精品解析：广东省揭阳第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期高一期末数学科考试试卷 命题、审题：高一级数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解可得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】因为，解得， 且是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A. 4 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 由，可得，解得， 故. 故选：C. 4. 下列叙述中不正确的（ ） A. 命题“，总有”的否定是“，使得” B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】结合存在量词命题的否定方法判断A，解方程判断B，证明成立判断C，举例判断D. 【详解】命题“，总有”的否定是“，使得”，A正确； 方程的解为或，，都为无理数，B错误； 因为，当且仅当时取等号， 所以恒成立，C正确； 因为，且，所以D正确； 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，，又， ，所以. 故选：B 6. 已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 7. 已知角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用构造函数法，根据函数单调性、奇偶性来对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】设，由于函数是定义在上的奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于，且，都有成立， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 由 可知， ①当时，有，， 即，而， 所以，解得. ②当时，有，， 即，所以， 即或， 不等式组的解集为空集， 不等式组的解集为. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则的最小值是 B. 已知方程的解在内，则 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解判断A；利用零点存在性质定理求解判断BD；利用指数、对数函数图象间的关系判断D. 【详解】对于A，，则， 当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，令函数，则函数在R上单调递增，而， ，于是存在，使得，即方程的解在内，，B正确； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上单调递增，， 因此方程的根落在区间上，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列函数判断正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角降幂公式和辅助角公式，化简函数解析式为，运用奇偶性定义判断A项，利用代入检验法判断B,D项，利用余弦函数的图象判断C项即可. 【详解】由， 可得. 对于A，因，则为偶函数，故A错误； 对于B，因当时，，，故的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，当时，，而在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，，故函数的图象关于点对称，即D错误. 故选：BC. 11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长. 【详解】对A，由题意，， 所以，当时，可得，所以， 故，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对B，由题意，即， 即，所以，或， ，即或，，故B正确； 对C，由题意，即，即， 所以，，解得. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确； 对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是， 故（m）.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________. 【答案】64 【解析】 【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得. 【详解】令，则，故点； 设幂函数， 则， 则； 故； 故答案为：64. 13. 已知函数，（其中，，），其部分图像如图所示，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】观察图象确定函数的最大值，最小值，最小正周期，由此可求，，再结合求，由此可得结论. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为， 最小正周期为，又， 所以，， 又，所以， 所以，，又， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果. 【详解】由得， 所以函数的周期为4， 先作出在区间上图像： 又，， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解. （2）利用诱导公式结合同角三角函数的关系计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比． （1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）； （2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数） 【答案】（1）千米/秒 （2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析 【解析】 【分析】（1）明确各个量的值，代入即可; （2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可. 【小问1详解】 ，，， ， 该单级火箭的最大理想速度为千米/秒. 【小问2详解】 ，， ， ， ， . 该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒. 17. 已知函数. （1）当时，若，求实数的值； （2）若，求的解集. 【答案】（1）； （2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【小问1详解】 ，， ，则，解得； 小问2详解】 ，则， 不等式为，即， 即， 若，不等式化为，解为， 若，不等式化为，解为， 若，不等式化为， 时，不等式为，解为， 时，，不等式的解为或， 时，，不等式的解为或． 综上，时，解集为，时解集为，时，解集为，时，解集为． 18. 已知函数（）的最小正周期为， （1）求的值及的单调增区间； （2），若角终边与角的终边关于x轴对称，求的值； （3）当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1），增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦函数周期公式求出，再结合正弦函数单调性求解； （2）根据诱导公式化简得，根据角终边的对称性得，进而，变换，计算可得. （3）由题意，利用正弦函数的性质求出，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 因为函数（）的最小正周期为， 所以，所以； 由得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以， 即，所以，所以， 又角的终边与角的终边关于轴对称，则， 所以， 故. 【小问3详解】 因为，所以，所以， 所以，即，由题意， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 19. 已知函数 （1）若关于x的不等式的解集为，求a，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，存在，求正数a的最小值. 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式求解；（2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解；（3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算. 【小问1详解】 ∵不等式的解集为，则方程的根为，且， ∴，解得， 故. 【小问2详解】 令， 若，即， 则， ∵的开口向上，对称轴为，则在单调递减，在单调递增，且， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 的开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： 当时，在上单调递增，则可得， 即，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则可得， ∵，则， ∴，即； 综上所述：， 故正数a的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期高一期末数学科考试试卷 命题、审题：高一级数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（ ） A. 4 B. C. 12 D. 4. 下列叙述中不正确的（ ） A. 命题“，总有”的否定是“，使得” B. ， C. ， D. ， 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角，，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确是（    ） A. 若，则的最小值是 B. 已知方程的解在内，则 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 10. 已知函数，则下列函数判断正确是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 的图象关于点对称 11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________. 13 已知函数，（其中，，），其部分图像如图所示，则_________. 14. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比． （1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）； （2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数） 17. 已知函数. （1）当时，若，求实数的值； （2）若，求的解集. 18. 已知函数（）的最小正周期为， （1）求的值及的单调增区间； （2），若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值； （3）当时，恒成立，求m的取值范围. 19. 已知函数 （1）若关于x的不等式的解集为，求a，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，存在，求正数a的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$