精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年灯塔市九年级（上）期中数学测试 （试卷满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出答案，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：由题意知：， 解得， 故选：B． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误； B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误； C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确． 故选D． 考点：命题与定理． 4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为， 而相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴其面积比为：． 故选：B． 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴确定各点到对称轴的距离，结合二次函数的开口方向，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上， 且，，，抛物线开口向下， ∴， 故选：A． 6. 如图，是的直径，、是的弦，是的切线，C为切点，与交于点E．若点C为的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，掌握圆的相关知识是解题关键．由切线的性质得出，再结合圆周角定理，得到，然后根据直径所对的圆周角是直角，即可求出的度数． 【详解】解：是的切线，C为切点， ， ， ， 点C为的中点， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C 7. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是(　　) A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D. 用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案． 【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意； C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意； D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432， ∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题是利用频率估计概率，主要考查了学生的观察频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 8. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 连接，，并交于点P，即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图所示 连接，，并交于点P， 由图可知：位似中心的坐标是：； ， 故选：D． 9. 如图，在中，，，若，，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据得出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵, ∴, 解得：, ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接、，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线，由正方形的性质得到，求出得到，即可证明，得到由，推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，，由勾股定理求出．关键是由，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，G是中点， ∴ ∴ ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点和点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质．直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____________． 【答案】﹣1或﹣3． 【解析】 【详解】解：∵这个方程的两个实数根为、， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴m=﹣1或﹣3， 故答案为﹣1或﹣3． 13. 如图，将等边放在平面直角坐标系中，A点坐标，将绕点A顺时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于H，先由等边三角形的性质得到，，再由旋转的性质得到，进而证明，再求出的长即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作于H． ∵，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得，由于圆的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵圆的直径垂直于弦， ∴，则为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得或，都不符合题意； 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得（舍去） 当时，则函数在或处取得最小值， 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：1或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）利用配方法求解即可； （2）移项后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．以点O为原点建立平面直角坐标系． （1）将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，画出； （3）可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是 ；线段扫过的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，根据扇形面积公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：连接，，分别作，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P即为所求，且； ∵，， ∴线段扫过的面积． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 19. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．按照要求，销售时单件利润率不得超过．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 【答案】单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，利用该商场每天销售A玩具获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 销售时利润不超过， ， 不符合题意，舍去． ． 答：单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 20. 如图，在中，，点O是边上一点，经过点A交于点D，交于点F，过点D作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和含30度角的直角三角形三边的关系． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和，则根据同角的补角相等得到，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，，接着证明为等边三角形得到，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 21. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距水面 4m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d 表示为 h 的函数关系式． （3）设正常水位时，桥下的水深为 2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 【答案】（1），（2），（3）当水深超过2.76m时； 【解析】 【分析】设二次函数顶点式解析式，代入一个点的坐标即可解答； 把点代入中的函数解析式就可以解决； 把点代入中函数解析式就可以解决． 【详解】解：设二次函数解析式为代入点得，， 解得 因此二次函数解析式为； 把点代入函数解析式， 得， ∴； 当桥下水面的宽度等于时，抛物线上第四象限点的横坐标为 把代入函数解析式中， (m)， （m）； 答：当水深超过时，超过了正常水位，就会影响过往船只在桥下顺利航行． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 22. （1）【探究发现】如图①，等边三角形内部，有一点，若． 求证：． 下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析； 【解析】 【分析】（1）将旋转，利用等边三角形和直角三角形的性质证勾股定理； （2）类比旋转法，结合等腰直角三角形的性质推导线段关系． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，如图： 由旋转性质可得，，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ； （2） 证明如下： 如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、， 由旋转性质可得：，，， 为等腰三角形， ，， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查几何变换中的旋转法（全等变换）、等边三角形与直角三角形的性质，涉及知识点：旋转的性质、等边三角形判定与性质、勾股定理．解题方法是通过旋转将分散的线段集中到一个三角形中，利用特殊三角形的角度和边长关系推导线段平方关系；解题关键是选择合适的旋转中心和角度，将三条线段转化到直角三角形中，易错点是旋转后角度关系的推导错误． 23. 如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； （3） F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称性可得，待定系数法求解析式即可； （2）如图1，连接，记直线与轴的交点为，联立，可得，则，求，由，可得，求，由，可得，，即，设，则，由相似可知，分，，两种情况求解；①当，，即，计算求解即可；②当，同理①求解作答即可； （3）由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况，①假设为矩形的一边，则D，F必在直线的同侧，过A，E作直线的垂线交直线于，交抛物线于，如图2，根据矩形的性质进行判断作答即可；②假设为矩形的对角线，则D，F必在直线的两侧，取A，E的中点，以为圆心，以为半径画，交直线于，作射线交抛物线于，作射线交抛物线，如图3，然后根据矩形的性质进行判断作答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的对称轴是直线，且过点， ∴， 将，代入得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，连接，记直线与轴的交点为， 联立， 解得，，， ∴， ∴， 当时，，即， ∴， ∴， 当时，，即， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∵以P，B，C为顶点的三角形与相似，分，，两种情况求解； ①当， ∴，即， 解得，，即； ②当， ∴，即， 解得，，即； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由如下： 由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况， ①假设为矩形的一边，则D，F必在直线的同侧，过A，E作直线的垂线交直线于，交抛物线于，如图2： 由（2）可知，直线， ∴当点F必在处，而点D必须在处，由图可知，此时A，E，D，F四点组成的四边形不存在是矩形的可能； ②假设为矩形的对角线，则D，F必在直线的两侧，取A，E的中点，以为圆心，以为半径画，交直线于，作射线交抛物线于，作射线交抛物线，如图3： ∴当点F必在处，而点D必须在处，由图可知，此时A，E，D，F四点组成的四边形不存在是矩形的可能； 综上所述，不存在这样的点，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，等腰三角形判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，平行线的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年灯塔市九年级（上）期中数学测试 （试卷满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　） A B. C. D. 2. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 3. 下列命题正确是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是直径，、是的弦，是的切线，C为切点，与交于点E．若点C为的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是(　　) A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D. 用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 8. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，，若，，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 10. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接、，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点和点关于原点对称，则________． 12. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____________． 13. 如图，将等边放在平面直角坐标系中，A点坐标，将绕点A顺时针旋转，则旋转后点B对应点的坐标为________． 14. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 15. 已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．以点O为原点建立平面直角坐标系． （1）将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； （2）将绕原点O逆时针旋转得到，画出； （3）可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是 ；线段扫过的面积是 ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 19. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．按照要求，销售时单件利润率不得超过．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 20. 如图，在中，，点O是边上一点，经过点A交于点D，交于点F，过点D作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距水面 4m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d 表示为 h 的函数关系式． （3）设正常水位时，桥下的水深为 2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 22. （1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若． 求证：． 下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明． 23. 如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； （3） F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $