15（80－a）]≤1 500.解得a≤45. 答：学校在商城最多能购买45个A种奖品. 命题点1　一元一次不等式的解法及解集表示 1. （2021重庆A卷）不等式x≤2在数轴上表示正确的是（　C　） C 重庆中考真题回顾 2. （2021重庆B卷）不等式x＞5在数轴上表示正确的是（　C　） C 命题点2　一元一次不等式组的解法及解的应用 3. （2024重庆B卷改编）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 x≤4，则满足条件的a的取值范围为 　a＞2　. 4. （2023重庆B卷改编）若关于x的不等式组 的解集为x＜－2， 则满足条件的a的取值范围为 　a≤5　. a＞2 a≤5 5. （2022重庆A卷改编）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 x≤－2，则满足条件的a的取值范围为  　a＞－11　. 6. （2020重庆A卷改编）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 x≤a，则满足条件的a的取值范围为 　a≤7　. a＞－11 a≤7 命题点3　一次不等式的实际应用 7. 正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工 程交由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4 km，如 果甲工程队修6.4 km所用的天数是乙工程队修9.6 km所用天数的一半. （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ 解：（1）设乙工程队每天修x km，则甲工程队每天修（x＋0.4） km. 根据题意，得 × .解得x＝1.2. 经检验，x＝1.2是原方程的解，且符合题意. ∴x＋0.4＝1.2＋0.4＝1.6. 答：甲工程队每天修1.6 km，乙工程队每天修1.2 km. （2）现计划再修建长度为24 km的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每 天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万 元的情况下，至少应安排乙工程队施工多少天？ 解：（2）设安排乙工程队施工m天，则甲工程队施工 天. 根据题意，得2.4× 1.5m≤33.6. 解得m≥8.∴m的最小值为8. 答：至少应安排乙工程队施工8天. 基础过关 1. （2023开州）若a＞b，则下列不等式的变形错误的是（　C　） A. a－8＞b－8 B. a＋5＞b＋5 C. －3a＞－3b D. 2. （2022武威）不等式3x－2＞4的解集是（　C　） A. x＞－2 B. x＜－2 C. x＞2 D. x＜2 C C 当堂检测 3. （2023黔江）在平面直角坐标系中，若点G（x，x－5）在第三象限，则x的 取值范围是（　D　） A. －5＜x＜0 B. 0＜x＜5 C. x＞5 D. x＜0 D 4. （2023开州）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　A　） A 5. （2022丽水）不等式3x＞2x＋4的解集是 　x＞4　. 6. （2022十堰）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式 组的解集为 　0≤x＜1　. x＞4 0≤x＜1 7. （2024宁夏）对于实数a，b，定义一种新运算“*”：a*b＝a2＋ab－2，则不 等式组 的解集为 　x＞－1　. 8. 某款手机的进价为5 000元，标价为8 000元，现在进行打折促销，但要保证利 润率不低于28％，则最多打 　八　折. x＞－1 八 9. （2022舟山）解不等式：x＋8＜4x－1. 解：x＋8＜4x－1. 移项、合并同类项，得－3x＜－9. 系数化为1，得x＞3. 10. （2024江苏）解不等式组： 解： 解不等式①，得x＞－1. 解不等式②，得x≤ . ∴不等式组的解集为－1＜x≤ . 能力提升 11. （2022邵阳）若关于x的不等式组 有且只有三个整数 解，则a的最大值是（　C　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 12. （2022大庆）满足不等式组 的整数解是 　x＝2　. x＝2 13. （2022河北）已知整式3（ －m）的值为P. （1）当m＝2时，求P的值； 解：（1）根据题意，得P＝3（ －2）＝3×（－ －5. （2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值. 解：（2）由数轴知P≤7，即3（ －m）≤7，解得m≥－2. ∵m为负整数，∴m＝－1或－2. $$