8.1 平方根 第二课时（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

算术平方根的概念 名称 定义 示例 表示方法 算术平方根 正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作的算术平方根。 ∵， ∴25的算术平方根是5 正数的算术平方根用来表示 规定：0的算术平方根是0，0的算术平方根也记为 注意： (1)算术平方根是它本身的数字有0和1. (2)具有双重非负性:①被开方数一定是非负数,即≥0;②其本身非负,即>0. (3)只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. (4)当被开方数为非负数时,被开方数越大，对应的算术平方根也越大 【基础练习】 【练习1-1】“a的算数平方根”表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：“a的算数平方根”表示为． 故选C． 【练习1-2】式子 表示的意义是（     ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．2 的平方根是 D．2的算术平方根是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考算术查平方根定义，涉及算术平方根定义及性质，由算术平方根定义及即可得到的意义，熟记算术平方根定义及性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据算术平方根定义及可知，式子 表示的意义是的算术平方根是2， 故选：B． 算术平方根的性质 （1）正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 （2）算术平方根具有双重非负性 （3）一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 （4）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即 注意：非负性的应用 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即若，则0 【基础练习】 【练习2-1】算术平方根等于它本身的数（   ） A．不存在 B．只有1个 C．有2个 D．有无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义可知算术平方根等于它本身的数有0和1． 【详解】解：算术平方根等于它本身的数有0和1， 故选：C． 【练习2-2】已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 估算能力是一种重要的数学运算能力,特别是对算术平方根的估算,通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根相比较。 【基础练习】 【练习3-1】估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， 故选：C． 【练习3-2】估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到2的大小即可． 【详解】解：∵，即56， ∴32＜4， 故选：C． 【典例】64的算术平方根是（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D． 【答案】B 【解析】 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8． 故选：B． 【变式1-1】81的算术平方根是（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】∵， ∴81的算术平方根为． 故选：A． 【变式1-2】的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根等于． 故选：C． 130的平方数 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 　 数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 　 数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 易错警示： （1）求带分数的算术平方根时,带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方，求带分数的算术平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方。 （2）求算术平方根时，被题目表面现象迷惑求算术平方根时,不要被表面现象所迷惑，如求的算术平方根时,需要先化简=9,再求9的算术平方根而不是求81的算术平方根. 方法技巧： （1）先找出哪一个正数的平方等于已知的数，然后用数学式子表示即可.根据平方求一个数的算术平方根体现了数学中的转化思想. （2）若求一个算式的算术平方根,一般是先求出算式的值,再求它的算术平方根,有时也可通过简单变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率. （3）防止出现=这样的错误 【典例】如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质和求代数式的值，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键； 本题根据非负数的性质，得到，，求解得到、的值； 再将它们的值代入中计算即可． 【详解】∵、满足， ∴，， ∴，． 把，代入． 故选：B． 【变式2-1】已知，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查非负性．根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，求出的值，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式2-2】已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：由题意可得： ，|b﹣4|＝0， ∴a＝9，b＝4， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 归纳总结：常见的三类具有非负性的式子 (≥0),,.如果几个非负数的和为0,那么这几个非负数都是0. 【典例】估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B 【变式3-1】若a是的算术平方根，b是的小数部分，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念和无理数的估算求出a，b即可． 【详解】解：∵a是的算术平方根， ∴a＝2， ∵，即， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 【答案】1 【解析】 【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴的整数部分为10，的整数部分为2， ∴a=   b= 代入得： =12018 =1 方法技巧：用夹逼法估算 (1)确定的整数部分:根据算术平方根的定义,若夹在两个连续正整数 , ( < )之间,则的整数部分是。 (2)估算的小数部分:从较小整数开始,逐步加0.1,并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数;再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止。 【典例】已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的算术平方根为． 【变式4-1】已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a﹣2b的平方根． 【答案】（1）a＝25，b＝﹣12（2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可． （2）根据平方根的意义，计算即可． 【详解】解：（1）∵正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10， ∴3x﹣2+5x+10＝0， ∴x＝﹣1， ∴3x﹣2＝﹣5， ∵（﹣5）2＝25， ∴a＝25， ∵a+b﹣4的算术平方根是3， ∴a+b﹣4＝32＝9， ∴25+b﹣4＝9， ∴b＝﹣12， ∴a＝25，b＝﹣12； （2）． 【变式4-2】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n+2的算术平方根是1． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【答案】（1）m＝25 n＝﹣1 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m，利用算术平方根即可求出n； （2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可． 【详解】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9， ∴2a﹣3+a﹣9＝0， 解得：a＝4， ∴2a﹣3＝5， ∴m＝25， ∵n+2的算术平方根是1 ∴n+2＝1 ∴n＝﹣1； （2）由（1）得m＝25，n＝﹣1， ∴m﹣11n＝25+11＝36， ∴m﹣11n的算术平方根为6． 【典例】一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可． 【详解】已知一个正方形的面积是， 则这个正方形的边长为， 这个正方形的边长是． 故选：A． 【变式5-1】如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ） A．11 B．10 C．6 D．5 【答案】D 【解析】 【详解】解：观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， 重叠部分也为正方形， ∵较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1， ∴较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1； ∴空白部分的长方形的较小边长为， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式5-2】如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 【典例】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 【变式6-1】已知：若1.910，6.042，则　 　． 