9.2.3向量的数量积（第二课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.2.3向量的数量积（第二课时） 复习导入 向量的数量积 向量的夹角 向量的数量积 定义 投影与投影向量 叫做向量的夹角 （同起点） 新知探究 思考：类比向量的线性运算，数量积运算是否也满足一些运算律呢？ ① ③ ② 实数 猜想 向量数量积 ① ③ ② 问题：以上猜测的运算律公式是否都成立呢？你能用所学知识证明吗？ 新知探究 求证： 证明： √ 求证： m n 与 不一定是共线 × 思考：三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘呢？ 新知探究 求证： 证明： √ 求证： 证明：如图，任取一点，作 新知探究 求证： 设向量与的夹角分别为， 它们在向量上的投影分别为 与方向相同的单位向量为， 则，， ， 因为，所以， 于是， 即， 新知探究 求证： √ 整理得， 所以， 即， 所以， 因此 新知探究 数量积的运算律： 对于向量和实数，有 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 注：1、 不一定成立； 2、若 不能推出（或如右图） 思考：向量是否也有“完全平方公式”或“平方差公式”？ 练习巩固 辨析：判断正误. 1.. ( ) 2.(. ( ) 3.. ( ) 4.若与同向，则. ( ) 5.向量的数量积运算满足 ( ) 【答案】：×，√，√，√，×. 练习巩固 练习1：求证：(1). 证明：(1) ； (2) 因此，上述结论是成立的. 练习巩固 例2：已知，是夹角为60°的两个单位向量，，， 求证：. 解：依题意，得， 因为 所以 练习巩固 变式1：已知，，与的夹角为60°，求. 解： 练习巩固 练习2：已知，的夹角为60°，求 解：∵， ， ∴ 求模长： 求模长，先平方 新知探究 向量的数量积核心知识 （其中） ①出现平行：（） ②出现垂直： ③求数量积： ④求夹角： ⑤求模长： 练习巩固 变式2-1：已知向量与的夹角为120°，且，求： (1)(2) 解：由已知得 (1)∵ ∴ (2)∵ ∴ 练习巩固 变式2-2：若向量 解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 变式2-3：已知向量，的夹角为45°，且，，则. 【答案】： 练习巩固 练习3：若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）. .30° B.60° C.120° D.150° 【答案】： 变式3：已知是非零向量，且满足，， 则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】： 练习巩固 练习4：已知，，且与不共线.当为何值时，向量与 互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是 即 因为， 所以 解得. 也就是说，当时，与互相垂直. 练习巩固 变式4：已知向量的夹角为60°，求当为何值时，与垂直？ 解：由已知得 若与垂直，则 即 ∴，即时，与垂直. 练习巩固 练习5：互相垂直，则（ ） 【答案】： 变式5：若在中，，，且，，则的形状是（ ） .正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 【答案】： 小结 向量的数量积 定义 投影与投影向量 当与同向时，；反向时， 性质 性质与运算律 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） $$