第十七章 勾股定理（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 2．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．定理一定有逆定理 D．命题一定有逆命题 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，任何命题都有逆命题，正确理解逆命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误； B、原命题是假命题，它的逆命题不一定也是假命题，故本选项错误； C、定理一定有逆命题，故本选项错误； D、命题一定有逆命题，正确，故本选项正确； 故选：D． 3．（本题3分）如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【详解】设原直角三角形的三边长分别是，且， 则扩大后的三角形的斜边长为， 即斜边长扩大到原来的2倍， 故选B. 4．（本题3分）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的作图和性质、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得：，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是， 故选：B． 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：A.到原点的距离为，不符合题意； B.到原点的距离为，不符合题意； C.到原点的距离为，符合题意； D.到原点的距离为，不符合题意； 故选：C． 6．（本题3分）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可． 【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15， 以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17， ∴字母A所代表的正方形的边长， 故选：B． 8．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 9．（本题3分）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选C． 10．（本题3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 【答案】C 【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵或或 ∴7不是广义勾股数，即①正确； ∵ ∴13是广义勾股数，即②正确； ∵，，不是广义勾股数 ∴③错误； 设 则 当ad=bc或ac=bd时,两个广义勾股数的积不—定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误； 故①②正确 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 12．（本题3分）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 【答案】由勾股定理得AB=6，所以地毯花费为：（6+8）×2.5×40=1400元 13．（本题3分）若△ABC的三边长为，，，且满足，则△ABC的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】将进行化简，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴△ABC的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，平方差公式的计算，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是本题的关键． 14．（本题3分）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 15．（本题3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 16．（本题3分）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长． 【答案】53 【分析】由BC=20、CD=16、BD=12由勾股定理逆定理易证∠BDC=90°，再设AD=x，则AC=AB=AD+BD=12+x，在Rt△ACD中由勾股定理建立方程，解出x的值，即可求得△ABC的周长了. 【详解】解：设AD=xcm , ∵BD2+CD2=122+162=400，BC2=202=400， ∴BD2+CD2=BC2 ， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠BDC=90°，∠ADC=90°， ∴在 Rt△ACD中：AD2+CD2 =AC2 ， ∴x2+162=(x+12)2，解得：x= ∴AB=AC=12+= ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++20=. 【点睛】本题解题的要点是由“BC=20、CD=16、BD=12”利用勾股定理的逆定理证得∠BDC=90°，从而得到∠ADC=90°，这样结合AB=AC即可由勾股定理建立方程使问题得到解决. 18．（本题4分）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 19．（本题6分）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 20．（本题6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为16.6米； （2）解：由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线7米． 21．（本题8分）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 22．（本题10分）如图，在中，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论． （1）由勾股定理求解即可； （2）①由题意得：，分两种情况：①当时，点P与点C重合，则，得； ②当时，，在和中，由勾股定理得：，求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理， 得， ； （2）解：由题意，得，分以下两种情况： ①如图，当时，点与点重合， 即， ； ②如图，当时，， ， 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述：当为直角三角形时，的值为4或． 23．（本题10分）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3）是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中的点以及网格问题，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据A，B两点坐标确立平面直角坐标系即可； （2）先确定三点位置，再顺次连接即可； （3）分别计算出、和，由勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：（１）如图，即为所求作的平面直角坐标系，点C的坐标为； （2）如图，即为所作； （3）∵、和， 又，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 24．（本题12分）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据，可得出结论． 【详解】证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则． ， ， ， ． 25．（本题12分）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C．定理一定有逆定理 D．命题一定有逆命题 3．（本题3分）如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 4．（本题3分）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 8．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 9．（本题3分）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（本题3分）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 12．（本题3分）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 13．（本题3分）若△ABC的三边长为，，，且满足，则△ABC的形状是 ． 14．（本题3分）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 15．（本题3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 16．（本题3分）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长． 18．（本题4分）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 19．（本题6分）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 20．（本题6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 21．（本题8分）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 22．（本题10分）如图，在中，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 23．（本题10分）（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 24．（本题12分）［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 25．（本题12分）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$