2024-2025学年高二下学期开学考试数学模拟试题

2024～2025学年下学期开学考模拟 高二数学 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A A A B C BC BC ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由题意，得，所以. 2. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 【解析】D 由抛物线可得， 可得焦点坐标为. 3. 等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（    ） A. 2 B. C. 1 D. 3 【解析】B 由题设，则， 所以等差数列的公差. 4. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【解析】A 因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 5. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 6. 在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 如图，在三棱锥中，，，, 平面，以为原点，坐标轴建立空间直角坐标系， 可知，，， ，， ，则， 设，且，则， 可知, ， ，， 异面直线与所成的角的余弦值为， ，解得或（舍去）， . 7. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由， 得， 即 ，  所以是等差数列，公差为，首项为， 所以，则，  数列的前n项和为： ，①  ，② 由① -②可得  ，  ，  即，  由，得，  因为单调递增， 当时， 的值最小．即， 所以， 所以实数的取值范围为． 8. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ） A. B. C. D. 【解析】C 双曲线：，可得，所以， 解得，所以，，， ，， 在中，， ，即， ，. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【解析】BC 对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 【解析】BC 对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为2，且的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上除端点外的一点，用过，，三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 若，则平面与圆锥底面的夹角为 C. 当时，截得的曲线是椭圆的一部分 D. 若，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为 【解析】ACD 对于A，在圆锥中，其底面半径为2，且，故， 所以圆锥体积为.故A正确. 对于B，连接，因平面，又平面， 所以平面平面， 从而，所以， 易知平面与圆锥底面的夹角为.故B错误. 对于C，时，已知，则曲线的离心率为， 所以截得的曲线是椭圆的一部分.故C正确. 对于D，在中，，，， 所以，所以离心率为.故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________. 【解析】 . 13. 已知正项数列中，，，，则数列的前60项和______． 【解析】由条件可知，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又，所以， 所以， 所以数列的前项和， 所以． 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是_____________. 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 由于是以为底边的等腰三角形，，则，， 令椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴为， 由椭圆的定义得，由双曲线定义得， 则，，相减得，即，得， 因此，，显然在上单调递增， 于是，所以的取值范围是． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）根据题意设等比数列的公比为， 当时，由可得，显然不合题意； 因此，所以由可得，解得， 又为正项等比数列，所以； 根据可得，解得或（舍）； 因此； 即数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得， 可得 16. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 【解析】（1）由题意，过点的直径所在直线方程为，即． 联立，解得， ∴圆心坐标为，半径， ∴圆的方程为； （2），要使最大， 则点满足所在直线与所在直线垂直， 此时的最大值为； ∵， ∴所在直线方程为，即， 联立，得或， 即的坐标为或， 当时，的方程为，即； 当时，的方程为，即． 综上所述，所在直线方程为或． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上，是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以. （2）过作的垂线交于点，因为平面， 所以，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，，于是， ， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设， 所以. 因，，，四点共面， 所以，， 所以，从而. 所以在棱上，存在点，使得，，，四点共面，此时. 18. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）抛物线的焦点为，∴ 过垂直于轴的直线截所得的弦长为 所以，解得. 所以 又∵椭圆的离心率为，∴ 椭圆的方程为，. （2）设，，，则由， 得， ∵点在椭圆上， ∴所以，， 故 . 设分别为直线的斜率，由题意知， 因此 所以.. 所以点是椭圆上上的点，. ∵，又∵，∴. ∴恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值. 19. 给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. （1）求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; （2）证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 （3）已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 【解析】（1）由题知：数列 A4，4，2，9经过次“变换”后得到的数列依次为： . （2）充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束， 必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 设数列，，，数列，，，数列，0，0，且， 由充分性易知：数列 E只能为非零常数列， 不妨设 为了变换得到数列E的前两项，数列D只有如下四种可能： ，，，，，，，，， 那么数列E的第三项只能是0或者 即不存在数列D，使其经过一次“变换”后变为非零常数列， 故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 必要性得证. （3）数列，2，2028经过一次“变换”后得到数列，2026， 其结构为a，，4，且远大于， 那么其经过次“变换”后得到数列依次为： 4，a，，4，，，，，，4，，，4 所以数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列， 仅除4之外的两项均减小24， 因为， 所以数列经过次“变换”后得到数列6，10，4， 接下来经过“变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2， 至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年下学期开学考模拟 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全册，选择性必修第二册第四章《数列》. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差为（    ） A. 2 B. C. 1 D. 3 4. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为2，且的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上除端点外的一点，用过，，三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 若，则平面与圆锥底面的夹角为 C. 当时，截得的曲线是椭圆的一部分 D. 若，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________. 13. 已知正项数列中，，，，则数列的前60项和______． 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是_____________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上，是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 19. 给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. （1）求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; （2）证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 （3）已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$