6.3.1 《二项式定理》（包含微课视频+导学单+课件+教学设计+反思）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6. 3. 1 二项式定理 第六章　计数原理 新知探索 二项式展开式 探索规律 a b a b 以b被取出的情况为例 1 2 1 项的组合 项的系数 ? 二项式展开式 新知探索 共有n＋1项 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，字母b按升幂排列. 第k+1项 ④二项展开式的通项： ③二项式系数： ①项数： ②次数： 分析： 二项式定理 二项展开式 例1 （1）求 的展开式； （2）分别求 的展开式的第4项的系数； （3）求 的展开式的第4项的系数； 解：（1） 例1 （1）求 的展开式； 例1 （2）分别求 的展开式的第4项的系数和二项式系数； 解:(2)因为 ,所以展开式第4项的系数为-280，二项式系数为 ! 注意区别项的系数和二项式系数的区别 例1 （3）求 的展开式中 的系数； 解:(3) 的展开式的通项是 根据题意得：3-k=2,即k=1. 因此， 的系数是： 2 典例总结 类型①：含分式的二项式，化成分数指数幂再展开 类型②：含根式的二项式，化成分数指数幂再展开 类型③：减法先化为加法，再将后面部分看成整体再展开 提醒：二项式系数与项的系数的区别与联系 技巧：求某一项或某一项系数，只需写出通项来求解即可 课后练习 必做题： 选做题： 谢 谢 观 赏 $$ 6.3.1 二项式定理 教学反思 一、教学目标达成情况 在本次微课中，教学目标是让学生理解二项式定理的内容和应用。通过微课的讲解，大部分学生能够掌握二项式定理的展开式形式，并且能够运用定理进行简单的计算。然而，在教学过程中也发现了一些问题，部分学生对于二项式系数的理解还存在一定的困难，需要在后续的教学中进一步加强。 二、教学内容设计 优点：微课内容简洁明了，重点突出。通过具体的例子引入二项式定理，让学生能够直观地理解定理的含义。讲解过程中注重引导学生思考，通过提问的方式激发学生的学习兴趣。 对于二项式定理的应用，给出了多个实例进行讲解，帮助学生更好地掌握定理的用法。 不足之处：教学内容的深度和广度可以进一步拓展。例如，可以介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用，拓宽学生的知识面。对于一些难度较大的例题，可以提供更多的解题思路和方法，帮助学生更好地理解。 三、教学方法与手段 优点：采用微课的形式进行教学，具有时间短、内容精的特点，能够吸引学生的注意力。运用动画、图表等多媒体手段辅助教学，使抽象的数学知识更加直观形象，易于学生理解。 不足之处：由于微课的时间限制，无法与学生进行实时互动，不能及时了解学生的学习情况和问题。教学方法相对单一，可以尝试采用小组讨论、探究式学习等方法，提高学生的参与度和主动性。 四、教学效果评价 学生反馈：大部分学生认为微课的形式新颖，内容易于理解，能够帮助他们更好地掌握二项式定理。一些学生提出希望在微课中增加一些互动环节，如提问、讨论等，以便更好地参与学习。 教师自我评价：从教学目标的达成情况来看，本次微课基本达到了预期的教学效果。但是，在教学过程中也发现了一些问题，需要在今后的教学中不断改进。在教学方法和手段上，还需要进一步探索和创新，以提高教学质量和效果。 五、改进措施 优化教学内容：增加教学内容的深度和广度，拓展二项式定理的应用领域。对于难度较大的内容，可以进行分解讲解，提供更多的例题和练习，帮助学生逐步掌握。 丰富教学方法：尝试采用多种教学方法，如小组讨论、探究式学习等，提高学生的参与度和主动性。在微课中增加互动环节，如提问、讨论等，及时了解学生的学习情况和问题。 加强教学评价：建立完善的教学评价体系，及时了解学生的学习效果和反馈意见，以便对教学进行调整和改进。 鼓励学生进行自我评价和相互评价，提高学生的学习能力和自我管理能力。 总之，通过本次微课教学，我对二项式定理的教学有了更深入的认识和理解。在今后的教学中，我将不断改进教学方法和手段，提高教学质量和效果，为学生的学习和发展提供更好的支持和帮助。