专题2.4 一元一次不等式（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.4 一元一次不等式（专项练习）（培优练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则式中的n可能表示的不同自然数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24八年级上·全国·开学考试）缤纷节临近，小西在准备爱心易物活动中发现班级同学捐赠的一个布偶的成本为元，定价为元，为使得利润率不低于，在实际售卖时，该布偶最多可以打（　　）折． A．8 B．7 C． D． 6．（21-22八年级下·河南周口·期末）已知等腰三角形的周长是8，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·海南·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 10．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）若定义一种新运算例如：；，下列说法： ①； ②若，则或； ③若，则或 ④与直线（m为常数）有2个交点，则． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集是 ． 12．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）是最小的正整数，是最小的非负数，表示不小于且小于3的整数的个数，则 ． 14．（23-24七年级下·广东中山·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是互不相等的正整数，它们的和等于159．若其中最小，则的最大值为 ． 17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是 ． 18．（22-23八年级·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直线上的一个动点，，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1） （2） 20．（本小题满分8分）（22-23七年级下·四川内江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，求出整数m的值． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点和点． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的取值范围； （3）已知，为轴上一点．当为直角三角形时，求点的坐标． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． （1）问至少购买种笔记本多少本？ （2）当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 23．（本小题满分10分）（23-24七年级下·吉林白城·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． （1）如图①，当轴时，的长为 ； （2）如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： （3）在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2024·宁夏银川·三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ ［情境引入］ 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元． ［迁移类比］ （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． ［拓展探究］ （3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B D B B D D 1．D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式的解集为，即可求解． 解：， 解得， ∴n可能表示的不同自然数5个， 故选：B． 4．C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 5．B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设在实际售卖时，该布偶可以打x折，根据利润等于售价减去成本，结合利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 解：设在实际售卖时，该布偶可以打x折， 依题意得：， 解得：． 即在实际售卖时，该布偶最多可以打7折． 故选：B． 6．D 【分析】根据三角形的周长公式可得，从而可得，再根据三角形的三边关系定理和确定的取值范围，由此即可得． 解：由题意得：，即， 由三角形的三边关系得：，即， 解得， 又， ， 解得， 则与之间的函数关系为， 当时，；当时，， 所以与之间的函数关系的图象是在内的一条线段（不含两端点）， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数的图象、三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义，正确求出的取值范围是解题关键． 7．B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，由方程组可得，进而得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：， ①＋②，得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键． 解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 10．D 【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合一次函数的性质可判断④正确，即可． 解：①，故①正确； ②若，即， 则， 解得：，不符合题意，应舍去； 若，即， 则， 解得：，不符合题意，应舍去，故②错误； ③若，即， 此时， 解得：， 若，即， 此时， 解得：， ∴， ∴若，则或，故③错误； ④若，即， 此时， 此时与直线（m为常数）不可能有2个交点； 若，即， 此时， 此时与直线（m为常数）不可能有2个交点 综上所述，正确的个数有1个． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，一次函数的图象和性质，理解新运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，将系数化为．据此解答即可．也考查了分母有理化． 解：移项，得：， 合并同类项，得：， 将系数化为，得：，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元一次不等式，根据题意可得，，再分别解不等式即可求解． 解：∵是不等式的解， ∴把代入得，， 解得， 又∵不是这个不等式的解， 把代入得，， 解得， ∴实数 a 的取值范围是， 故答案为：． 13．8 【分析】本题考查了有理数的分类、不等式的整数解、有理数的混合运算等知识点，求出a、b、m的值是解题的关键． 先根据有理数和不等式求出a、b、m的值，然后再代入计算即可． 解：∵a是最小的正整数，b是最小的非负数，不小于且小于3的整数有共7个， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．< 【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合． 设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有，即可求解． 解：设环形道的周长为x， 因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有， 所以， 即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数． 故答案为：<． 15． 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 16．19 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用， 根据最小，表示出其它6个数，再根据和等于159得出不等式，然后求出解集，可得答案． 解：设， 则． 将上述各式相加，得， 解得， 所以的最大值为19． 故答案为：19． 17． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键． 根据，判断出时，，得到y随x的增大而减小，从而得出，即得， 解：∵、是一次函数图象上的不同两个点，且，， ∴， ∴与异号， ∴当时，，或当，则 ∴时，，或， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 18． 【分析】依据一次函数的图像特征画出草图，记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度，设，联立直线 与，并根据求得点的坐标，进而求出，再利用勾股定理即可求解． 解：由题意，画出草图，如图所示： 记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度， 设，联立直线 与可得， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即点的横坐标小于等于2， 的值最小， 就要使点离直线最近， ， ， ， 直线的表达式为：， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据题意画出草图，并找出点关于直线的对称点是解决本题的关键． 19．（1），数轴表示见分析；（2），数轴表示见分析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 解：（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 20．（1）；（2）， 【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的计算方法是解题的关键． （1）根据题意计算得出，根据x为非正数，y为负数即可计算出m的取值范围； （2）根据题意求出，即可得出整数m的值． 解：（1）解：解方程组得：． ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 又， 的取值范围是， 又是整数， 的值为，． 21．（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）将点和点分别代入即可求解； （2）解一元一次不等式即可； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合两点之间距离公式建立方程求解． 解：（1）解：将代入得， ， 将代入， ； （2）解：由题意得， ． （3）解：当时，，设点的坐标为 ①当，，如图： ②当，，如图： ，解得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特征，解一元一次不等式，勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．（1）本；（2）当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出总费用与购买种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值． 解：（1）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 由题意可得，解得． 答：至少购买种笔记本8本． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 设购买，两种笔记本的总费用为元， ， ， 的值随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值是， ， 答：当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元． 23．（1）3；（2）9；（3）或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质、不等式的解法；熟练掌握坐标图形性质，分类讨论是解题的关键． （1）由，即可得出的长； （2）由题意可得，由面积公式即可得出结果； （3）分两种情况：当时及当时，进行讨论求解即可． 解：（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 24．（1）②；（2）种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元；（3）至多购买种品牌足球31个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、由实际问题抽象出一元一次方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据所列方程，找出例题中被覆盖的条件；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由种品牌足球的单价为元，可得出表示种品牌足球的单价，进而可得出例题中被覆盖的条件； （2）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“购买种品牌的足球25个，种品牌的足球50个，共花费4500元；种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购球个种品牌足球，则购买个种品牌足球，利用总价单价数量，结合总价不超过3500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 解：（1）∵种品牌足球的单价为元， ∴表示种品牌足球的单价， ∴例题中被覆盖的条件是：种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． 故答案为：②； （2）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元； （3）设购买个种品牌足球，则购买个种品牌足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为31． 答：至多购球种品牌足球31个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$