9.3 平行四边形 讲义 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版八年级数学下平行四边形 课 题 平行四边形的性质和判定 授课时间： 教学目标 1、 会识别平行四边形 2、 掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 3、 会运用平行四边形的性质和判定解决有关问题 教学内容 1、 知识要点： 1.平行四边形的性质 平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 2.平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（定义） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称，不是轴对称图形 二、例题讲解： 题型：与全等相关的证明 【例1】如图，四边形为平行四边形，即，．通过证明三角形全等来说明： ⑴，．（对边相等） ⑵，．（对角线互相平分） 【巩固】已知：如图，在□中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF。 ( A D C F B E )求证：AC、EF互相平分。 【例2】如图，平行四边形中，．对角线，相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，． ⑴ 证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； ⑵ 试说明在旋转过程中，线段与总保持相等． 【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F在直线AC上，且AE=CF,求证：四边形EBFD是平行四边形． 题型：与平行四边形性质有关的边和角 【例3】如图，已知等边三角形的边长为，是内一点，，，点分别在上，则 【例4】已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D= ． 【巩固】如图2，在平行四边形中，，，于，则 ． 【例5】已知四边形的四条边长分别是，其中为对边，并且满足则这个四边形是（ ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【巩固】如图，在平行四边中，已知，，平分交边于点，则等于 ． 【例6】如图，在ABCD中，AE：EB＝1：2，则△AEF和△CDF的周长比为　　 　． 【巩固】 已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，的周长比 的周长多，则的长度为 ． 【巩固】如图，在□ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F．AC＝12，则AF的长为________ 【巩固】如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2cm，AC＋BD＝14cm，则△OBC的周长是 cm． 【例7】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ） A．1cm＜OA＜4cm 　　B．2cm＜OA＜8cm C．2cm＜OA＜5cm　　 D．3cm＜OA＜8cm 【巩固】在中，对角线AC、BD相交于点0．如果AC=14，BD=8，AB=，那么的取值范围是 ． 题型：平行四边形的判定 【例8】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可） 关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°． 已知：在四边形ABCD中，　　　　　，　　　　　； 求证：四边形ABCD是平行四边形． ( A B C D ) 【巩固】如图，是平行四边形对角线上的两点，（1）给出下列三个条件：①； ②； ③∠AEB=∠AFD. 在上述三个条件中，选择一个合适的条件说明四边形是平行四边形，则可以选择____________； （2）选择其中的一种方案说明四边形是平行四边形. 题型：平行四边形的判定训练 【例9】 【训练1】.如图，在平行四边形的各边上，分别取，使， ，求证：四边形为平行四边形 【训练2】.如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线交于点，交于点．若，且．求证：四边形是平行四边形． 【训练3】.如图，在平行四边形中，点、是对角线上的点，且，，求证：四边形是平行四边形． 【训练4】.如图，、分别是平行四边形的、边上的点，且． ⑴求证：≌； ⑵若、分别是、的中点，连接、，试判断四边形是怎样的四边形，并证明你的结论． 【训练5】.如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形． 题型：平行四边形的对称性 【例10】在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为（ ） A．2 B． C． D． 【巩固】如图，在平行四边中，、为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24 【巩固】现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案． 题型：平行四边形综合问题 【例11】如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有 个平行四边形 【巩固】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例12】 ( A B C D y x O 4 O l m 7 88 2 图 1 图 2 )如图1，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为（ ） A．4 B．4 C．8 D． 8 【例13】如图：四边形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。设点P运动的时间为t秒。 （1）PD= ，BQ= （用含t的代数式表示） （2）运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形? （3）运动多少秒时，四边形PDCQ是平行四边形? （4）运动多少秒时，四边形APQB的面积和四边形PDCQ的面积相等? 【例14】如图，在ABCD中，过点B作BE⊥AB,垂足为E,连接AE,F为AE上一点， 且∠BFE=∠C. (1) 求证：CD·ED=AE·AF (2) 若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长； (3) 在（2）的条件下，若AD=3,求BF的长.(计算结果可含根号) 【例15】分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB、CD、DA为斜边作等腰直角三角形，分别是△ABE、△CDG、△ADF． (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF、EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明） ； (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF、EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 3、 实战演练： 1.如图，点是平行四边形对角线上的两点，且，那么和相等吗？请说明理由 2.已知：如图，平行四边形内有一点满足于点，，，请找出与相等的一条线段，并给予证明． 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3． （1）求AC的长； （2）求△AOD的面积． ( A B C D O ) 4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则平行四边形ABCD的周长为　 　． 5.根据下列条件，能判断出一个四边形是平行四边形的是 （ ） A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直 6.如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( ) A． B． C． D． 7．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE 向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 ▲ ． 8.如图，在□ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝ ▲ . 9.如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为 ( ) A．5 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形． 求证：AD＝BF． 四、课后作业 1.如图，是平行四边形的对角线上的两点，. 求证：（1）≌； （2）. 2.如图，已知：在平行四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：． 3.如图1，在平行四边中，，则 ． 4.一个平行四边形的两条对角线的长分别为和，则它的一条边长的取值范围是 ． 5.如图，、是平行四边形对角线上两点，，求证：． 6.如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形． 7.如图所，在平行四边形中，、是对角线上两点，且，求证：四边形是平行四边形． 8.已知：如图，∥，∥，且．求证：四边形是平行四边形． 9.已知：如图，平行四边形内有一点满足于点，，，请找出与相等的一条线段，并给予证明． 　　　　　　　　　　　 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$