1.4角平分线（1）教学设计2024－2025学年北师大版数学八年级下册

八年级下册分课时教学设计 《三角形的证明》第9课时(1.4角平分线1)教学设计 课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《角平分线(1)》是北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》的第四节第一课时,本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上,进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论。在本章的前几节课,学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程,因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。同时也体会到了证明的必要性,掌握了推理证明的基本要求和方法,能够用数学的符号语言正确表达定理或命题,明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时,也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用。 在上一课时中,学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理及应用。本节课的主要任务是证明角的平分线性质定理和判断定理为第二课时探究“三角形三个内角的平分线相交于一点,并且这一点到三角形三边的距离都相等” 作准备。这一结论,就是九年级下册第三章《圆》中,三角形内切圆圆心的确定方法,为以后九年级的学习奠定了理论基础。 学习者分析 1、学生已经在七年级学习了角平线的定义,并且经过折纸初步用操作的方法验证了角平分线的性质,部分同学在信息技术课利用几何画板制作了角平分线上点到角两边距离的动态演示图,获得了直观、真实、生动的体验。同时前两节课学生学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图,这些都为本节课打下了知识基础。 2、八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力,有着一定的学习经验及活动经验,形成了较好的参与和合作意识,能够在教师引导下进行合作探究;并且通过对上两节线段垂直平分线内容的学习,学生已经积累了如何证明一个命题的经验,并掌握了必要的证明方法。 3、学生在证明角平分线性质定理和判断定理时不能完整、准确地写出已知和求证;学生在书角平分线性质定理和判断定理的证明过程时不能完整、准确地写出三角形全等的条件;学生在证明完角平分性质定理和判断定理后解决实际问题时仍然写出三角形全等的过程,忘记可以直接使用;针对这三方面的问题,教学时,教师应循序渐进地引导学生熟练掌握。 教学目标 1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理. 2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理. 3.经过练习拓展,能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题, 体会转化的思想. 教学重点 正确证明角平分线性质定理及判定定理. 教学难点 正确证明角平分线性质定理及判定定理. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一:知识再现; 教师活动1: 1、 拿出课前准备的纸,在纸上任意画出一个角。A O B C 折痕OC和∠AOB有什么关系? 折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。 折痕OC叫做∠AOB的角平分线。 2、 你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理 性质定理:角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等. 判定定理:在一个角的内部,到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上 学生活动1: 准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部,为准确表述角平分线性质定理的逆命题作准备. 活动意图说明: 直观感受,角平分线是一条从角的顶点引出的射线且位于角的内部.初步感知角平分线的性质定理和判断定理 环节二:探究新知 教师活动2: 1、 探究角平分线的性质定理 已知:如图 ,OC 是∠AOB 的平分线,点 P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为 D,E. 求证:PD=PE. 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E, ∴ ∠PDO=∠PEO=90 . ∵ ∠1=∠2,OP=OP, ∴ PDO≌ PEO(AAS). ∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等). 小结:角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言 ∵ OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E ∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 2、 探究角平分线的判断定理 你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗?并证明逆命题是否为真命题 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知:如图 ,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE. 求证:OP 平分∠AOB. 证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E, ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 . ∵ PD = PE,OP = OP, ∴ Rt DOP≌Rt EOP(HL). ∴ ∠1 =∠2(全等三角形的对应角相等). ∴ OP 平分 ∠AOB. 小结:角平分线的判定 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=∠BOC). 角平分线的判定所具备的条件: (1)位置关系:点在角的内部;(2)数量关系:该点到角两边的距离相等. 学生活动2: 1学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程. 2、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了. 活动意图说明: 本探究活动目的是老师大胆放手给学生以更多的交流空间,进一体现学生的主体地位和老师的主导作用.对于学生来说,有一定的困难,需要教师进行点拨.该环节设置的目的在于让学生巩固基础的同时,增强运用知识的灵活性,帮助学生对新知识进行内化. 环节三:典例分析 教师活动3: 例题1:在 ABC 中,∠ BAC = 60 ,点 D 在 BC 上,AD = 10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,且 DE = DF,求 DE 的长. 解法1: ∵DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,垂足分别为E, F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC(在一个角的内部,到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵ ∠BAC=60 , ∴ ∠BAD=30 . 在Rt ADE中, ∠AED=90 ,AD=10, ∴AD= 2 ED= DE=10 2=5(在直角三角形中, 如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角 边等于斜边的一半). 解法2:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EDA=∠DFA=90 在Rt ADE与Rt ADF中 AD=AD DE=DF ∴Rt ADE≌Rt ADF 在Rt ADE中,∠AED=90 ,AD=10 DE=AD=5 (在直角三角形中30 所对的直角边等于斜边的一半。 例题2:如图,在 ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F. (1)求证:DE=DF; (2)若∠BDE=40 ,求∠BAC的度数. 证明:(1)连接AD. ∵∠B=∠C,∴AB=AC. ∵D是BC的中点,∴AD平分∠BAC. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. 解:(2)∵∠BDE=40 ,∠BED=90 , ∴∠B=50 . ∴∠C=50 . ∴∠BAC=80 . 例题3:.如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,连接BE,求证:BE平分∠ABC 证明: ∵DE是AB的垂直平分线 ∴BE=AE ∴ ∠EBD= ∠ A= 30 ∵∠C=90 ,∠A=30 ∴∠ABC=60 ∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD =60 -30 =30 ∴∠CBE=∠EBD ∴BE平分∠ABC 学生活动3: 1、关注学生能否积极参与练习. 2、关注学生对基础知识的掌握情况. 3、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐. 活动意图说明: 该环节设置的目的在于检验目标达成度、反馈学情.使更多的学生参与到学习中来,感受到成功的快乐. 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题: 1.如图,在 ABC中,∠C=90 ,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6 cm,则 DBE的周长是( )A A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 2.如图,在 ABC中,∠ABC=50 ,∠ACB=60 ,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.下列结论不正确的是( )B A.∠BAC=70 B.∠DOC=90 C.∠BDC=35 D.∠DAC=55 第1题 第2题 第3题 3.如图,已知AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE与CF相交于点D.下列结论: ① ABE≌ ACF;② BDF≌ CDE;③点D在∠BAC的平分线上. 其中正确的是( )A A.①②③ B.②③ C.①③ D.① 4.【中考 怀化】如图,在Rt ABC中,∠B=90 ,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为( )A A.3 B. C.2 D.6 第4题 第5题 第6题 5.【中考 湖州】如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90 ,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )B A.24 B.30 C.36 D.42 C 选做题: 7.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠B=90 ,点E为AB的中点,DE平分∠ADC. (1)求证:CE平分∠BCD; (2)求证:AD+BC=CD. (1)证明:如图,作EM⊥CD垂足为M, ∵ED平分∠ADM,EA⊥AD,EM⊥CD, ∴AE=EM, ∵AE=EB, ∴EM=EB, ∵EB⊥BC,EM⊥CD, ∴EC平分∠BCD. (2)证明:由(1)可知:AE=EM=EB, 在Rt DEA和Rt DEM中, , ∴Rt DEA≌Rt DEM(HL), ∴DA=DM, 同理可证:Rt BEC≌Rt BMC(HL), ∴CB=CM, ∴CD=DM+MC=AD+BC. 【综合拓展类作业】 8.已知:如图,是的角平分线. 求证:. 证明:如图,过点D作DE⊥AB于点E, ∵AD平分,DE⊥AB,, ∴DE=DC, ∵在直角三角形BED中,, ∴, ∴. 9.如图,在 ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE//AB,交BC于点E,PF//AC,交BC于点F.求证:点D到PE和PF的距离相等. 证明:∵PE∥AB,PF∥AC, ∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD, ∵ ABC中,AD是它的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EPD=∠DPF, 即PD平分∠EPF, ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题: 1. 如图,在 ABC中,BC=10,CD是∠ACB的平分线.若P,Q分别是CD和AC上的动点,且 ABC的面积为24,则PA+PQ的最小值是( C ) A. B.4 C. D.5 2.如图,∠BAC=30 ,AD平分∠BAC,DF⊥AB交AB于F,DE⊥DF交AC于E,若AE=8,则DF等于( B ) A.5 B.4 C.3 D.2 第1题 第2题 3.如图,已知的周长是22,PB、PC分别平分和,于D,且,的面积是【33】. 4.如图,在中,,平分,,点到的距离为5.6,则【16.8】. 5.如图,在中,是边上的高,平分,交于点E,且EFBC,垂足为点F,,则EF的值为【4】. 第3题 第4题 第5题 选做题: 6.如图,在 ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F. (1)求证:DE=DF; (2)若AB=5,BC=8,求DE的长. (1)证明:如图,连接AD, ∵∠B=∠C, ∴AB=AC, ∵D是BC的中点, ∴AD平分∠BAC, ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF; (2)解:∵AB=AC, ∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC,BD=CD=BC=4, ∴AD===3, ∴S ABD=AB•DE=BD•AD, ∴5DE=4 3, ∴DE=. 【综合拓展类作业】 7.如图,在中,. (1)过点作的平分线交于点(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不用写作法和证明); (2)若,,求的面积. 解:(1)∠ABC的平分线如图所示. (2)作DH⊥AB于H. ∵BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, ∴CD=DH=3, ∴ ABC的面积=S BCD+S ABD=BC•CD+AB•DH = 3BC+ 3AB= 3(BC+AB) = 3 16=24. 8.如图所示,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N. 求证: 解:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, 在 ABD和 CBD中, , ∴ ABD≌ CBD(SAS), ∴∠ADB=∠CDB, ∴BD平分∠ADC, ∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN. 教学反思 学科网(北京)股份有限公司 $$