专题1.6 勾股定理与方程思想（5大模型6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.6 勾股定理与方程思想（5大模型6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点归纳】 勾股定理中的方程思想，是一种通过设立未知数，并利用勾股定理构建方程来求解问题的方法。这种方法在解决直角三角形相关的问题时尤为有效。以下是勾股定理中方程思想的一些常见考点模型： 【模型1】解直角三角形中的方程思想 这是最直接的应用模型。在直角三角形中，设两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理有a²+b²=c²。当已知其中两边求第三边时，可以直接代入数值求解方程。另外，在非直角三角形中，通过作辅助线，构造直角三角形建立方程解决问题。 【模型2】折叠中的方程思想 这类问题通常涉及到一个直角三角形被翻折或折叠的情况。在翻折或折叠过程中，某些边的长度保持不变，而角度和位置发生变化。通过设立未知数表示变化的边，并利用勾股定理构建方程，可以求解未知数的值。 【模型3】图形变换与构造模型中的方程思想 在一些复杂的问题中，可能需要通过图形变换（如旋转、平移等）或构造辅助线来构造直角三角形，并利用勾股定理求解。这类问题往往需要较高的空间想象力和图形构造能力。 【模型4】实际应用模型方程思想 勾股定理在实际生活中有广泛的应用，如测量物体的高度、距离等。在这些问题中，可以通过设立未知数表示待求的量，并利用勾股定理构建方程进行求解。例如，在测量旗杆高度时，可以通过设立未知数表示旗杆的高度，并利用地面距离、影子长度和旗杆与地面的角度构建方程求解。 【模型5】拓展模型方程思想 除了基本的直角三角形模型外，勾股定理还可以推广到其他几何形状以及更广泛的数学问题中。例如，在三维空间中，可以使用勾股定理计算两点之间的距离；在更高维度的情况下，可以使用类似的方法计算多个点之间的距离、角度等。这些拓展模型同样可以利用方程思想进行求解。 在解决这些模型的问题时，关键在于理解勾股定理的本质和方程思想的应用。通过设立未知数、构建方程并求解，我们可以有效地解决与直角三角形相关的各种问题。如果你有任何具体的问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点1】解直角三角形中的方程思想 【题型1】直接利用直角三角形设未知数列方程........................,...........2 【题型2】构造直角三角形设未知数列方程...........................,............5 【考点2】折叠中的方程思想 【题型3】直角三角形折叠中的方程思想.................................,.......8 【题型4】矩形折叠中的方程思想..............................................10 【题型5】两次及以上折叠中的方程思想........................................13 【题型6】等腰三角形折叠中的方程思想........................................17 【考点3】图形变换与构造模型方程思想 【题型7】勾股定理与旋转中的方程思想........................................22 【题型8】勾股定理与平移中的方程思想........................................26 【考点4】实际应用中的方程思想 【题型9】勾股定理与古代问题中的方程思想....................................29 【题型10】勾股定理与实际生活中的方程思想...................................31 【考点5】拓展模型方程思想 【题型11】勾股定理与最值问题中的方程思想...................................34 【题型12】勾股定理与动点问题中的方程思想...................................37 【考点6】中考链接与拓展延伸中的方程思想 【题型13】中考链接.........................................................43 【题型14】拓展延伸.........................................................45 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接利用直角三角形设未知数列方程 【例1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握考点是解题的关键．先求得，设，则，再根据勾股定理得，列出方程得，求解即可． 解：在中，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ， 故答案为： 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 解：设，由题意得， ，，， ∴四边形是长方形， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了是直角三角形、，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当、时，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出；当、时，设，则，根据勾股定理可以求出的长度． 解：如下图所示， 若，， 在中，，， ； 如下图所示， 若，， 设， 则， 在中，， ， 解得：或（舍去）； 综上所述，的长为或． 【题型2】构造直角三角形设未知数列方程 【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和垂直平分线的性质，首先利用勾股定理求得的长度，再利用垂直平分线的性质得出，最后在中利用勾股定理解得的长度． 解：连接， 利用勾股定理可得， 是的垂直平分线， ； 设，则，； 在中，利用勾股定理可得：， 即，解得， 所以的长度为． 故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理等考点，正确添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理计算出，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求解即可． 解：如图：连接， ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，，解得． ∴的长为． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得， 故答案为：． 【题型3】直角三角形折叠中的方程思想 【例3】（18-19八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． （1）如图1，如果点和顶点A重合，求的长． （2）如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 解：（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，进而求得的长． 解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 故答案为：． 【题型4】矩形折叠中的方程思想 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等考点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 【题型5】两次及以上折叠中的方程思想 【例5】（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读材料： 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出、的中点G、H，折痕为，再沿折叠，使落在上，点D与点P重合，即．此时，的长度可以用来表示方程的一个正根，请证明．　 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，方程的解等考点，如图：连，设，则，利用勾股定理得到，解方程即可得解，熟练掌握折叠性质，勾股定理的应用是解决此题的关键． 解：如图：连，设，则， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得： ， ∵是方程的一个根， ∴的长度是方程的一个正根． 【变式1】（16-17八年级下·全国·课后作业）如图①是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图②，再将②沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图③，则折痕的长为　　 A．cm B．cm C．cm D．3 cm 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，证明出为等腰三角形，得，在中，用勾股定理求，根据折叠的性质，证明为等腰三角形，过点作的垂线，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：是直角三角形，， ， 沿折痕折叠点落在斜边上的点处， ，， ， 为等腰三角形， ， 在中，， 设，则 由勾股定理：， 解得：， ， ， 根据折叠的性质，， 为等腰三角形， ， 过点作的垂线，如下图： 由等腰三角形三线合一的性质， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ， 故选：A． 【点拨】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理、含角的直角三角形，解题的关键是利用勾股定理来求解． 【变式2】（19-20八年级上·江苏南京·期末）如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠，使点落在斜边上的点处，再沿折叠，使点落在的延长线上的点处.若图中，，，则的长为 . 【答案】3 【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解. 解：由题意可知, ∵，， ∴， ∵， ∴（等量替换），（三线合一）， ∴ 利用勾股定理假设的长为m，，则有， 解得， 所以的长为3. 【点拨】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键. 【题型6】等腰三角形折叠中的方程思想 【例6】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了翻折变换 （折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等角对等边可得，进而根据折叠的性质，即可求解． （2）分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 解：（1） ， 由折叠性质得：， 故答案为：； （2）当时，如图 ， 设， ，， ， ， ∵折叠 ∴，， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， ∵折叠， ∴，，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为或， 故答案为：或 【变式1】（19-20八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长． 解：延长交于点G， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠性质可知，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（21-22八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，过点D作于点H，则，由折叠可知，求出，，则是等腰直角三角形，设，在中，，则，解方程即可得到答案． 解：过点D作于点H，则， ∵是翻折而成， ∴， ∵在等腰直角中，，，点D为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则, 在中， ∴，解得， 即, 故答案为： 【考点3】图形变换与构造模型方程思想 【题型7】勾股定理与旋转中的方程思想 【例7】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，勾股定理及平移的性质，知道平移的距离为是解决问题的关键． 由题意得，平移的距离为，根据含直角三角形的性质和勾股定理可设，则，则，解方程即可． 解：过作交于， ， 由题意得，平移的距离为， 在中，中，， ， ，， ，， ， 设，则， 则由勾股定理得：， 解得：， 平移的距离为， 故选：C． 【变式1】（22-23八年级下·江西九江·期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【答案】或或 【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可． 解：∵，， ∴， 沿射线方向平移m个单位得到， ∴，， 点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况 ①当时：如图，此时；    ②当时：如图，    则：， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图：    此时， ∵， ∴， ∴； 综上：，或； 故答案为：或或． 【点拨】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是 ． 【答案】或或8 【分析】分三种情况：或或，根据勾股定理和平移的性质进行求解即可． 解：设平移的距离为x，则， 为等腰三角形，存在以下三种情况： ①如图1，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴平移的距离是； ②如图2，， ∴平移的距离是； ③如图3，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离是8； 综上，平移的距离是或或8． 【题型8】勾股定理与平移中的方程思想 【例8】（22-23八年级下·四川·期末）如图，中，，，，将三角板的直角顶点D放在的斜边的中点处，交于点M，交于点N．将三角板绕点D旋转，当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】延长至点G，使得，连接、、，易证，得到，，利用三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质，得到，设，则，，，再利用勾股定理列方程，求得，即可得到的长． 解：如图，延长至点G，使得，连接、、，    是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 设， 在中，， ， ，， ，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，勾股定理，完全平方公式等性质，正确作辅助线构造全等三角形，利用勾股定理解方程是解题关键． 【变式1】（19-20八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水面高为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD＝ ．    【答案】2 【分析】设DE=x，则AD=6﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可. 解：如图所示： 设DE=x，则AD=6﹣x， 根据题意得：（ 6﹣x+6）×2×2=2×2×4， 解得：x=4， ∴DE=4. ∵∠E=90°， 由勾股定理得：CD2. 故答案为：2.    【点拨】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解答问题的关键. 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 【考点4】实际应用中的方程思想 【题型9】勾股定理与古代问题中的方程思想 【例9】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 【答案】50.5尺 【分析】本题考查勾股定理解古代问题，涉及勾股定理、解方程等知识，读懂题意，数形结合，由勾股定理列方程求解即可得到答案，读懂题意，以勾股定理建立方程求解是解决问题的关键． 解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 答：木棒的长为尺． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为17.5米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可． 解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米， 是直角三角形， ， ， 解得. 答：旗杆的高度为17.5米． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 【题型10】勾股定理与实际生活中的方程思想 【例10】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【答案】12米 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可． 解：设米，米， 在中，， ． 在中，， ． ． ∴ ， 解得：． ． ， ∴楼的高度为12米． 【变式1】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】（1）米；（2）小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 解：（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程的长． 【答案】（1）见分析；（2）37海里 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可； （2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可． 解：（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点， （2）解：连接，设海里，则海里 ∵ ∴在中， 即： 解得： 答：我国海监船行驶的航程的长为37海里． 【考点5】拓展模型方程思想 【题型11】勾股定理与最值问题中的方程思想 【例11】．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1） ； （2）当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 60 18 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）利用等边三线合一性质即可解答； （2）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，由（1）中结论可得恒成立，则当取最小值时有，可得出的长，设等边的边长为，则，利用勾股定理建立方程求出的值即可解答． 解：（1）等边，F是的中点， ，平分， ， ． 故答案为：60． （2）在中，， ， ， 由（1）得，恒成立， 又当取最小值， ，即， ， ， 等边，F是的中点， ，， 设等边的边长为，则， 在中，， ， 解得：， ， 的周长为． 故答案为：18． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】15 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴等边的周长为， 故答案为：15． 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，，，， 分别是 ， 边上的动点，当 最小值时，则 为 ．    【答案】 【分析】如图，作关于的对称点，连接，则，关于的对称点也在上，连接，可得当，，三点共线，且时，，此时最小；证明为等边三角形，可得，，，从而可得答案． 解：如图，作关于的对称点，连接，则，关于的对称点也在上，连接， ∴当，，三点共线，且时，，此时最小；    ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为： 【点拨】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂线段最短的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型12】勾股定理与动点问题中的方程思想 【例12】（2024·河南周口·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为 【答案】或1 【分析】当过点时，利用面积判断出，设，则，表示出，，根据勾股定理得，，建立方程求出或，判断是否满足条件，得出的长，当过点时，利用翻折即可求出答案．此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用面积法判断出是解本题的关键． 解：当过点时， 过点作于，于， 由折叠知，， ， 过点作于， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， 或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，； ∴ 当过点时，由折叠知，， ， ∴三点共线 ， ∴ 故答案为：或1． 【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，经过点A的直线轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，先计算勾股定理计算出，再分、、三种情况，画出示意图，分别求出的长度即可． 解：点A，B的坐标分别是，， ，， ． 当是等腰三角形时，分三种情况： 当时，如图，作于点H， ， 点P的坐标为； 当时，如图： ， 点P的坐标为； 当时，如图，作于点H， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，，，，可得；如图所示，，是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 解：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，    ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形，    由上述证明可得，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴的长为； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型15】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 【例2】（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则 ，若延长线段交于点，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质和已知条件证明，即可得出，再运用勾股定理求得，即可求得；可证得，得出，，设，则，再运用勾股定理建立方程求得，即可求得． 解：如图，连接， 分别以，为边作等边和等边， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， , ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 设，则， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 故答案为：2，． 【例2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，并利用等腰三角形的性质作出辅助线是解题的关键，过点B作，使，连接，，则，易证得，得到，故当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值，过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，则，再利用证得，，，在中，利用勾股定理可得到，从而得到，的值，再次利用勾股定理可求得的值，进而得到的最小值． 解：如图，过点B作，使，连接，， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值， 过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 勾股定理与方程思想（5大模型6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 勾股定理中的方程思想，是一种通过设立未知数，并利用勾股定理构建方程来求解问题的方法。这种方法在解决直角三角形相关的问题时尤为有效。以下是勾股定理中方程思想的一些常见模型： 【知识点1】解直角三角形中的方程思想 这是最直接的应用模型。在直角三角形中，设两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理有a²+b²=c²。当已知其中两边求第三边时，可以直接代入数值求解方程。另外，在非直角三角形中，通过作辅助线，构造直角三角形建立方程解决问题。 【知识点2】折叠中的方程思想 这类问题通常涉及到一个直角三角形被翻折或折叠的情况。在翻折或折叠过程中，某些边的长度保持不变，而角度和位置发生变化。通过设立未知数表示变化的边，并利用勾股定理构建方程，可以求解未知数的值。 