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1 二项式定理 导学单 一、预习练习 课前：在 二、新知探索 寻找规律 两个方面分析： 项的组合： 项的系数： 动态展示 项的组合： 项的系数： 上式称为二项式定理，二项式定理分析如下： ①项数：共有 项； ②次数：各项的次数都等于 ； ③二项式系数： ； ④二项展开式的通项： ； 三、课中例题 例1：求下列各式的展开式 （1）求的展开式. （2）分别求展开式的第4项系数和二次项系数; （3）求的展开式的第4项的系数. 四、课后练习必做题： 选做题： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1 《二项式定理》教学设计 一、教材分析 本课选自人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》的学习内容。《二项式定理》是在学习排列组合之后的内容，可以启发学生联想所学知识，运用组合数知识同时借助多媒体动画展示工具，推导出二项式定理。二项式定理是学习后面二项分布的基础，熟练使用二项式定理可求二项展开式中的的任何一项和系数，也是高考重点。通过本节课学习，培养学生“用组合数”的意识和自主、合作、探究能力。 二、学情分析 学生在前面已经学习了排列组合知识，因此，学生已具备初步的数学分析能力，本节内容用组合内容探究知识形成比较容易上手。但是，学生利用已学知识探究二项式定理仍存在一定的难度，比如，主动观察、分析、发现规律的能力有限，数学思维和建模思想有待进一步开发，需要教师进一步引导，充分发掘学生探究数学、思考数学、应用数学的能力。 三、高考分析 二项式定理在高考中具有举足轻重的地位，通过近几年的高考题分析，考察形式涉及选择题、填空题、简答题（结合二项分布概率等），为高频考点。同时，本课从二项式定理的推导上，充分渗透“数形建模”和“组合”的数学思想，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。 四、核心素养分析 理解并掌握二项式定理，理解二项式定理的推导过程和本质，能解决一般地二项展开问题（在思考中获得提高）；培养观察、计算、知识迁移、创新的能力。（在表达中获得提高）；让学生在和谐欢快的微课堂学习氛围中感受数列的魅力，感受到学习其实是一种快乐。（在体验中获得提高） 五、教学问题诊断分析 二项式定理是高中常用定理之一，杨辉三角的研究可以让学生更深层次的理解二项式定理，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。 六、教学方法 教法：为了充分调动学生学习兴趣，采用简短的微视频+精美课件的结合的方式引导学生学习。 学法：学生通过自主探究，重复利用微视频等相关资源进行学习 七、教学过程 教学基本流程 探究二项式定理 典例小结 熟悉几个数学式子引入课题 通过几种类型例题练习加强对二项式定理的理解 （一）创设情境，引出课题 ① ；② ； ③ ；④ ； 【设计意图】: 由浅入深, 贴合学生学习认知规律,学生无法得到④式，教师借机引入，这就是今天要主要研究的内容. 符合从特殊到一般的思维认知过程. （二）探索规律，归纳新知 探索：的展开式如何得到？ 动态展示：的展开式的形成过程？ 总结规律：项的组合：ab的各种组合形式 项的系数：每个组合中b取出的个数k ,即：. 提问：同学们知道展开式怎么表示了吗？的展开式呢？ 【设计意图】:鼓励学生模拟前面的思维方式和思维过程,大胆拓广,主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力. 总结提炼： 分析：①项数：共有n+1项； ②次数：各项的次数都等于n； ③二项式系数：； ④二项展开式的通项： 【设计意图】:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题. (三)例题分析，加深理解 典例总结：二项式中含有分式、根式，先化成分数指数幂再展开，有减法先化为加法，再看成整体进行展开 【设计意图】:一个例题三个问题, 充分包括常见的三种类型的二项式展开，昨晚再升华总结，加深知识的理解. （四）课后练习，目标检测 【设计意图】:三个必做题和前面例题中三个问相呼应，选做题引发学生探究，为后面选做题引发学生思考，探究如何利用二项式定理展开，为后续的学习作铺垫. 学科网（北京）股份有限公司 $$null