2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：实数的相关概念及运算

实数的相关概念及运算 　　课标要求 1. 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. 2. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的 方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）. 3. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合 运算. 考点精讲 4. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5. 能运用有理数的运算解决简单的问题. 6. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算 术平方根、立方根. 7. 知道乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用 立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根. 8. 知道无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的 相反数与绝对值. 知识点梳理 　　一、实数的分类 1. 按定义分. 0　循环　不循环 0 循环 不循环 常见的几种无理数：（1）π及化简后含π的数，如 π＋3等； （2）开方开不尽的数，如 等； （3）有规律但不循环的无限小数，如0.303 003 000 3…（每相邻两个3之间 依次多一个“0”）等； （4）含有根式的三角函数值，如sin 60°，tan 30°等. 2. 按大小分. 实数 二、实数的相关概念 1. 数轴. （1）三要素： 单位长度 （2）实数与数轴上的点 ⁠； （3）数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数 ，即负 数 0 正数. 一一对应 小 ＜ ＜ 原点 2. 相反数. 像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数. （1）实数a的相反数为 ，0的相反数为 .简记：加负号，化简； （2）实数a，b互为相反数⇔a＋b＝ （b≠0）； （3）数轴上表示相反数（0除外）的两个点在原点两侧，且到原点的距离相 等，即这两点关于原点对称. －a 0 0 －1 3. 绝对值. 数轴上表示数a的点与原点的 叫作数a的绝对值，记作｜a｜. （1）｜a｜＝ 非负性：｜a｜ 0； （2）离原点越远的数，其绝对值越 ⁠； （3）绝对值相等的两个数相等或 ，即｜a｜＝｜b｜⇔a＝ b或 ⁠. 距离 ≥ 大 互为相反数 a＝－b（或a＋b＝0） 4. 倒数. 在有理数中，乘积是1的两个数互为倒数. （1）a的倒数为 　​ 　（a≠0），－ （b≠0）的倒数为 　－ 　（符号不 变，分子分母互换位置）； （2）a，b互为倒数，则ab＝ ⁠； （3）正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数，0没有倒数，倒数等于其 本身的数是 ⁠. ​ － 1 ±1 5. 科学记数法. （1）表示形式：a×10n，其中 ≤｜a｜＜ ，n为整数； （2）a的确定：将原数变为整数位数只有1位的数，如原数为65 000时，a 为 ⁠； 1 10 6.5 （3）n的确定： ①当原数≥10时，n为正整数且等于原数的整数位数减1（或原数变为a时小 数点向左移动的位数）.如原数为65 000时，n的值为 ⁠； ②当0＜原数＜1时，n为负整数且绝对值等于原数左起第1个非0数字前所有0 的个数（包括小数点前的0）.如原数为0.000 65时，n的值为 ⁠； 4 －4 ③含计数（量）单位的数用科学记数法表示时，应先把计数（量）单位转化 为数字.常见的计数（量）单位：亿表示108，万表示104；1 mm＝10－3 m，1 nm＝ 10－9 m. 三、实数的运算 1. 实数的大小比较. （1）关键点：先分类，再比较； （2）常用方法1——性质比较法： ①负数＜0＜正数； ②两个正数比较大小，绝对值大的数较 　 ；⁠ ③两个负数比较大小，绝对值大的数反而 ⁠； ④如果一组数里面有正数、0、负数，判断最大的数直接在正数里面比较，判 断最小的数直接在负数里面比较. 大 小 （3）常用方法2——平方比较法：已知实数a （a＞0，b＞0，c＞ 0），将三个数分别平方，若a2＞b＞c，则a .适用于含有根 式的数的比较. （4）与数轴有关的大小比较： ①右边的数总比左边的数 ⁠； ②距离原点越远，绝对值越 ⁠. ＞　 大 大 （5）拓展： 作差比 较法 两数相减，与0 比较 ①a－b＞0⇔a b； ②a－b＝0⇔a b； ③a－b＜0⇔a ⁠b 作商比 较法 两数相除，与1比较（a＞0，b＞0） 1（b≠0）⇔a b； 1（b≠0）⇔ a ⁠b； ③ 1（b≠0）⇔ a ⁠b 特殊值法 含有字母的数比较大小，直接赋值有时更简便 ＞ ＝ ＜ ＞ ＝ ＜ 　　2.四则运算. （1）加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 ⁠； ②异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不相等时，取绝对值较大 的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值； ③a＋0＝ ⁠； 相加 0 减去 a （2）减法法则：a－b＝a＋ ⁠. （3）乘法法则： ①两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘； ②a×0＝ ⁠. （－b） 正 负 0 （4）除法法则：a÷b＝a× （b≠0）. 3. 有理数的乘方. （1）乘方运算： （n≠0）. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正次幂都是0； 负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数. （2）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减. an （3）简便运算：不同底数的运算与乘除法结合时，可先转变为同底数幂，再 乘除.如： ①46÷（－2）6＝46÷[（－2）2]3＝46÷ ＝ ⁠； ②82 024×（－0.125）2 025＝82 024×（－2 024×（－ ×（－  　－ 　. 43 43 － 4. 运算律. （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac. 5. 常考的运算. （1）幂的运算： ①底数为－1：（－1）n ②指数为0：a0＝ （a≠0）； ③指数为负整数：a－p＝ （a≠0，p为正整数）. 1 ​ （2）特殊角的三角函数值： sin 30°＝ cos 60°＝ ⁠； sin 45°＝ cos 45°＝ ⁠； sin 60°＝ cos 30°＝ ⁠； tan 30°＝ ⁠； tan 45°＝ ⁠； tan 60°＝ ⁠. ​ ​ ​ ​ 1 ​ （3）去绝对值符号： ①｜a｜型：直接利用绝对值性质计算； ②｜a－b｜型：先比较a，b的大小，再根据绝对值的非负性去绝对值符 号： ｜a－b｜ 6. 运算解题步骤. （1）计算每小项； （2）按运算顺序计算：先乘除，后加减，有括号先算括号内的；同级运算按 照从左到右的顺序计算； （3）得出最终结果. 考题类型精析 例1　（2024育才）－（－2 025）＝（　　　） A. －2 025 B. 2 025 C. － D. 【答案】B 例2　 的倒数是（　　　） A. － B. C. D. ± 【答案】C 例3　4的算术平方根是 　　　　　. 【答案】2 例4　（2023育才）2022年，全国企业年金投资资产净值约为2.83万亿元.将 2.83万亿用科学记数法表示为（　　　） A. 2.83×10亿 B. 2.83×102亿 C. 2.83×103亿 D. 2.83×104亿 【思路点拨】本题主要考查科学记数法的表示方法.利用科学记数法可以将一 个数表示成a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10，n为整数.在解题时，关键是要 正确确定a的值以及n的值.常用的计数单位：1千＝103，1万＝104，1亿＝108. 【答案】D 例5　计算：（ －3）0 －（－－1. 【思路点拨】本题考查实数的混合运算.在解题时，要特别注意零指数幂、负 整数指数幂、特殊三角函数值及根式的运算. 【答案】原式＝1＋3 ＝1＋4 . 例6　（2023一外）在0，－ 2，－ 这四个数中，最小的数为（　　　） A. 0 B. － C. 2 D. － 【思路点拨】本题考查实数的大小比较.在解题时，注意正实数＞0＞负实 数，且两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.特别需要注意的是一些常用无理 数的大小，如π≈3.14 ≈1.414 ≈1.732 ≈2.236，同时也要会估算 一些无理数的大小. 【答案】B 命题点1　实数的分类 1. 下列四个实数中，是有理数的是（　C　） A. B. π C. D. 5.855 855 58…（每相邻两个8之间依次多一个“5”） C 重庆中考真题回顾 命题点2　绝对值、相反数、倒数 2.8的相反数是（　A　） A. －8 B. 8 C. － D. 3. － 的绝对值为（　B　） A. － B. C. 3 D. －3 4. （2020重庆B卷）5的倒数是（　B　） A. 5 B. C. －5 D. － A B B 命题点3　科学记数法 5. （2020重庆A卷）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26 000家厂家进行 “云端销售”.其中数据26 000用科学记数法表示为（　C　） A. 26×103 B. 2.6×103 C. 2.6×104 D. 0.26×105 C 命题点4　实数的大小比较 6. （2024重庆A卷）下列四个数中，最小的数是（　A　） A. －2 B. 0 C. 3 D. － 7. 下列各数中，比－ 大的数是（　A　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 A A 命题点5　实数的运算 8. （2021重庆A卷）计算 × 的结果是（　B　） A. 7 B. 6 C. 7 D. 2 9. （2023重庆A卷）计算：2－1＋30＝ ⁠. 10. （2023重庆B卷）计算：｜－5｜＋（2－0＝ ⁠. B ​ 6 基础过关 1. （2023江苏）下列实数： 0 3.141 5 4.21，3π， 6.101 001 000 1…（每相邻两个1之间依次多一个“0”），其中，有理数有 （　B　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. （2023合肥）在0，－1，2，－3这四个数中，绝对值最大的数是（　D　） A. 0 B. －1 C. 2 D. －3 B D 当堂检测 3. （2023河南）－ 的相反数是（　C　） A. － B. C. D. － C 4. （2023青岛）下列四个数中，其倒数是－5的是（　C　） A. －5 B. 5 C. － D. 5. （2023宜宾）人体红细胞的直径约为0.000 007 7 m，将数据0.000 007 7用科学 记数法表示是（　C　） A. 0.77×10－6 B. 7.7×10－7 C. 7.7×10－6 D. 7.7×10－5 C C 6. （2023秀山）把（－1）－（＋2）－（－4）＋（－3）统一为加法运算，正确 的是（　B　） A. （－1）＋（＋2）＋（－4）＋（－3） B. （－1）＋（－2）＋（＋4）＋（－3） C. （－1）＋（＋2）＋（＋4）＋（＋3） D. （－1）＋（－2）＋（－4）＋（＋3） B 7. （2022台州）无理数 的大小在（　B　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. （2022江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中， 正确的是（　C　） A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. a＝－b 9. （2023内蒙古）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2－｜b｜，则（－2）⊗ （－1）的运算结果为（　D　） A. －5 B. －3 C. 5 D. 3 B C D 10. （2024南开）与－2 025相加，和为0的数是 ⁠. 11. （2022玉林）计算：2÷（－2）＝ ⁠. 12. （2023威海）计算：（ －1）0＋（－－2－ ⁠. 13. （2023深圳）计算：（1＋π）0＋2－｜－3｜＋2sin45°. ​ 2025 －1 8 14. （2022杭州）计算：（－6）×（ －■）－23. 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了. （1）如果被污染的数字是 请计算（－6）×（ －23； 解：（1）（－6）×（ －23 ＝（－6）× －8 ＝－1－8 ＝－9. （2）如果计算结果等于6，求被污染的数字. 解：（2）设被污染的数字为x. 根据题意，得（－6）×（ －x）－23＝6. 解得x＝3. 所以被污染的数字是3. 能力提升 15. （2022恩施州）观察下列一组数：2 …，它们按一定规律排列，第 n个数记为an，且满足 .则a4＝ 　​ 　，a2 022＝ 　​ 　. ​ ​ 16. （2023枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算“※”：a※b＝ 例如：3※1＝3－1＝2，5※4＝5＋4－6＝3.根据上面的材 料，请完成下列问题： （1）4※3＝ 　　　　　，（－1）※（－3）＝ 　　　　； 解：（1）∵4＜2×3，∴4※3＝4＋3－6＝1. ∵－1＞2×（－3），∴（－1）※（－3）＝－1－（－3）＝2. 故答案为：1；2. 1 2 （2）若（3x＋2）※（x－1）＝5，求x的值. 解：（2）当3x＋2≥2（x－1），即x≥－4时， 原方程为3x＋2－（x－1）＝5， 解得x＝1，符合题意； 当3x＋2＜2（x－1），即x＜－4时， 原方程为3x＋2＋x－1－6＝5， 解得x＝2.5. ∵2.5＞－4， ∴x＝2.5不符合题意，舍去. 综上，x＝1. $$