浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题

浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 1 页 共 9 页 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 1．【答案】A 【解析】 [ 1,2]B = − ， A B = { 1,0,1,2}− 2．【答案】B 【解析】 z 对应的点在第四象限， iz 21+= ， z 的虚部是 2− ， 5=z 3．【答案】D 【解析】 3tan 2 1 cos 2 3 sin ===  ， 2 3 sin3tan ==  ， 4．【答案】B 【解析】 dadaaaadaS =+=++=+= 1175215 2113105 ， ∴ 2 3 2 21 d a d a == ， ，∴ 5 2 9 )1( 2 ==−+= mddm d am . 5．【答案】D 【解析】法一：运用公式计算得出结果. 法二：求得 6,3 == yx ，因为中心点在回归线上，排除 A；因为 yx, 是正相关，排除 D； 根据表格数据可知，C 的拟合度高于 B 的拟合度，∴选 D 6．【答案】C 【解析】A： 16 9 )(   =+= lrrS ；B： 16 9 )(2   =+= lrrS ； C： 4 9 4 2   == rS ；D： 16 9 )()(   =+++= lrrlrrS 7．【答案】C 【解析】 如图所示， 1a 的值共有 6 个，选 C 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 2 页 共 9 页 8．【答案】A 【解析】画出 xy ln= ， 3xy = ， y x m= − − 的图象：（为使图象清晰，解析里比例有所调整） 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得得 0 分. 9．【答案】AD 【解析】A：5 男 7 女， 3517 1 5 =CC 种，正确； B： 6.57.08 = ，第 6 个数是 9.4，错误； C：记“选到女生”为事件 A，“来自甲班”为事件 B，则 7 4 )( )( )( == An ABn ABP ，错误. D： X 服从超几何分布， 5 6 5 2 3)( ==XE ，正确。也可以通过分布列求解. X 0 1 2 P 10 1 10 6 10 3 10．【答案】ABD 【解析】A：∵ AO BD CO BD⊥ ⊥， ，∴ 60AOC = ，而 1 2AO CO= =， ，∴ 3 2 h = ， ∴ 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 A BCDV − =     = 是定值，正确. B：由 A 可知， BD ⊥面 AOC ，∴ BD AC⊥ ，而 AO AC⊥ ，∴ AC ⊥面 ABD ，∴正确. C：由 B 可知，当 1a = 时，易得： 9 6 15 2 S + + =表 ，考虑对称性， 2a = 的表面积也 是该值，∴错误. D：由 B 可知， AC ⊥面 ABD ，三棱锥改为C 为顶点 画法：如图，P 是 ABD 的外心，Q 是三棱锥外接 球 球 心 . 易 知 ， 外 接 球 半 径 2 2 2 3 4 r AQ AP PQ AP= = + = + ， x1 x1 x1(x0) x2 x2 x2 x0 x0 x y 5 6 10 3 2 10 6 1 10 1 0)( =++=XE 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 3 页 共 9 页 2 sin BD AP BAD =  3 3 2sin 2 AP BAD  =   ， ∴ 3r  ，即当 ABD 是直角三角形时，外接球半径最小值 为 3 . 1)3( =− aa 有解，∴ ABD 能取到直角三角形，∴D 正确. 11．【答案】ACD 【解析】先根据对称性可以得到完整曲线，如图 1： 图 1 图 2 图 3 A：根据 ( , ),( , ),( , ),( , )x y x y y x y x− − − − 与 ( , )x y 代入方程都一样，得到 4 条对称轴，正确. B：结合图 2，内部圆半径最大为 2 ，错误.证明：根据对称性，研究第一象限 2x y+ = ， 则 2( ) 2 2 x y x y + +  = ，则 2 2 2 ( ) 2 2 x y x y + +  = ，所以内部圆半径最大 2 . C：如图 2，结合对称性，曲线长度大于“四角星”形状图形的周长 8 10 25L =  正确. 证明：根据对称性，只需证：当 0 1x  时， 23 4 (2 )x x− +  − 恒成立， 即证：当 0 1x  时， ( 1) 0x x −  恒成立，显然成立. x y (4,0) (-4,0) (0,-4) (0,4) (1,1) x y (4,0) (-4,0) (0,-4) (0,4) (1,1) x y (4,0) (-4,0) (0,-4) (0,4) (1,1) (4,4) 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 4 页 共 9 页 D：如图 3，以 (4,4)为圆心，4 为半径作圆弧， (1,1)到 (4,4)距离为3 2 4 ，所以第一 象限内圆弧在曲线上方，面积 4( ) 64 16 14S S S  − = − 正方形 扇形 正确. 证明：根据对称性，研究第一象限，只需证： 2x y+ = 时， 2 2( 4) ( 4) 16x y− + −  . 2 4 2x y x y xy+ =  + = − ， 2 2 2 2( 4) ( 4) 8( ) 32x y x y x y− + − = + − + + 2( 4) 2 16 2 16 16x y xy xy= + − − + = +  三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分. 12．【答案】例： ) 2 2 , 2 2 ( 【解析】设 ),( yxa = ，则 21 22 22 =+= + =  yx yx b ba ，满足方程的点均可. 13．【答案】 2 1− 【解析】运用圆锥曲线通径知识， 222 2 22 2 cabac p p c a b OF DF −===== 2 2 1 0 2 1e e e + − =  = − 14．【答案】2 【解析】解法一：设切线方程为 bkxy += ，则 bxkxxxbkx −−=−=+ )2(sinsin2 ， ∴ xy sin= 上两个点处的切线均为 bxky −−= )2( ，且之间无公共点，结合正弦函数图象 特征可知， bxky −−= )2( 只能是直线 1=y ，∴ 2=k 解法二：设切点为 )sin2,( 000 xxx − ， 00 cos2)( xxf −= ，切线方程为： 00000000 sincos)cos2(sin2))(cos2( xxxxxxxxxxy −+−=−+−−= ， 用 21 xx， 表示两个切点横坐标，则有 21 cos2cos2 xx −=− ， ①若 kxx 212 += ，则 111222111 sincos)2(sincossincos xxkxxxxxxx −+=−=−  ， ∴ 0cos2 1 = xk ，∴ 2 21   += kx 或 2 21   −= kx ，代入可得：斜率为 2； 当 1=k 时，满足 )(xf 与 l 在 BA, 之间无公共点. ②若 kxx 212 +−= ，则 111222111 sincos)2(sincossincos xxkxxxxxxx ++−=−=−  ， 即 1111 cossincos xkxxx =−  ③ 1111 1111 sincossincos sin2 sincos)cos2( xxxxxx xxy xxxxxy −=−    −= −+−= 结合③式可知， )2,(  kk 是 )(xf 与 l 的公共点，且在 BA, 之间，该情况无解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．【答案】（1） 2 ；（2） )36, 2 33 (ABCS .（作图法答案正确也给满分） 【解析】 （1） ) 3 sin(2cos3sin)(  +=+= xxxxf …………………………………………………………2 分 x y O B A F D 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 5 页 共 9 页 D E x y z ∴   2 1 2 ==T ………………………………………………………………………………4 分 （2） 3) 3 sin(2)( =+=  AAf ，∴ 3  =A ，……………………………………………………6 分 边 AC 上的高 3=h ，∴ 32=AB ， 根据正弦定理得： CC C AC C AB B AC tan 3 3 sin ) 3 sin(32 sinsin += + ==  ，………………9 分 ∵ ABC 是锐角三角形， ∴ ) 2 , 6 (  C ，∴ ), 3 3 (tan +C ，……………………………………………………11 分 ∴ )34,3(AC ，∴ )36, 2 33 (ABCS .……13 分 16．【答案】（1）见解析；（2） 5 15 【解析】 （1）过点 A 作 1BBAD ⊥ ，交 1BB 于点 D ， ∵四边形 11BBCC 是正方形，∴ BCBB ⊥1 ， 21 == BCBB 而 BCAB ⊥ ，∴ ⊥BC 面 11AABB .………………2 分 解法一：∵ ⊥BC 面 11AABB ，∴面 ⊥11BBCC 面 11AABB 而 1BBAD ⊥ ，∴ ⊥AD 面 11BBCC ，…………4 分 ∴ 1=AD 又∵ 2=AB ∴ 4   = ，……………………6 分 ∴ ABAB ⊥1 ，由 ⊥BC 面 11AABB 可知 1ABBC ⊥ ，∴ ⊥1AB 面 ABC ………………8 分 解法二：以 B 为原点， BABC, 方向为 yx, 轴，垂直于 平面 ABC 向上方向为 z 轴，建系. ∵ ⊥BC 面 11AABB ，∴ )sin2,cos2,0(1 B ， 则 (2,0,0)BC = ， (0, 2,0)BA = 1 (0,2cos ,2sin )BB  = ， ∴平面 11BBCC 的法向量为 (0,sin , cos )n  = − ，…5 分 ∴点 A到平面 11BBCC 的距离为 2 sin 1 BA n n   = = ， ∴ 4   = …………………………………………………7 分 ∴ )2,2,0(1B ，∴ )2,0,0(1 =AB ，∴ ⊥1AB 面 ABC .………8 分 （2）解法一：过点 1B 作 111 CAEB ⊥ 交 11CA 于点 E ，连 AE 由（1）可知 ⊥1AB 面 ABC ，∴ ACAB ⊥1 ， EBAB 11 ⊥ ∵ 111 CAEB ⊥ ，∴ ACEB ⊥1 ，∴ ⊥AC 面 EAB1 ，∴ AEAC ⊥ ∴ AEB1 为面 11AACC 与面 1ACB 的夹角，………………………………………………12 分 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 6 页 共 9 页 在 EABRt 1 中， 21 =AB ， 33 2 1 =EB ， 3 30 =AE ， ∴ 5 15 cos 1 = AEB …………………………………………………………………………15 分 解法二： )2,0,0(1 =AB ， )0,2,2( −=AC ， )2,2,0(1 =AA …………………………9 分 平面 1ACB 的法向量 )0,2,1(1 =m ，………………………………………………………11 分 平面 11AACC 的法向量 )2,2,1(2 −=m ，………………………………………………13 分 ∴ 1 2 3 15 cos , 53 5 m m  = = .…………………………………………………………15 分 17．【答案】（1）增区间： ), 2 3 ()0,( +− ， ，减区间： ) 2 3 ,1()1,0( ， ；（2） ) 5 1 ,0( 【解析】 （1） )(xf 的定义域为 ),1()1,( +−  （答案没考虑定义域扣 2 分） 22 )1( )32( )1( 1 1 12 )( − − = − − − − = x xx e x e x x exf xxx ………………………………………………2 分 ∴ )(xf 在 ), 2 3 ()0,( +− ， 上单调递增，在 ) 2 3 ,1()1,0( ， 上单调递减.……………6 分 （2） 2 2 2 )1( 2)1( )1( 1 1 1 )( − −++− = − − + − − = x axaax e x a e x ax exf xxx .…………………………………9 分 设 )0(2)1()( 2 −++−= aaxaaxxg 解法一：注意到 0)2( = ag ……………………………………………………………11 分 ∴只需满足     −++=  + 0)2(4)1( 2 2 1 2 aaa a a  …………………………………………………13 分         5 1 0 3 1 a a 5 1 0  a …………………………………………………………………15 分 解法二：①若 2 2 1  + a a ，即 3 1 a 时， 00)2(  ag ，∴……………………12 分 ②若 2 2 1  + a a ，即 3 1 a 时， 0165)2(4)1( 22 +−=−++= aaaaa ，∴ 5 1 0  a …15 分 解法三： 02)1(2 =−++− axaax 在 ),2( + 上有穿根. 2)1( 2 −=−− xxxa 在 ),2( + 上有穿根. )),0(( 13 2 11 22 + ++ = − −− = t t tt x xx a ……………………………13 分 结合双勾函数图象可得 ),5( 1 + a .∴ ) 5 1 ,0(a …………………15 分 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 7 页 共 9 页 18．【答案】（1） 1 33 22 =− yx ；（2） 222 += ；（3） 1 6 6  k 【解析】 （1）     = =        = == 3 3 2 6 2 2 b a c ab cba ，∴ 1 33 22 =− yx ……3 分 （2）设 ),(),,( 2211 yxByxA ， 32: −= yxl ， 代入双曲线方程，得： 0242 =+− yy ，…………4 分 由韦达定理可得： 2,4 2121 ==+ yyyy . 解法一∴ 8 )( 2 21 2 21 1 2 2 1 = + =++ yy yy y y y y ，∵ 012  yy ∴ 223 1 2 += y y ，………………………………………6 分 ∵ BAT ,, 三点共线， ∴ 1−== TA TB TA AB  2221 1 2 +=−= y y …………………………………………………8 分 解法二：∵ ABTA = ，∴ 12121 )1( yyyyy +=−=  结合韦达定理解得：      + + = + = 2 )1(4 2 4 2 1    y y ……………………………………………………6 分 ∴ 2220442 )2( )1(16 2 221 +==−−= + + =    yy ………………………………8 分 解法三：解得 22,22 21 +=−= yy …………………………………………………6 分 ∴ 222 22 22 1 12 += − = − == y yy TA AB  ………………………………………………8 分 （3）由题意得： 2 2 1 a b kk ABAC == ，∴ CB, 两点关于原点对称.…………………………10 分 或证明： 设 1133 )(:),( yxxkylyxC AB +−=， ，代入双曲线方程得： 03)()(2)1( 21111 22 =−−−−−− kxyxkxykxk ， x y T O A B C 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 8 页 共 9 页 ∴ 12 11 2 1 )(2 x k kxyk x − − − = ， 同理可得： 12 11 1 2 11 3 1 )(2 1 1 ) 1 ( 2 x k xky x k x k y kx − − − =− − − = ∴ 02 1 )1(2 12 2 1 32 =− − − =+ x k kx xx ， ∴ CB, 两点关于原点对称 ∴ 2 1 2 4 5 5 5OAB ABC TBC TAC TAC TAC TBS S S y S S S TA y                …………………………12 分 解法一：设 )1(3: −= ttyxl ， 066)1( 3 3 22 22 =+−−    =− −= tyyt yx tyx ， 由韦达定理得： 1 6 , 1 6 221221 − = − =+ t yy t t yy ， ∴ 5 36 1 6)( 2 2 2 21 2 21 1 2 2 1  − = + =++ t t yy yy y y y y ，……………………………………………15 分 解得： 61 2  t ，所以 1 6 6  k .……………………………………………………17 分 解法二：设 )10)(3(: += kxkyl ， 066)1( 3 3 1 222 22 =+−−     =− −= kkyyk yx y k x ， 由韦达定理得： 2 2 21221 1 6 , 1 6 k k yy k k yy − = − =+ 5 36 1 6)( 2 2 21 2 21 1 2 2 1  − = + =++ kyy yy y y y y ………………………………………………15 分 解得： 1 6 6  k ………………………………………………………………………17 分 19．【答案】见解析 【解析】 （1） …………4 分 浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 9 页 共 9 页 （2）参考走法（不唯一） …6 分 对于第二个方格，则不能达成“胜利”，理由如下： 设 ija 表示 ija 中 ji + 的值，例如： 74334 =+=a ，则 在 55 方格中，共有 25 个 ija 。将 ija 是偶数的称为偶数 格，奇数的称为奇数格，易知，偶数格有 13 个，奇数格有 12 个。按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶 数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格。∴若要 达成“胜利”， 1−奇数格偶数格 .………………8 分 而中，涂黑了 524522 aaa ，， ，即两个奇数格，一格偶数格， 此时剩下 12 个偶数格，10 个奇数格，∴无论如何移动都不 能达成“胜利”.…………10 分 （3）首先判断， 6n . 然后证明： 6=n 时不成立.证明如下： 将挖去的 6 格记为 665544332211 kmkmkmkmkmkm aaaaaa ，，，，， ， 其中， },,,,,{ 654321 mmmmmm 与 },,,,,{ 654321 kkkkkk 均为 }6,5,4,3,2,1{ 的一种排列， ∴ 422)( 6 1 6 1 6 1 ==+=  === ii ii i km ikma ii 为偶数………………………………………………13 分 由（2）可知，若要在 66 方格中挖去 6 格达成“胜利”，必须挖去 3 个奇数格，3 格偶数格. 而 3 个奇数与 3 个偶数之和为奇数矛盾. ∴不可能挖去 6 格.…………………………………………………………………………15 分 最后证明： 5=n 时，能成立，举例法：…………………………………………………17 分 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为 5.（猜出答案 5 给 1 分）