【答案】604.2 【解析】 【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【详解】解：若1.910，6.042，则604.2， 故答案为：604.2． 【变式6-2】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得：如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 …… 0.2 2 20 200 …… 已知，，运用你发现的规律求 ． 【答案】453.9 【解析】 【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ∵， ∴， 故答案为：453.9． 1．“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】观察并分析题目从选项中找到4的算术平方根，选出正确选项即可． 【详解】解：4的算术平方根为， 故选：A． 2．下列说法：①；②，③是的平方根；④的算术平方根是；⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解：①.，则①不正确； ②，因此②不正确； ③是的一个平方根，因此③不正确； ④，则的算术平方根是，因此④正确； ⑤，负数没有平方根，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有④， 故选：A． 3．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．根据算术平方根和绝对值的非负性可求出，，再代入中求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选A． 4．的小数部分为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴， ∴的小数部分为﹣2， 故选：B． 5．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 6．十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和， ∴可得三个正方形的边长分别为，，， ∴最中间的小正方形的边长为， ∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为， ∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为， ∴大正方形中左下角的正方形的边长为， ∴大正方形中右下角的正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， 故选：C． 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 8．计算： ． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 9．已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键． 【解析】 【详解】解：， 又，， ，． ，． ． 故答案为：． 10．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 11．写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2，3（写一个即可） 【解析】 【分析】由，可直接进行求解． 【详解】解：，， 比大且比小的整数是：2，3． 故答案为：2，3（写一个即可）． 12．小明在单位长度为1的方格纸中画出两个小正方形并将其画出（如图1），再将这两个小正方形剪开开拼成一个大正方形（如图2），则大正方形的边长是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，利用割补法求出图1中两个正方形的面积，进而求出拼接成的大正方形面积，由此即可求出答案． 【详解】解：由题意得，图1中的两个正方形面积分别为， ∴图2中拼接成的大正方形面积为7， ∴大正方形的边长是， 故答案为；． 所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片. 13．已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 【答案】441或49 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可． 【详解】根据题意，得 解得或， ∴或， 则或， 所以这个数是441或49． 故答案为：441或49． 14．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是　　． 【答案】±1 【解析】 【分析】首先根据2a﹣1的平方根是±3，可得：2a﹣1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b﹣1的算术平方根是4，可得：3a+b﹣1＝16，据此求出b的值是多少，进而求出a﹣2b的平方根是多少即可． 【详解】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， 解得a＝5； ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴3a+b﹣1＝16， ∴3×5+b﹣1＝16， 解得b＝2， ∴a﹣2b＝5﹣2×2＝1， ∴a﹣2b的平方根是：±＝±1． 故答案为：±1． 15．在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 16．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)0.14 (3)1.7 (4) (5)2 (6)16 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是 ； （2）解：的算术平方根是0.14； （3）解：的算术平方根是1.7； （4）解：的算术平方根是； （5）解：∵， ∴的算术平方根是2； （6）解：的算术平方根是16． 17．已知的算术平方根是，的算术平方根是，求的算术平方根． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义分别求出a，b，然后可得的值，再根据算术平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 又∵的算术平方根是， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是4． 18．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【解析】 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 19．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【解析】 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 20．小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）解：正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 21．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【解析】 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 22．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 23．观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【解析】 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 24．根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是 　 　； （2）　 　； （3）　 　． （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论． 【答案】（1）±17.8（2）17.3（3）171（4）4（5）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （5）写出一条符合题意的结论即可． 【详解】解：∵（±17.8）2＝316.84， ∴316.84的平方根是±17.8； 故答案为：±17.8； （2）∵17.32≈299.3， ∴17.3． 故答案为：17.3； （3）∵1712＝29241， ∴171． 故答案为：171； （4）∵17.6，17.7， 又介于17.6与17.7之间， ∴n的可能值为310，311，312，313， ∴满足条件的整数n有4个． 故答案为：4； （5）观察表格中的数据，发现的结论：当x＞0时，随着x的增大，x2也随着增大．（答案不唯一）． 25．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“友好数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“友好数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)2，8，50这三个数是“友好数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”； (2)已知16，，36，这三个数是“友好数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求的值． 【答案】(1)是，最小算术平方根是4，最大算术平方根是20 (2)9或64 【解析】 【分析】（1）根据“友好数”的定义和算术平方根的定义即可求解． （2）根据“友好数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴2，8，50这三个数是“友好数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． （2）解：∵16，a，36,这三个数是“友好数”， ∴a是正整数，，，且，都是整数， ∵，， ∴分两种情况： ①当，即时，则最大算术平方根是24，最小算术平方根是， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ∴， 解得：，符合题设，且符合“友好数”的定义； ②当，即时，则最大算术平方根是，最小算术平方根是24， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ∴， 解得：，符合题设，且符合“友好数”的定义， 综上所述：a的值为9或64． 1（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 故选：A． 2（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选B． 