第03讲 导数的应用（7大知识点+9大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第03讲 导数的应用 课程标准 学习目标 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤 3.函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 4.函数极值的意义 5.函数极值的求法与步骤 6.函数最值的定义 7.求函数的最大值与最小值的步骤 1.能利用导数研究函数的单调性. 2.掌握函数极值的判定及求法 3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 4.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 5.会求某闭区间上函数的最值． 知识点01函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 【即学即练1】（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的导函数为，“在区间上，导函数”是“函数在该区间上严格增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【即学即练2】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若函数对任意恒成立，且，则的取值范围为 . 知识点03函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【即学即练3】（23-24高三上·上海·期中）已知函数的部分图像如图所示，若，不等式的解集为 ． 知识点04函数极值的意义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 【即学即练4】（21-22高二下·上海金山·期末）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减；    ②； ③函数在处取极大值；      ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是 ． 知识点05函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 【即学即练5】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知函数 (1)若b=0，求函数在x=1处的切线方程； (2)若b=2，求函数的极值; (3)讨论函数的单调性. 知识点06函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值 【即学即练6】（22-23高二下·上海松江·期中）函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题： ①是函数的极小值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上严格增； ④在处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是 . 知识点07求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练7】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 题型一：利用导数研究函数的单调性 1.（23-24高三上·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·上海·期中）设 ，满足，则 . 3.（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 题型二：求已知函数的极值 1.（22-23高二下·上海松江·期中）已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2.（22-23高二下·上海浦东新·期中）函数的极大值为 . 3.（23-24高二下·上海静安·期末）记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 4．（22-23高三上·上海嘉定·期中）设. (1)求函数的极小值点. (2)若函数满足，求a的值. (3)求函数的单调区间. 题型三：根据极值、极值点求参数 1.（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 2.（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 3．（22-23高二下·上海徐汇·期末）若是函数的极小值点，则实数的值为 . 4.（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 题型四：函数（导函数）图象与极值点的关系 1.（23-24高二下·上海·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 2．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 3.（23-24高二下·上海·期中）设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是 ．（将所有正确的结论序号填在横线上） ①在区间上是增函数 ②在区间上是减函数 ③在区间上是增函数 ④当时，取极大值 ⑤是的一个驻点 4．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 题型五：由导数求函数的最值（不含参） 1.（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 2.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 3.（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 题型六：函数单调性、极值与最值的综合应用 1.（23-24高三上·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是 ． 2.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知实数，设. (1)若，求函数，的图象在点处的切线方程； (2)若，求函数，的值域； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 4．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数 令． (1)当时， 求函数在处的切线方程; (2)若在上为增函数， 求的取值范围; (3)当为正数且时， 的最小值为， 求的最小值． 题型七：利用导数研究不等式恒成立问题 1.（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 4.（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 题型八：利用导数研究函数的零点 1.（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内的极值点个数； (3)若在区间内有零点，求证：． 4．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 题型九：利用导数解决实际问题 1.（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    3．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 4．（23-24高二上·上海·期末）（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      一、单选题 1．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   2．（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 二、填空题 5．（25-26高三上·上海·期末）函数的极大值为 . 6．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）函数的极值点为 . 7．（23-24高三上·上海浦东新·期中）若是函数的驻点，则实数的值为 . 8．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 9．（23-24高三上·上海虹口·期中）函数在区间上的最大值是 . 10．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 11．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 12．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 13．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 15．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 16．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设、是函数的两个极值点，若，则的最小值为 三、解答题 17．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 18．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 20．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 21．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数的应用 课程标准 学习目标 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤 3.函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 4.函数极值的意义 5.函数极值的求法与步骤 6.函数最值的定义 7.求函数的最大值与最小值的步骤 1.能利用导数研究函数的单调性. 2.掌握函数极值的判定及求法 3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 4.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 5.会求某闭区间上函数的最值． 知识点01函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 【即学即练1】（23-24高二下·上海闵行·期中）函数的导函数为，“在区间上，导函数”是“函数在该区间上严格增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据导数的性质判断充分性，再举反例判断必要性即可. 【详解】充分性：若，则显然为增函数，充分性得证. 必要性：若，则为增函数，但，必要性不得证. 所以“在区间上，导函数”是“函数在该区间上严格增”的充分不必要条件. 故选：A 知识点02利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【即学即练2】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若函数对任意恒成立，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由所给的特征，构造函数，结合函数的单调性即可解题. 【详解】由，得，则， 令，，即为增函数， 故，， 故. 故答案为： 知识点03函数图像的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【即学即练3】（23-24高三上·上海·期中）已知函数的部分图像如图所示，若，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先由题意得出的符号随的变化而变化的情况，然后对进行分类讨论即可得解. 【详解】由图可知当时，，时，，时，， 当时，，故满足题意； 当时，，故满足题意； 当时，或或，故或满足题意； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为： 知识点04函数极值的意义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 【即学即练4】（21-22高二下·上海金山·期末）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减；    ②； ③函数在处取极大值；      ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是 ． 【答案】②④ 【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案. 【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确； 由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误； 由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0， 故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确. 故答案为：②④ 知识点05函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 【即学即练5】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知函数 (1)若b=0，求函数在x=1处的切线方程； (2)若b=2，求函数的极值; (3)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，由可得结果； （2）求得，由可得，判断左右两边导函数的符号，从而可得结果. （3）求得在定义域内，讨论，两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间. 【详解】（1）因为，所以 所以， ， ∴函数在处的切线方程为：即. （2）若,则, ， 令， 所以， 当时，在单调递增； 当时，，在单调递减， 当时，有极小值，无极大值. （3）因为, 定义域. 所以，因为， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令， 所以， 当时，在单调递增；当时，，在单调递减. 知识点06函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值 【即学即练6】（22-23高二下·上海松江·期中）函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题： ①是函数的极小值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上严格增； ④在处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】观察的图像在左右的符号即可判断①；观察的图像，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④. 【详解】有图像可知，的左侧导数值为负，右侧为正，故是函数的极小值点； 的左右两侧导数值均为正，故不是函数的最值点； 在区间导数值为正，故在区间上严格增； ，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③. 故答案为：①③. 知识点07求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【即学即练7】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间和最值； （2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值. 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点 题型一：利用导数研究函数的单调性 1.（23-24高三上·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 2.（24-25高三上·上海·期中）设 ，满足，则 . 【答案】4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，利用函数的奇偶性，以及用导数判断单调性，即可求解. 【详解】因为， 所以， 设函数， 都有 且， 所以函数是奇函数， 又因为， 因为，所以恒成立， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以 所以，解得， 故答案为:4. 3.（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减 题型二：求已知函数的极值 1.（22-23高二下·上海松江·期中）已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值、已知函数的定义域求参数 【分析】利用导数法求出函数的极值，作出函数的大致图象，结合函数的定义域是值域的子集关系即可求解. 【详解】依题意，，其导数， 令则，解得或， 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得的极小值为， 当时，取得的极大值为. 若，即，解可得或2， 即函数与的交点为和， 在同一坐标系中作出函数和的图像，如图所示 若函数的定义域为的值域为的子集，则有 ，且， 若时，即时，不能满足的值域为的子集， 同理，时，即时，不能满足的值域为的子集， 故只有当月.时，的值域为，满足的值域为的子集， 符合题意； 故这样的函数有且只有一个. 故选：A. 2.（22-23高二下·上海浦东新·期中）函数的极大值为 . 【答案】/ 【知识点】求已知函数的极值 【分析】对函数求导，利用单调性即可得出函数的极大值. 【详解】依题意，因为，所以， 所以， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以在处取得极大值，且. 故答案为：. 3.（23-24高二下·上海静安·期末）记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 【答案】答案见详解 【知识点】求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的加减法 【分析】根据导数的求导法则求，利用导数求的单调性，进而可得极值. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数的极大值为，极小值为. 4．（22-23高三上·上海嘉定·期中）设. (1)求函数的极小值点. (2)若函数满足，求a的值. (3)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2) (3)在和上严格增，在上严格减 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】(1)先对函数求导，求出导函数的零点，列表表示出函数随自变量变化情况，即可求解； (2)根据题意，写出函数的解析式，对函数求导，根据导函数的值即可求解； (3)结合（1）求出函数的解析式，对其求导，并用表格列出函数随自变量变化情况，即可求出结果. 【详解】（1）因为函数，所以， 令，解得：，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以极小值点为. （2）因为， 所以，又因为， 所以. （3）由（1）可知：， 所以，令，解得：或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 题型三：根据极值、极值点求参数 1.（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】先证明，再证明存在符合条件的使得. 【详解】由于，故是方程的两个不同的正数根. 所以，，且判别式，即，结合知. 那么 ， 而利用即可得到 ， 设，则当时，所以在上递增，故对有. 从而由有，故，即，所以. 这就得到. 而当时，； 当时，. 所以由零点存在定理知，一定存在，使得. 此时. 当或时，；当时，. 所以在和上递增，在上递减. 从而，的确分别是的极大值点和极小值点，满足条件. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断极值点 2.（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海徐汇·期末）若是函数的极小值点，则实数的值为 . 【答案】2 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求导，根据极值点与导函数的关系求的值，并代入原函数结合单调性检验. 【详解】由题意可得： ， 因为，解得或， 若，则， 令，解得或；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是极小值点，符合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点，不符合题意； 综上所述：实数的值为2. 故答案为：2. 4.（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数计算，再求得，由点斜式得切线方程； （2）根据题意，由方程有且仅有一个正实根求出实数a的取值范围即可． 【详解】（1）时，，则， 所以切线的斜率为，又， 所以在点处的方程为，即； （2）的定义域是，， 因为函数有且仅有一个驻点，所以方程有且仅有一个正实根. 显然当时不符合题意． 对于方程， 若，则或（舍）， 当时，由，得， 所以，符合方程有且仅有一个正实根； 若，则或， 当时，方程的两根满足， 所以方程的一根为正，一根为负，符合只有一正根，满足题意； 当时，方程的两根满足， 又，所以方程的两根均为正，不满足题意； 若，方程无实根，不符合题意. 综上，的范围是． 题型四：函数（导函数）图象与极值点的关系 1.（23-24高二下·上海·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由导数符号与函数单调性、极值的关系逐一判断即可求解. 【详解】对于A，当时，，当时，， 所以函数在上先减后增，故A错误； 对于B，当时，，所以函数在上单调递减，故B正确； 对于C，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负， 所以函数在处取得极大值，故C正确； 对于D，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值， 因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值， 则函数共有两个极小值点，故D正确. 故选：A. 2．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数. 【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间， 区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点， 综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点. 所以C正确，A、B、D错误. 故选：C 3.（23-24高二下·上海·期中）设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是 ．（将所有正确的结论序号填在横线上） ①在区间上是增函数 ②在区间上是减函数 ③在区间上是增函数 ④当时，取极大值 ⑤是的一个驻点 【答案】③ 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】观察的图象可知， 当时，先负后正，则函数先递减，后递增，故①错误； 当时，先正后负，则函数先增后减，故②错误； 当时，，则函数递增，故③正确； 由导函数的图象可知函数在上单调递减，上单调递增，在处取得函数的极小值，故④错误 由导函数的图像可知不是的零点，也不是的驻点，故⑤错误. 故答案为：③ 4．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【答案】②④ 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据给定的图象，求出或的的取值范围，再逐项判断作答. 【详解】观察图象知，当时，或，当时，或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，③错误； 函数在处取得极小值，④正确， 所以所有真命题的序号是②④. 故答案为：②④ 题型五：由导数求函数的最值（不含参） 1.（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】命题（1），取，易得在上为严格增函数，但，从而判断出命题（1）错误；命题（2），根据条件，利用复合函数求导法则，即可得到，从而得到命题（2）正确；命题（3），构造函数，根据条件，得到在上单调递增，即可判断出命题（3）的正误，从而求出结果. 【详解】对于命题（1），取，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上为严格增函数，但，所以命题（1）错误， 对于命题（2），因为，所以，即是周期函数，所以命题（2）正确， 对于命题（3），令，则恒成立，即在上单调递增， 所以，当时，， 即在上恒成立，所以命题（3）正确， 故选：B. 2.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得最值. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 故答案为：1. 3.（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为7 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】用导数求出在上单调性，再比较的大小即可求解. 【详解】， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 又，所以在上的最小值为. 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）只需分别求得即可得解. （2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解. 【详解】（1），故所求为. （2）因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 题型六：函数单调性、极值与最值的综合应用 1.（23-24高三上·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求． 【详解】原不等式等价于，， 设， 所以， 令，得． 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 又，时，， 因此与的图象如下，    当时，显然不满足条件，当时，只需满足， 解可得，． 故答案为：． 2.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知实数，设. (1)若，求函数，的图象在点处的切线方程； (2)若，求函数，的值域； (3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）确定当时的单调性再求值域； （3）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知，讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【详解】（1） 因为， ，， 所以，. 故点处的切线方程为，即. （2），， ，令得， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以 所以函数，的值域为. （3）由已知有令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故,，所以A不是B的子集.    当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意.    综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系，即，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向，由于，因此，可减少讨论情况. 3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，求出，结合，从而利用导函数几何意义得到切线方程； （2）转化为对恒成立，结合得到，从而求出答案； （3）求导，分，，及，结合函数定义域，结合函数单调性，得到函数极值情况，得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 又， 在处的切线方程为． （2）即对恒成立， ， 即对恒成立， 且，解得． （3）， ①当时，，此时函数定义域为， 其中，对恒成立， 在上单调递增，不存在极值，不符题意． ②当时，，此时函数定义域为，， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值，但不符题意． ③当时，，此时函数定义域为，令得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 不存在极大值，不符题意． ④当时，的定义域为， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值， ， ， ，即，符合题意． 综上，． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 4．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数 令． (1)当时， 求函数在处的切线方程; (2)若在上为增函数， 求的取值范围; (3)当为正数且时， 的最小值为， 求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）由题意求出，及切线斜率即可求切线方程； （2）通过求导，根据在单调递增得恒成立，讨论即可求解； （3）通过求导，讨论,,三种情况，分析讨论在的单调性，即可求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数， ， 则切线方程为，即， 故在处的切线方程为 （2）因为在上为增函数 则 当时， 此时在单调递增； 当时，只需 在恒成立， 因为只要 ，则需要 对于函数过定点，对称轴 只需即 综上可得： （3）函数的定文域为且， 所以 令解得 或 ①当即， 若时，在，单调递增； 若时，在，单调递增； 故在上单调递增， 所以在上的最小值为符合题意； ②当即 时， 当时， 当时, 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为不符合题意； 当即同理可得在上单调递减， 所以在上的最小值为不符合题意； 综上，实数的取值范围是 故的最小值为． 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）经过函数上一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数，求出在此点出的切线斜率，利用直线的点斜式方程，求出切线方程即可; （2）根据在上为增函数，转化为导数在的恒成立问题. （3）若已知含参函数最值，求参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件得出结果. 题型七：利用导数研究不等式恒成立问题 1.（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解. 【详解】不妨设， 则， 由可得， 所以，即， 所以， 令，， 则， 因为， 所以在区间上单调递减， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 所以，因为在区间上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立. 2.（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】分析可知，整理可得，换元令，构建，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解. 【详解】显然， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为直线恒在上方来求解，即可得，进而构造函数，求得的最小值. 【详解】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，重点在于通过通过转化将转化为只含的表达式，求得最小值，需要较强的分析问题解决问题的能力，难度较大 4.（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【详解】（1）由题意知 则曲线在处的切线方程为 （2）不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 题型八：利用导数研究函数的零点 1.（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可 【详解】因为函数有两个零点， 所以有两个根，即， 设，， 当时，解得，函数单调递增； 当时，解得，函数单调递减， ， 当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷， 所以当时，与有两个交点，故①正确； 由此可知， 因为， 若，即. 即证， 当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点 3.（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内的极值点个数； (3)若在区间内有零点，求证：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值点 【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可. （2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可. （3）当时显然在区间内无零点；当时，构造函数并研究其单调性即可. 【详解】（1）由求导得：，依题意，，解得， 经验证，在点处的切线为， 所以. （2）由（1）知， （i）若，当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以无极值点. （ii）若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此为的极小值点，且无极大值点， 所以当时，在内的极值点个数为0； 当时，在内的极值点个数为1. （3）由（2）知当时，函数在上单调递增， 因此，函数在内无零点； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，， 若在区间内有零点，则， 而，设， 则， 设，则，函数在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 则，即，又， 所以. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 4．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题 题型九：利用导数解决实际问题 1.（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设点在第一象限，表示出圆柱的底面圆半径和母线长，求得圆柱的体积表达式，利用导数分析得出时，圆柱体的体积最大，继而求得其侧面积. 【详解】 如图，设点在第一象限，则有，且. 由椭圆和矩形的对称性，把矩形绕着轴旋转180°得圆柱， 则圆柱的底面圆半径为，母线长为， 于是该圆柱体的体积为：， 将对求导，可得：，由可得， 当时，；当时，， 即在上单调递增；在上单调递减. 故当时，圆柱体的体积最大，此时，. 则圆柱的侧面积为：. 故选：A. 2．（23-24高二下·上海·期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.      (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【答案】(1) (2),,最大值为 【知识点】面积、体积最大问题、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可． 【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形， 所以，解得，即的值为； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为， 其底面积为， 所以三棱柱容器的容积为，； 求导数得，令，解得或（舍去）， 所以时，，单调递增，时，，单调递减； 所以时，取得最大值，为， 所以的最大值为． 4．（23-24高二上·上海·期末）（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      【答案】（1）（2） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解. （2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解. 【详解】（1）如图所示：    由题意母线长为正方形边长，即， 圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长， 不妨设圆锥底面半径为，所以，解得， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为. （2）由题意不妨设，则，所以， 所以圆柱的体积可表示为， 求导得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当圆柱的体积最大时，此时矩形的面积为. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 2．（24-25高三上·上海·期中）记函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数判断单调性，进而结合单调性求最值，即得. 【详解】由题意，， 令，解得， 在上，则在上是减函数， 在上，则在上是增函数， 于是最小值，最大值，即. 故选：D 3．（24-25高三上·上海·期中）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由得，符合题意；②构造函数，分析函数单调性可知不具有性质；③由可知具有性质；④构造函数，求导分析单调性可知不具有性质. 【详解】①，令，解得(舍去)或， 存在非零实数，使得. ②，令 结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. ③，存在，使得. ④， ，在上单调递增，又，故无其他零点， 不存在非零实数，使得. 故选：B. 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 二、填空题 5．（25-26高三上·上海·期末）函数的极大值为 . 【答案】/ 【分析】对求导，分析该函数在各区间上的单调性，从而获得极大值点，代入即得. 【详解】由求导得，， 则当时，；时，；时,. 即函数在和上单调递减，在上单调递增. 故函数在处取得极大值，为 故答案为：. 6．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）函数的极值点为 . 【答案】0 【分析】利用导数，结合极值点的定义得解. 【详解】， ，令解得，令解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为0. 故答案为：0. 7．（23-24高三上·上海浦东新·期中）若是函数的驻点，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据驻点的定义可得，解得，验证即可. 【详解】由题意知，, 因为是函数的驻点，所以， 解得. 当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的驻点. 综上，. 故答案为：2e. 8．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据图像判断出函数的单调区间，从而求得的解集. 【详解】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 9．（23-24高三上·上海虹口·期中）函数在区间上的最大值是 . 【答案】 【分析】利用导数判断的单调性，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案. 【详解】令，因为，所以，即， 易得不是常数函数，所以在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令.则， 所以，所以 即的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 15．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 16．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设、是函数的两个极值点，若，则的最小值为 【答案】/ 【分析】 由题意，是关于的方程的两根，根据可得与的函数关系，再结合的范围，可得的最小值. 【详解】 ，，是的两个极值点， ∴，是关于的方程的两根且， 又当时，，方程不成立， 所以，，两式作商得到：， 所以，令，则， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，则， 则 所以，， 令，，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以， 则的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用构造函数，找到临界条件进行分析. 三、解答题 17．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 18．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)递增区间是，，递减区间是； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）利用导数按和探讨在上的单调性，结合零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，；递减区间是. （2）函数，求导得， 当，即时，，，函数在上单调递增， 由函数在区间上恰有一个零点，得， 解得，因此； 当，即时，当时，，即函数在上递减， 又，要函数在区间上恰有一个零点，当且仅当， 则与矛盾， 所以的取值范围是. 20．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【详解】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 21．（24-25高三上·上海·期中）设. (1)当时，求曲线在点(2,3)处切线的方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)设函数的定义域为，若对任意的成立，求 的取值范围. 【答案】(1). (2)上是严格增函数，上是严格减函数. (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解. （2）求出导数，判断导数值正负求出单调区间. （3）先探求不等式成立的必要条件，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明. 【详解】（1）当时，，求导 ，则， 所以切线方程为，即. （2）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上严格增函数，在上严格减函数. （3）函数定义域为， 不等式恒成立，即恒成立， 当时，必成立，则， 令，求导得 ， 而，则当时，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有成立求的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由可知必有，证明充分性时，令，利用导数求出恒成立，即可求解，属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$