精品解析：上海市宝山实验中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

2024学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，整理得，，故本选项符合题意； C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意； D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 已知，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的定义以及运算法则逐项判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 3. 已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值，再进行判断即可，熟知三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 4. 如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义判断即可． 【详解】∵点P把线段分割成和两段， ∴，即， ∴， A、∵，， ∴， 故A项错误； B、∵，， ∴，故B项错误； C、∵，， ∴，故C项错误； D、∵，， ∴，故D项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，记住定义是解题的关键． 5. 如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（ ）海里． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似. 必须是夹角，但是不一定等于 故选C. 点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似. 三边的比相等，两三角形相似. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 8. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接利用向量的加减运算法则求解可求得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 10. 如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 11. 如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格求出三角形的三边，得到是直角三角形，再进行求解． 【详解】连接， 由勾股定理可得， ，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用． 13. 如图，中，，为斜边上的高，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，寻找相似的条件是解题的关键．先根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形对应线段成比例即可求出． 【详解】解：中，BD为斜边上的高，，， ，， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ，即， 则， 故答案为：． 14. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为_____尺． 【答案】57.5 【解析】 【分析】根据题意有△ABF∽△ADE，再根据相似三角形的性质可求出AD的长，进而得到答案 ． 【详解】如图，AE与BC交于点F， 由BC//ED 得△ABF∽△ADE， ∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5， 解得：AD=62.5（尺）， 则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺） 故答案为57.5 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等 ． 15. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、上的中线、相交于点得到点是的重心，进而求出的长度，再利用等腰三角形的三线合一得到，结合求出的长度，进而求得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：边、上的中线、相交于点，， 点是的重心， ， ． 在中，如果，是边上的中线, ， ， , ， , ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一，重心的性质，锐角三角函数值的求法，三角形面积公式，利用重心求出是解答关键． 17. 如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式．设边的长为，则，进而利用已知得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：设边的长为，则， ， ， ， ， 解得：， 矩形的面积为， 关于的函数解析式是：． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于，解得，则，依题意有以下两种情况：当点在线段上时，则点在的延长线上，则，由翻折性质得，，，解得，则，设，，则，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，由此可得 ；当点在的延长线上时，则点在线段上， 则，同理得，，，解得，则，设设，，则 ，， 同理证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则 ，，由此可得，综上所述即可得的值． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴，，即， 在中，， ∴， ∴， 依题意有以下两种情况： 当点在线段上时，则点在的延长线上，如图所示， ∵，， ∴， 由翻折的性质得：是的垂直平分线， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴ 解得：， ∴，， ∴， 当点在的延长线上时，则点在线段上，如图所示， ∵，， ∴， 同理：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， 同理证明：， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本题共有7题，第19~22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 20. 如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2． （1）如果AB＝10，求BG的长； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由平行四边形的性质证明△AGE∽△CDE，再根据AE：EC＝3：2求出AG＝15，从而得出结论； （2）由题意利用△ADE∽△CFE和△AGE∽△CDE得出＝＝和＝＝，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠CDE， ∴△AGE∽△CDE， ∴＝＝， 又∵AB＝CD＝10， ∴AG＝CD＝×10＝15， ∴BG＝AG﹣AB＝15﹣10＝5； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AD∥CF， ∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE， ∴△ADE∽△CFE， ∴＝＝， 又∵△AGE∽△CDE， ∴＝＝， ∴＝×＝×＝， ∴＝＝． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质的基本知识． 21. 如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点． （1）求边的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的长； （2）过点作于点F，证明，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴和均为直角三角形， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 由勾股定理得， 【小问2详解】 过点作于点F，如图， ∵， ∴// ∴ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 22. 如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物 的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡 行走至坡顶D处，斜坡 的坡度 ，坡顶D到 的距离 米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为 ，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据： ； ； ） 【答案】建筑物 的高度约为68米 【解析】 【分析】过D作 于F，由坡度的定义求出 （米），则 （米），再解直角三角形求出 的长，即可得出答案 【详解】如图，过D作 于F． 则 ， 米， ∵斜坡CD的坡度 ，坡顶D到BC的距离 米， ∴ （米）， ∴ （米）， 在 中， ， ∵ ， ∴ （米）， ∴ （米）， 即建筑物 的高度约为68米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且． (1)求证：AB∥CD； (2)如果AD2=DG•DE，求证：． 【答案】 （1）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG， ∴， ∵， ∴， ∴AB∥CD； （2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG， ∴， ∴， ∴， ∵AD2=DG•DE， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1） 略 （2） 略 24. 已知：直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）若点在轴负半轴上，，求点的坐标； （3）在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 【答案】（1），； （2）点； （3）旋转后直线的解析式为或． 【解析】 【分析】（）将点的坐标代入得，即点，将点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解； （）证明得到即可求解； （）设，则，则，则，得到点，即可求解；当直线逆时针旋转时和上述直线夹角为，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法求出此时直线的表达式为，即可求解； 本题考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，勾股定理，掌握知识点的应用是题解题的关键． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴ ，即点， ∴将点代入一次函数表达式得：，则； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴点， 由点得，， ∵直线和轴负半轴的夹角为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴则， ∴点； 【小问3详解】 解：如图，设顺时针旋转交轴于点，过点作交于点， 设的表达式为，将点的坐标代入上式得，则， ∴直线的表达式为， 设交轴于点， 令，则， 则点，则， 由点的坐标得， ∵，， 设，则，则， 则， 解得：， 则，则点， 由（2）可知，， 由直线的表达式为，把，，代入解析式得， 解得：, 直线的表达式为， 由上可得点，，绕点逆时针旋转后如图，设直线与轴交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 综上，旋转后直线的解析式为或． 25. 如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． （1）求时，点A到的距离； （2）设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 【答案】（1）点A到的距离为； （2）； （3）为等腰三角形时，或或． 【解析】 【分析】此题是几何变换的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质和锐角三角函数，由相似三角形的性质建立方程是解本题的关键． （1）由得到，推出，即可求解； （2）由得到，再由，比例式表示出，，即可； （3）为等腰三角形时，分三种情况①，②，③利用，建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 过点C作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ， ∴， ∴为等腰三角形时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（ ）海里． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么______厘米． 8. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 9. 计算：______． 10. 如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 11. 如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为______． 12. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 13. 如图，中，，为斜边上的高，，，则______． 14. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为_____尺． 15. 如图，在中，，，则______． 16. 如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么________． 17. 如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是________． 18. 如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则______． 三、解答题（本题共有7题，第19~22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 计算： 20. 如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2． （1）如果AB＝10，求BG的长； （2）求的值． 21. 如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点． （1）求边的长； （2）求的正弦值． 22. 如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物 的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡 行走至坡顶D处，斜坡 的坡度 ，坡顶D到 的距离 米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为 ，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据： ； ； ） 23. 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且． (1)求证：AB∥CD； (2)如果AD2=DG•DE，求证：． 24. 已知：直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）若点在轴负半轴上，，求点的坐标； （3）在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 25. 如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． （1）求时，点A到的距离； （2）设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $