第十八章 平行四边形（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 2．（本题3分）在中（如图），连接，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠DCA+∠ACB，， ∴40º+80º=120º， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用． 3．（本题3分）下列命题，其中是真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（本题3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质，先求出斜边的长度，然后利用面积公式，即可得到答案． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边的长度为：， ∴它的面积：； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的中线的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，正确求出斜边的长度． 5．（本题3分）如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．先利用三角形中位线定理证出四边形是平行四边形，再对选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别是四边形的边的中点， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形； A、若，则，四边形为菱形，故此选项说法错误，不符合题意； B、若，则，四边形为矩形，故此选项说法错误，不符合题意； C、四边形一定是平行四边形，但与不一定互相平分，故此选项说法错误，不符合题意； D、若四边形是正方形，则，，从而有，且，即与互相垂直且相等，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 6．（本题3分）延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是(　　)    A．长度不变，为 B．长度变小，减少 C．长度变大，增大 D．面积变小，减少 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，菱形的性质分别求得面积，，的长度，然后逐项分析判断即可求解． 【详解】连接，，    四边形是正方形， ，，，， ，正方形面积， ， 在菱形中，连接，，过作于点， ，，， ， 是等边三角形， ，，， 菱形面积， 故选项A不符合题意； ， 故选项B不符合题意； ， 故选项C不符合题意； 故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与菱形的性质是解题的关键． 7．（本题3分）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 8．（本题3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案． 【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE＝2， ∴BC的长度是：4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键． 9．（本题3分）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数． 【详解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°， ∵， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE=∠OAF， ∵OE=OF，∠EOF=90°， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∵， ∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°， ∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 10．（本题3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可） 【分析】由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OA=OC，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OB=OD，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可） 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键． 12．（本题3分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，O为AC中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 13．（本题3分）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为 cm． 【答案】8 【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可． 【详解】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4cm， ，，AO=OC=AC=2cm cm， cm， cm， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键． 14．（本题3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 ．    【答案】3 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，且∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=3， ∵四边形ACEF是正方形， ∴AC=EF=3 故答案为3 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 15．（本题3分）如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则 秒后四边形成为一个平行四边形． 【答案】2 【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解． 【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形， 则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t， ∵AD∥BC， ∴AP∥BQ， 当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t=6-2t， ∴t=2， 当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合． 综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 16．（本题3分）如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】证明见解析. 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】解：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 18．（本题4分）如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．                          【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．本题的关键是要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 又， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 19．（本题6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P． （1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC； （2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）30°． 【分析】由三角形的内角和可求出∠ECB＝35°，根据角平分线的定义可求∠ACB＝70°，进而可求出∠BAC＝70°，从而结论可证； （2）由AP是△AEC边EC上的中线可知AP＝PC，从而∠PAC＝∠PCA，由CE是∠ACB的平分线，可证∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，从而可求出∠PAC的度数，然后求出∠BAD＝60°，继而可求出∠B的值. 【详解】（1）证明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°， ∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCE＝70°， ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC． （2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC边EC上的中线， ∴AP＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点.熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 20．（本题6分）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 21．（本题8分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG；        （2）求BG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形全等； （2）根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据勾股定理得出x的值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AD=AB， 由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF，    ∴∠AFG=∠B，   又AG=AG， ∴△ABG≌△AFG； （2）、∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG=，则GC=， ∵E为CD的中点， ∴CE=EF=DE=3， ∴EG=， ∴， 解得， ∴BG=2． 22．（本题10分）如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN. （1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论； （2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长. 【答案】（1）△PMN为等腰直角三角形. 见详解  （2）13＋ 【分析】（1）由等腰Rt△ABC和△CDE证得△BCE≌△ACD，由M，N，P分别为AB，DE，BD的中点，得PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD，证得△PMN为等腰三角形，再由∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°，所以∠BPM＋∠EBP＝90°，所以∠BFP＝90°，再根据平行的性质即可求解； （2）因为Rt△ACD，所以根据勾股定理求得AD，再因为PM＝AD，求得PM＝PN＝，再根据求得的△PMN为等腰直角三角形，勾股定理求得MN，最后相加即可求解． 【详解】（1）解：△PMN为等腰直角三角形；理由如下： 在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ECD中，AC＝BC，CD＝CE，易得△BCE≌△ACD； ∴BE＝AD，∠CBE＝∠DAC； 又∵M，N，P分别为AB，DE，BD的中点， ∴PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD， 又∵BE＝AD， ∴PM＝PN， 又∵PM∥AD， ∴∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°， ∴∠BPM＋∠EBP＝90°， ∴∠BFP＝90°， 又∵BE∥PN， ∴∠FPN＝90°， ∴△PMN为等腰直角三角形； （2）在Rt△ACD中，CD＝5，AC＝12，由勾股定理得：AD＝13， ∴PM＝PN＝，MN＝， ∴＋＋＝13＋． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和勾股定理，数形结合思想是解题的关键． 23．（本题10分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形EFGH的面积= ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形； （2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BGAB=3，AG=3CE，BFBC=2，CF=2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积． 【详解】（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC． ∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形； （2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°． ∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE． ∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24．（本题12分）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5) (1)若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是 ． (2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由． (3)若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，分没相遇前，和相遇后，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF=HE，利用内错角相等得GFHE，根据平行四边形的判定可得结论； （2）如图1，连接GH，分没相遇前，和相遇后，两种情况，列方程计算即可； （3）连接AG．CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG=CG，根据勾股定理求出BG，得到AB+BG的长，根据题意解答． 【详解】（1）解：在矩形ABCD中：AB=CD，ABCD，ADBC，∠B=90°， ∴∠BAC=∠DCA， ∵AB=6cm，BC=8cm， ∴AC=10cm， ∵G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG=AB，CH=CD， ∴AG=CH， ∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts， ∴AE=CF， 如图，当没相遇前， ∵AE=CF， ∴AF=CE， ∵∠BAC=∠DCA，AG=CH， ∴△AGF≌△CHE， ∴GF=HE，∠AFG=∠CEH， ∴GFHE， ∴四边形是平行四边形； 如图，当相遇后， ∵AE=CF， ∴AF=CE， ∵∠BAC=∠DCA，AG=CH， ∴△AGF≌△CHE， ∴GF=HE，∠AFG=∠CEH， ∴∠EFG=∠FEH， ∴GFHE， ∴四边形是平行四边形； 综上所述：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形， ∵G、H分别是AB，DC的中点， ∴GH=BC=8cm， ∴当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形， ∴如图，当没相遇前， ∵AE=CF=2t，则EF=10-4t=8， 解得：t=0.5， 如图，当相遇后， ∵AE=CF=2t， ∴EF=2t+2t-10=8， 解得：t=4.5， 综上所述：当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形； （3）如图2，连接AG、CH， ∵四边形GEHF是菱形， ∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF， ∵AF=CE， ∴OA=OC， ∴四边形AGCH是菱形， ∴AG=CG， 设AG=CG=x，则BG=8-x， 由勾股定理得：， 即， 解得：x=， ∴BG=8-=， ∴AB+BG=6+=， t=÷2=， 即t为秒时，四边形EGFH是菱形． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理．菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 25．（本题12分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”. (1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标； (2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t. ①不管t为何值，E点总是“完美点”； ②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由. 【答案】(1)A(2，2)；(2)①证明见解析；②当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8. 【分析】（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积． 【详解】解(1)∵点A(x，y)是“完美点” ∴x=y ∵x+y=4 ∴x=2，y=2 ∴A点坐标(2，2) (2)①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)， ∴AO=AB=BC=4∴B(4，4) 设直线OB解析式y=kx过B点 ∴4=4k，k=1 ∴直线OB解析式y=x 设点E坐标(x，y) ∵点E在直线OB上移动 ∴x=y ∴不管t为何值，E点总是“完美点”. ②∵E点总是“完美点”. ∴EQ=OQ ∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴 ∴四边形AOQP是矩形 ∴AP=OQ，AO=PQ=4 ∴AP=EQ ∵AE⊥EF ∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90° ∴∠FEQ=∠EAP ∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90° ∴△APE≌△EFQ ∴PE=FQ ∵S四边形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8 ∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8. 【点睛】本题考查四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，本题关键是灵活运用这些性质解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A．B．C． D． 2．（本题3分）在中（如图），连接，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列命题，其中是真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 4．（本题3分）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 6．（本题3分）延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是(　　)    A．长度不变，为 B．长度变小，减少 C．长度变大，增大 D．面积变小，减少 7．（本题3分）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．（本题3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（本题3分）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（    ） A．50° B．55° C．65° D．70° 10．（本题3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 12．（本题3分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ． 13．（本题3分）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为 cm． 14．（本题3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 ．    15．（本题3分）如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则 秒后四边形成为一个平行四边形． 16．（本题3分）如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 18．（本题4分）如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．                          19．（本题6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P． （1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC； （2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数． 20．（本题6分）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 21．（本题8分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG；        （2）求BG的长． 22．（本题10分）如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN. （1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论； （2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长. 23．（本题10分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积． 24．（本题12分）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5) (1)若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是 ． (2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由． (3)若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 25．（本题12分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”. (1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标； (2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t. ①不管t为何值，E点总是“完美点”； ②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$