浙江省杭州市余杭区2023-2024学年上学期八年级1月月考数学试卷

2023—2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）月考 数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C D． 2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4 3．如果，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．将直线向下平移2个单位所得的直线的解析式是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长为9，则的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D 8．如图，在平面直角坐标系中，，绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．5 10．关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰三角形的一个底角是，那么顶角是______． 12．如图，已知，点依次在同一条直线上，若，，则的长为______． 13．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标是______． 14．已知不等式的解集为，则的取值范围是______． 15．已知、是一次函数图象上两点，且，则的取值范围为______． 16．如图，的点、在直线上，，若点在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题6分） 如图所示，在中， （1）作出的高线． （2）若，求的度数 18．（本小题6分） 解下列不等式（组）： （1）； （2） 19．（本小题8分） 已知点在第二象限，到轴的距离为5，到轴的距离为8，求的值． 20．（本小题8分） 如图，在与中，在边上，， （1）求证：． （2）若，求的度数． 21．（本小题10分） 超市购进、两种商品，购进4件种商品比购进5件种商品少用10元，购进20件种商品和10件种商品共用去160元． （1）求、两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进、两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进种商品的件数少30件，该商店此次销售、两种商品共获利不少于640元，求至少购进种商品多少件？ 22．（本小题10分） 已知一次函数（为常数，且）． （1）当函数图象与轴的交点在轴正半轴上时，求的取值范围． （2）当函数图象经过第二、三、四象限时，求的取值范围， （3）当时，一次函数的最大值为4，求的值． 23．（本小题12分） 如图所示，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）当点到达点时，与的位置关系如何？请说明理由． （2）在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由 24．（本小题12分） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1．【答案】D 【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．【答案】C 【解析】解：A、，不能组成三角形，故A选项错误： B、，不能组成三角形，故B选项错误； C．，能组成三角形，故C选项正确： D．，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3．【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的性质判断即可， 【解答】 解：A．若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； B．若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意； C．若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； D．若，令，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选B． 4．【答案】C 【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 本题考查了关于轴对称的点的坐标，解题的关键是把握对称点坐标的特点． 5．【答案】B 【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线向下平移2个单位所得的直线的解析式是 故选：B． 根据“上加下减”的原则进行解答即可． 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 6．【答案】C 【解析】解：是的垂直平分线， 的周长为9， ， ， ， ． 故选：C． 根据垂直平分线的性质，得；根据的周长为9，则，的周长为：，即可． 本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式． 7．【答案】B 【解析】解： 解①得， 解②得， 因为关于的一元一次不等式组有解， 所以， 解得． 故选：B． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于的不等式，解之即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．【答案】C 【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ， ， ， 故选：C． 如图，过点作轴于，过点作轴于．利用全等三角形的性质求出，即可解决问题．本题考查坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．【答案】C 【解析】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ，这时有最小值，即的长度， 即的最小值为． 故选：C． 过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线．得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值． 本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置． 10．【答案】D 【解析】解：①根据一次函数定义：时，此函数为一次函数，故正确； ②，故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，解得：，故正确； ④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． ①根据一次函数定义即可求解； ②，即可求解： ③图象经过二、三、四象限，则，解即可求解； ④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． 11．【答案】100 【解析】解：因为其底角为，所以顶角． 故答案为：100． 知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解本题． 此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很重要的方法，要熟练掌握． 12．【答案】3 【解析】解：， 又， 故答案为：3． 根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 13．【答案】 【解析】解：点在轴上， 解得：， 故答案为：． 根据轴的坐标特点得出关于的方程解答即可． 此题考查点的坐标，关键是根据轴的坐标特点得出关于的方程解答． 14．【答案】 【解析】解：不等式的解集为， 故答案为：． 根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案， 本题考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质 15．【答案】 【解析】解： 即：或 也就是，随的增大而减小， 因此，，解得，， 故答案为：． 根据得出随的增大而减小，再根据，求出其取值范围即可． 考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键． 16．【答案】或或或 【解析】解：如图， 在中，， ①当时， ②当时， ③当时， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 分三种情形：分别求解即可解决问题． 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．【答案】解：（1）如图所示： （2）， 的度数为：． 【解析】（1）利用三角形高线以及中线的定义分别得出即可； （2）利用邻补角的定义以及三角形内角和定理进而得出答案． 此题主要考查了复杂作图以及邻补角定义，根据题意得出的度数是解题关键． 18．【答案】解：（1）， （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．【答案】解：由点在第二象限，到轴的距离为5，到轴的距离为8，得 解得． 【解析】根据第二象限内点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标的相反数，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 本题考查了点的坐标，利用第二象限内点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标的相反数得出关于的方程是解题关键． 20．【答案】20．（本题8分） 证明（1）：， 即， 在和中， ， ； （2）， ，又， 又， 【解析】（1）根据“”可判断； （2）先根据全等的性质得到，则，再利用三角形内角和定理计算出 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定． 21．【答案】（1）设甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元， 根据题意，得解得： 答：种商品每件进价5元，种商品每件进价6元． （2）设种商品购进件，则乙种商品件， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进种商品100件． 【解析】（1）根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进甲种商品件，则乙种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可 此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系． 22．【答案】解：（1）函数图象与轴的交点在轴正半轴上， （2）函数图象经过第二、三、四象限， 解得； （3）①当时，即时， 随的增大而增大， 当时，最大值是4， 解得； ②当时，即时， 随的增大而减小， 当时，最大值是4， 解得． 综上，的值为2或-2.5． 【解析】（1）根据一次函数中，时，与轴的交点在轴的正半轴，可得答案， （2）根据一次函数中，时，函数的图象经过第二、三、四象限，可得答案． （3）①根据一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是4， ②根据一次函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数时，数的图象经过第一、二、三象限；时，函数的图象经过第一、二、四象限；时，函数的图象经过第一、三、四象限：时，函数的图象经过第二、三、四象限． 23．【答案】解：（1）当点到达点时，与垂直，即为直角三角形． 理由是：，当点到达点时，， 点为的中点． （等边三角形三线合一的性质）． （2）假设在点与点的运动过程中，能成为等边三角形， 解得． 当时，是个等边三角形． 【解析】此题考查的是等边三角形的性质和判定，读懂题意是关键． （1）根据等边三角形性质结合点和点的运动速度可知当点到达点时，点运动到的中点，根据等边三角形三线合一的性质可得答案： （2）假设能成为等边三角形，根据等边三角形边长相等得到关于的方程，求出方程的解即可得出结论． 24．【答案】解：（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在中，， 由折叠的性质，可知：， 点的坐标为． （2）， 又， 在和中， （3）存在点，且坐标为或，理由如下： 设点的坐标为，则． 解得：或， 轴上存在点或，使得． 【解析】（1）直线中，分别令，确定坐标，运用勾股定理计算，根据折叠性质，，确定的长即可确定点的坐标； （2）证明，根据计算即可； （3）设点的坐标为，则．根据，计算的值即可 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$