3（2021•杭州·中考真题）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的性质可知答案． 【详解】解：A.，符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意， 故选：A． 4（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．（2024•德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 算术平方根的概念 名称 定义 示例 表示方法 算术平方根 正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作的算术平方根。 ∵， ∴25的算术平方根是5 正数的算术平方根用来表示 规定：0的算术平方根是0，0的算术平方根也记为 注意： (1)算术平方根是它本身的数字有0和1. (2)具有双重非负性:①被开方数一定是非负数,即≥0;②其本身非负,即>0. (3)只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. (4)当被开方数为非负数时,被开方数越大，对应的算术平方根也越大 【基础练习】 【练习1-1】“a的算数平方根”表示为（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】式子 表示的意义是（     ） A．的平方根是2 B．的算术平方根是2 C．2 的平方根是 D．2的算术平方根是 算术平方根的性质 （1）正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 （2）算术平方根具有双重非负性 （3）一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 （4）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即 注意：非负性的应用 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即若，则0 【基础练习】 【练习2-1】算术平方根等于它本身的数（   ） A．不存在 B．只有1个 C．有2个 D．有无数个 【练习2-2】已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 估算能力是一种重要的数学运算能力,特别是对算术平方根的估算,通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根相比较。 【基础练习】 【练习3-1】估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【练习3-2】估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【典例】64的算术平方根是（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D． 【变式1-1】81的算术平方根是（    ） A．9 B． C．3 D． 【变式1-2】的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 130的平方数 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 　 数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 　 数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 易错警示： （1）求带分数的算术平方根时,带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方，求带分数的算术平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方。 （2）求算术平方根时，被题目表面现象迷惑求算术平方根时,不要被表面现象所迷惑，如求的算术平方根时,需要先化简=9,再求9的算术平方根而不是求81的算术平方根. 方法技巧： （1）先找出哪一个正数的平方等于已知的数，然后用数学式子表示即可.根据平方求一个数的算术平方根体现了数学中的转化思想. （2）若求一个算式的算术平方根,一般是先求出算式的值,再求它的算术平方根,有时也可通过简单变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率. （3）防止出现=这样的错误 【典例】如果 ，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-1】已知，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式2-2】已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 归纳总结：常见的三类具有非负性的式子 (≥0),,.如果几个非负数的和为0,那么这几个非负数都是0. 【典例】估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【变式3-1】若a是的算术平方根，b是的小数部分，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 【变式3-2】的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 方法技巧：用夹逼法估算 (1)确定的整数部分:根据算术平方根的定义,若夹在两个连续正整数 , ( < )之间,则的整数部分是。 (2)估算的小数部分:从较小整数开始,逐步加0.1,并求其平方，采用与(1)类似的方法确定的十分位上的数;再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止。 【典例】已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【变式4-1】已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a﹣2b的平方根． 【变式4-2】如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n+2的算术平方根是1． （1）求m和n的值． （2）求m﹣11n的算术平方根． 【典例】一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【变式5-1】如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ） A．11 B．10 C．6 D．5 【变式5-2】如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【典例】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知：若1.910，6.042，则　 　． 【变式6-2】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得：如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 …… 0.2 2 20 200 …… 已知，，运用你发现的规律求 ． 1．“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 2．下列说法：①；②，③是的平方根；④的算术平方根是；⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 4．的小数部分为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．计算： ． 9．已知实数满足，则 ． 10．已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 11．写出一个比大且比小的整数是 ． 12．小明在单位长度为1的方格纸中画出两个小正方形并将其画出（如图1），再将这两个小正方形剪开开拼成一个大正方形（如图2），则大正方形的边长是 ． 13．已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 14．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是　　． 15．在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 16．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．已知的算术平方根是，的算术平方根是，求的算术平方根． 18．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 19．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 20．小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 21．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 22．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 23．观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 24．根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是 　 　； （2）　 　； （3）　 　． （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论． 25．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“友好数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“友好数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)2，8，50这三个数是“友好数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”； (2)已知16，，36，这三个数是“友好数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求的值． 1．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 3．（2021•杭州·中考真题）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 4．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 5．（2024•德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$