第二章 代数式 知识汇总 2024—2025学年湘教版数学七年级上册

代数式 1.代数式的概念 把数与表示数的字母用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接而成的式子. 单独的一个数或者字母也是代数式.例：a＋2 , a2 , , 1 , 0 , b 等都是代数式. 注：代数式中不含有=、<、>、≤、≥、≠等表示关系的符号.例：x=1不是 代数式书写规范： ①数字与字母相乘，数字在前，且省略“×”；例如：2×a写作2·a或2a ②字母与字母相乘，省略“×”或写成“•”，相同字母写成幂的形式，字母顺序遵循字母表；例如：m×n写成m·n或mn，m×m写成m2 ③数字因数为“1”或“-1”时，通常省略“1”； 例如：1a写成a，-1a写成-a ④数与数相乘时，只能用“×”，不能省略或写成“•”； 例如：不能写成23或2·3; ⑤数字因数为带分数时，要化为假分数；例如：写成 ⑥除法运算写成分数形式（除号改为分数线）；例如：100÷t写成 ⑦代数式后面有单位且是和或差的形式时，应把式子用括号括起来； 例如：千米,(a-b)千克. 2.列代数式 理清问题中的数量关系，明确各数及字母表示的意义，一般遵循“先读先写”顺序. 表示规律的问题主要观察序号和数量的递增、递减、倍数关系. 3.代数式的值 直接代入：将字母的值直接代入代数式中求值，一般题目会告诉各字母的值. (注意：负数和分数代入求值时，要添加括号，省略的乘号在代入求值时要加上) 例题：已知x=-3，求x2-5x＋6的值. 解：当x=-3时，x2-5x＋6=(-3)2-5×(-3)＋6=30. 整体代入：把“整体”看做一个值代入，一般题目中出现等量关系. 例题：已知x2-2x-3=0,求2x2-4x的值. 解：已知x2-2x-3=0，则x2-2x=3，2x2-4x=2(x2-2x)=2×3=6. 求代数式的值代入时，仅将相应的“字母”换成给定的数值，其它的运算符号、原来的数以及运算顺序不变. 4.单项式 单项式：由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫做单项式. 特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式.（注：是常数） 单项式的系数：与字母相乘的数.（系数为“1”或“-1”时，“1”省略不写） 单项式的次数：所有字母指数的和；规定一个不为0的数的次数为0. 例：单项式-2a2b3的系数为-2，次数为5；2a的系数是2，次数是1. 注意：单项式的系数要带符号； 如果单项式中的某个字母没有写指数，那么它的指数是1； 单项式的次数仅与字母指数有关，与系数次数无关. 5.多项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 注意:多项式从形式上看必须是和或差的形式；多项式的各项中，分母都不能含有字母. 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数； 多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做 多项式的项数. 注意：多项式的每一项都包含它前面的符号； 多项式的次数是指次数最高项的次数，而不是所有项的次数和. 例题：已知多项式-y4＋2x2-(m+4)y3-y2＋2是关于x，y的七次五项式，且单项式3x2myn的次数与该多项式相同，求m,n的值. 分析：七次＋4=7；五项 (m+4)≠0 ；3x2myn 的次数为7； 解：由题意：＋4=7，m+4≠0，2m＋n=7 =3，解得m=2或m=-4， 又因为m+4≠0，m ≠ -4，所以m=2 则2m＋n=2×2＋n=7，解得n=3 6.整式 单项式和多项式统称为整式.（注意：分母中含有字母的代数式都不属于整式） 整式、单项式、多项式之间的关系：多项式是几个单项式的和，所有的单项式与多项式都是整式.既不是单项式又不是多项式的式子一定不是整式. 7.同类项 把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项； 所有的常数项都是同类项. 两相同：所含字母相同、相同字母的指数相同. 判别同类项 两无关：与系数大小无关、与所含字母顺序无关. 例如：2ab与5ba是同类项. 8.合并同类项 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变. 步骤：①准确找出同类项，利用不同辅助线做出标记； ②运用加法交换律和结合律把同类项结合在一起，在交换位置时，连同它的符号一起交换； ③利用法则合并同类项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； ④写出合并后的结果. 合并同类项是逆用分配律，合并同类项时应注意： （1）不是同类项的不能合并； （2）同类项的系数相加，字母部分不变； （3）确定好每一项的符号，符号跟着项走； （4）合并同类项时，没有同类项的项仍作为多项式的项，在每一步运算中都要写出，不可遗漏. 合并同类项的结果可以是单项式也可以是多项式，但结果中不应再有同类项. 常考题型：合并同类项“不含”、“无关”某项问题： 一化：化为最简形式，即合并同类项； 二找：找到“不含项”、“无关项”； 三求：令该项系数为0，求解相关字母值. 例题：若关于x、y的多项式2ax2-6xy+2y2-2x2+3bxy+y2,且该多项式的值与x的取值无关. （1）求a、b的值； （2）当x=-1,y=2时，求多项式ax2-3xy+y2-2x2+3bxy+y2， 分析：“与x的取值无关”即合并同类项后不含x项 解：（1）原式=（2a-2）x2+（3b-6）xy+3y2， 由题意：2a-2=0，3b-6=0；解得：a=1，b=2. （2）由（1）a=1，b=2， ax2-3xy+y2-2x2+3bxy+y2=x2-3xy+y2-2x2+6xy+y2=-x2+3xy+2y2， 当x=-1,y=2时，原式=-1-6+8=1. 9.降幂（或升幂）排列 把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小（或由小到大）排列，称为降幂（或升幂）排列. 习惯上降幂排列，含有多个字母的按照其中某个字母降幂排列. 例如：x4-x3+x2-x-1(降幂排列) x3y-xy2-y+1(按x降幂排列). 10.多项式相等 两个多项式分别合并同类项以后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等. 注意：判断两个多项式是否相等，应当先合并同类项. 11.去括号 法则：（1）括号前是“+”，直接去掉括号和“+”,原括号里各项符号都不变； a+(b-c)=a+b-c; a+(-b+c)=a-b+c （2）括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”时，原括号里的每一项符号都要改变； a-(b-c)=a-b+c; a-(-b+c)=a+b-c; -(a-b)=-a+b. 去多层括号法则：由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 11.整式的加减（计算、化简） 利用分配律去括号：当括号前含有不等于±1的因数时，要利用分配律将括号外因数与括号里的每一项相乘. 2(a-b)=2a-2b； -2(a-b)=-(2a-2b)=-2a+2b； 或-2(a-b)=-2·a+(-2)·(-b)=-2a+2b. 整式加减运算法则：①去括号；②合并同类项. 整式加减结果要最简：（1）不能有同类项；（2）含字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化为假分数；（3）一般不含括号；（4）一般按某个字母降幂排列. 整式的化简求值步骤：（一般先化简再求值）： 一化：利用整式加减运算法则，将整式化简； 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子中； 三计算：依据有理数的运算法则进行计算。 常考题型： “整体代入”见《学法》P50例1、P54第18题、书本P91第15题； “污渍覆盖”见《学法》P51第9题）； “错看/无关/值不变”问题，处理办法：“将错就错”再反推、先化简再观察； 题型“看错问题”： 例：已知多项式A，B，其中B=5x²+3x-4,小兰同学在计算“3A+B"时，误将“3A+B”看成了“A+3B”,求得的结果为12x²-6x+7.（1）求多项式：3A+B的结果； 解法：“将错就错”先把B带入计算A+3B=12x²-6x+7，反推多项式A，再计算3A+B的结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$