【知识点3】图形变换与构造模型中的方程思想 在一些复杂的问题中，可能需要通过图形变换（如旋转、平移等）或构造辅助线来构造直角三角形，并利用勾股定理求解。这类问题往往需要较高的空间想象力和图形构造能力。 【知识点4】实际应用模型方程思想 勾股定理在实际生活中有广泛的应用，如测量物体的高度、距离等。在这些问题中，可以通过设立未知数表示待求的量，并利用勾股定理构建方程进行求解。例如，在测量旗杆高度时，可以通过设立未知数表示旗杆的高度，并利用地面距离、影子长度和旗杆与地面的角度构建方程求解。 【知识点5】拓展模型方程思想 除了基本的直角三角形模型外，勾股定理还可以推广到其他几何形状以及更广泛的数学问题中。例如，在三维空间中，可以使用勾股定理计算两点之间的距离；在更高维度的情况下，可以使用类似的方法计算多个点之间的距离、角度等。这些拓展模型同样可以利用方程思想进行求解。 在解决这些模型的问题时，关键在于理解勾股定理的本质和方程思想的应用。通过设立未知数、构建方程并求解，我们可以有效地解决与直角三角形相关的各种问题。如果你有任何具体的问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】解直角三角形中的方程思想 【题型1】直接利用直角三角形设未知数列方程........................,..........2 【题型2】构造直角三角形设未知数列方程...........................,...........3 【知识点2】折叠中的方程思想 【题型3】直角三角形折叠中的方程思想.................................,......4 【题型4】矩形折叠中的方程思想..............................................4 【题型5】两次及以上折叠中的方程思想........................................5 【题型6】等腰三角形折叠中的方程思想........................................6 【知识点3】图形变换与构造模型方程思想 【题型7】勾股定理与旋转中的方程思想........................................7 【题型8】勾股定理与平移中的方程思想........................................8 【知识点4】实际应用中的方程思想 【题型9】勾股定理与古代问题中的方程思想....................................9 【题型10】勾股定理与实际生活中的方程思想..................................10 【知识点5】拓展模型方程思想 【题型11】勾股定理与最值问题中的方程思想..................................11 【题型12】勾股定理与动点问题中的方程思想..................................11 【知识点6】中考链接与拓展延伸中的方程思想 【题型13】中考链接........................................................12 【题型14】拓展延伸........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接利用直角三角形设未知数列方程 【例1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 【题型2】构造直角三角形设未知数列方程 【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点、分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ． 【题型3】直角三角形折叠中的方程思想 【例3】（18-19八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． （1）如图1，如果点和顶点A重合，求的长． （2）如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【题型4】矩形折叠中的方程思想 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 【题型5】两次及以上折叠中的方程思想 【例5】（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读材料： 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出、的中点G、H，折痕为，再沿折叠，使落在上，点D与点P重合，即．此时，的长度可以用来表示方程的一个正根，请证明．　 【变式1】（16-17八年级下·全国·课后作业）如图①是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图②，再将②沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图③，则折痕的长为　　 A．cm B．cm C．cm D．3 cm 【变式2】（19-20八年级上·江苏南京·期末）如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠，使点落在斜边上的点处，再沿折叠，使点落在的延长线上的点处.若图中，，，则的长为 . 【题型6】等腰三角形折叠中的方程思想 【例6】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【变式1】（19-20八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 【变式2】（21-22八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则 ． 【知识点3】图形变换与构造模型方程思想 【题型7】勾股定理与旋转中的方程思想 【例7】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·江西九江·期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是 ． 【题型8】勾股定理与平移中的方程思想 【例8】（22-23八年级下·四川·期末）如图，中，，，，将三角板的直角顶点D放在的斜边的中点处，交于点M，交于点N．将三角板绕点D旋转，当时，的长为 ．    【变式1】（19-20八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水面高为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD＝ ．    【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【知识点4】实际应用中的方程思想 【题型9】勾股定理与古代问题中的方程思想 【例9】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【题型10】勾股定理与实际生活中的方程思想 【例10】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【变式1】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程的长． 【知识点5】拓展模型方程思想 【题型11】勾股定理与最值问题中的方程思想 【例11】．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1） ； （2）当取最小值时，的周长为 ． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 ． 【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，，，， 分别是 ， 边上的动点，当 最小值时，则 为 ．    【题型12】勾股定理与动点问题中的方程思想 【例12】（2024·河南周口·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为 【变式1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，经过点A的直线轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型15】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【例2】（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则 ，若延长线段交于点，则 ． 【例2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$