精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2025年南开中学高2026届高二上期末考试 数学试题卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 17 4. 已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在处取得极大值0，则在的值域为（ ） A. B. C. D. 6. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（ ） A. 54 B. 57 C. 45 D. 46 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线从右至左依次与抛物线，准线交于三点，在两点处的切线交于点，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 轴 D. 11. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 当时，函数在上单调 B. 对于任意的正实数，函数在不单调 C. 当时，函数在上有且仅有个零点 D. 对于任意的正实数，函数在必有极小值 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为_______． 13. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是_______． 14. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值． 16. 设为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若有两个极值点，证明：． 18. 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为． （1）求双曲的标准方程； （2）过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为． ①证明：为定值； ②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值． 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点 （1）求实数的值，并求直线的方程； （2）求数列的通项公式，并证明：对任意； （3）设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年南开中学高2026届高二上期末考试 数学试题卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和项的性质，易求得的值. 【详解】由，可得. 故选：B. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】应用等比数列的基本量运算求出得，再结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】等比数列设公比为，因为，所以， 所以，计算得， 所以. 故选：D. 4. 已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解. 【详解】易知， 则，又，则， 得到，所以，解得或（舍）， 故选：C. 5. 若函数在处取得极大值0，则在的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用极值点列方程求解即可； （2）利用导数，求函数的单调区间，即可求解. 【详解】因为函数在处取得极大值0， 所以，即， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 0 极大值 极小值 极大值 所以根据上图可知，在上的值域为， 故选：C 6. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（ ） A. 54 B. 57 C. 45 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】结合数阵确定其为二阶等差数列即可求解； 【详解】由“南开三角”可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 由以上累加可得：， 所以， 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小即得. 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递减， ，即当时，， 则，，即， 所以. 故选：D 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得. 【详解】 如图，不妨设， 由题意，， 则，即①， 又，即②， 由①，② 可知，可看成关于的方程的两根， 则，故得，（*）. 在中，因， 运用余弦定理，由可得：， 化简得：， 将（*）代入整理得：， 化简得：，即， 由图可得，则有， 即得：，也即， 分解因式得：， 即， 因，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可计算数列的通项公式，逐项判断可确定正确答案. 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 当时，， ∴数列是以7为首项，为公差的等差数列，选项A正确. 由得，，选项B正确. 由得，，故，选项C正确. 由得，时，，时，， ∴有最大值，最大值为，选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线从右至左依次与抛物线，准线交于三点，在两点处的切线交于点，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 轴 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线方程与抛物线方程可得韦达定理进而根据中点关系可求解AB，求导，根据点斜式求解切线方程， 进而联立两直线方程可得，即可求解C,结合基本不等式求解D. 【详解】,设直线, 联立与可得， 设,，则 对于A，若，则,因此是的中点， 故，代入可得 根据可得，化简可得， 解得，由于，所以，A正确，B错误， 由可得，求导可得，所以处的切线方程分别为，， 联立两切线方程可得，因此,故点在抛物线的准线上，故轴，C正确， ，由于，当且仅当时取等号，故，D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 当时，函数在上单调 B. 对于任意的正实数，函数在不单调 C. 当时，函数在上有且仅有个零点 D. 对于任意的正实数，函数在必有极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，对求导，得，从而有在区间上单调递增，且，，即可求解；对于B，对求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得在单调递增，再注意到时，，当时，，即可求解；对于C和D，利用选项B中的结果，结合函数单调性与零点间的关系及极值的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，则， ∵在区间上均单调递增， ∴易知在区间上单调递增， 又，， 所以，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故选项A错误， 对于选项B，易知，， 令，则， 对于，因为， 所以恒成立， 所以在上恒成立，故在区间单调递增， 故在区间单调递增， 又时，，当时，， 所以在区间上存在零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 即函数在不单调，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知在区间单调递增， 又，且，则， 又时，，所以，， 当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，， 所以当时，函数在上有且仅有个零点，故选项C正确， 对于选项D， 由选项B知在区间单调递增，又， 当时，， 故在上，有，故在上无极值点，故D错误； 故选：BC. 【点晴】方法点晴：利用导数研究函数的极值点： （1）对于可导函数，点是极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同； （2）若在内有极值点，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或单调减的函数没有极值点． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，，所以两条渐近线的方程为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列通项与前项和的关系可得（），进而推导得（），算出首项可得数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，从而得出再求解即可. 【详解】由得（）， 两式相减得：（），所以（）， 两式相减得：（）， 所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列， 将代入及可得， 将代入（）可得，且， 要使得，恒成立，只需要即可， 所以，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意得，，设，则. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， ∴，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）设，表示各边长，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可证明线线垂直. （2）求两平面法向量，利用空间向量计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故. 设平面的法向量为，则， 取，则，故， ∴， 由图象可知二面角的平面角为锐角，故 二面角的平面角的余弦值为. 16. 设为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以，即， 又由解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，经检验时满足通项公式， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若有两个极值点，证明：． 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. （2） 由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. 【小问2详解】 略 18. 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为． （1）求双曲的标准方程； （2）过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为． ①证明：为定值； ②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）① 证明：当直线斜率存在时，设直线方程为，， 由得，， ∴， ∴ ， 当直线斜率不存在时，，. 综上得，为定值，定值为. ② 【解析】 【分析】（1）根据条件计算双曲线的，利用可求双曲线方程. （2）①联立直线与双曲线方程，借助韦达定理计算的值. ②联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示弦长，进而计算两弦长乘积的最大值. 【小问1详解】 由题意得，. 设双曲线的标准方程为，半焦距为，则， ∴， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题意得，直线方程为，设， 由得，， ∴， ∴，同理得，， ∴ ， 设，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴的最大值为，当且仅当取最大值. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理表示直线斜率或弦长，由此计算结果. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点 （1）求实数的值，并求直线的方程； （2）求数列的通项公式，并证明：对任意； （3）设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1），. （2）由题意，当为奇数时，， 则直线的斜率， 化简得， 配方可得：，取对数可得， 由可得， ， 解得， 由题意可得，， 因为函数单调递增，所以， 因为，故当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入，再根据直线对称即可得到答案； （2）当为奇数时，计算相关点坐标和直线斜率，化简得化简得，再通过取对数计算即可； （3）根据换元法得在时恒成立，再分离参数并利用导数即可得到最值. 【小问1详解】 当时，，解得，则， 当时，，解得， 则，则直线的直线方程为， 又因为，则其倾斜角为，则对称后直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线方程为：，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得：， 因为函数单调递增，可知： ， 故，令，可得，由恒成立， 可得在时恒成立，即在时恒成立， 令，得，当时，， 即在上单调递减，故，所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先分析出，可得，再换元分离参数，利用导数即可得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $