专题2.2 一元一次不等式（2大知识点4大考点10类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2 一元一次不等式（2大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 【要点提示】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 【知识点2】一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 【要点提示】 （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【要点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 在数轴上表示不等式的解集 【考点一】夯实基本概念 【题型1】一元一次不等式的定义.................................................2 【考点二】运算娴熟精通 【题型2】求一元一次不等式的解集...............................................3 【题型3】求一元一次不等式的整数解.............................................3 【题型4】求一元一次不等式解的最值.............................................3 【题型5】在数轴上表示不等式的解集.............................................3 【考点三】运用与深化 【题型6】列一元一次不等式.....................................................4 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题.........................................4 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题.........................................5 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型9】直通中考.............................................................6 【题型10】拓展延伸............................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】一元一次不等式的定义 【例1】（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【考点二】运算娴熟精通 【题型2】求一元一次不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： （1） （2） 【题型3】求一元一次不等式的整数解 【例3】（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【题型4】求一元一次不等式解的最值 【例4】 【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【题型5】在数轴上表示不等式的解集 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【变式1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）关于的不等式的解集如图所示，则 ． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．   （1）求a的值． （2）若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【考点三】一元一次不等式的运用 【题型6】列一元一次不等式 【例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）某公交公司年初用120万元购进一批新车，在投入运输后，估计每年的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元．若设这批新车x年后开始盈利（盈利即指总收入减去购车费及所有支出费用之差为正值）． （1）怎样用不等式表示题中的数量关系？ （2）问：3年后该公交公司能盈利吗？ 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题 【例7】（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本家中词典和3本乙种词典共需290元． （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 【例8】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 第二部分【直通中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【题型10】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为元/件，甲超市一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折售卖；乙超市全部按标价的折售卖． （1）若该单位需要购买件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为______元；乙超市的购物金额为_______元； （2）假如你是该单位采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元一次不等式（2大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 【要点提示】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 【知识点2】一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 【要点提示】 （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【要点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 在数轴上表示不等式的解集 【考点一】夯实基本概念 【题型1】一元一次不等式的定义.................................................2 【考点二】运算娴熟精通 【题型2】求一元一次不等式的解集...............................................3 【题型3】求一元一次不等式的整数解.............................................5 【题型4】求一元一次不等式解的最值.............................................6 【题型5】在数轴上表示不等式的解集.............................................7 【考点三】运用与深化 【题型6】列一元一次不等式.....................................................9 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题........................................10 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题........................................12 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型9】直通中考............................................................14 【题型10】拓展延伸...........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】一元一次不等式的定义 【例1】（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 解：依题意得，且， ． 【点拨】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 解：、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意； 、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意； 故选：． 【点拨】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 【考点二】运算娴熟精通 【题型2】求一元一次不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】；图见分析 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 数轴表示解集如图： ． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【题型3】求一元一次不等式的整数解 【例3】（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 解： ， ∴不等式的非负整数解为． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 【题型4】求一元一次不等式解的最值 【例4】 【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 解：当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点拨】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】在数轴上表示不等式的解集 【例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查的是按一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 解：（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图①． 图① （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 不等式的解集为． 将解集表示在数轴上如图②． ； 【变式1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）关于的不等式的解集如图所示，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据数轴得出，求出，再求出答案即可． 解：解不等式得：， 根据数轴可知：， 所以， 解得：． 故答案为：2． 【变式2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．   （1）求a的值． （2）若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 解：（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点拨】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 【考点三】一元一次不等式的运用 【题型6】列一元一次不等式 【例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）某公交公司年初用120万元购进一批新车，在投入运输后，估计每年的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元．若设这批新车x年后开始盈利（盈利即指总收入减去购车费及所有支出费用之差为正值）． （1）怎样用不等式表示题中的数量关系？ （2）问：3年后该公交公司能盈利吗？ 【答案】（1）；（2）3年后该公交公司还没有盈利 【分析】本题主要考查了列不等式，不等式得应用： （1）x年后的总收入为万元，总投入为万元，再根据盈利即指总收入减去购车费及所有支出费用之差为正值列出不等式即可； （2）求出当时的值即可得到结论． 解：（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， ∴3年后该公交公司还没有盈利． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据雪糕的费用和矿泉水的费用之和不超过40元列出不等式即可． 解：由题意得，， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据“六年后，小颖的年龄还不到妈妈的年龄的一半”列出不等式即可． 解：由题意知，六年后，小颖的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据不等关系得：； 故答案为：． 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题 【例7】（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本家中词典和3本乙种词典共需290元． （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． （2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典10本 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：（1）解：设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 由题意得， 解得， 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元； （2）解：设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典本， 根据题意，得， 解得， 答：学校最多可购买甲种词典10本． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键． 解：由不等式可得：将一包糖果分给学生，若每人分4个，则还剩7个，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个． ∴横线的信息是每人分4个，则还剩7个， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答． 由“”根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值． 解：设橙子每千克的售价至少为元， 依题意得： 解得： 即橙子每千克的售价至少为元． 故答案为：． 【题型8】用一元一次不等式解决几何问题 【例8】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 【变式1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 【变式2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 第二部分【直通中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 【例2】（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元；（2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 解：（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 【题型10】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） （2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】（1）无缘组合；（2） 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 解：（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为元/件，甲超市一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折售卖；乙超市全部按标价的折售卖． （1）若该单位需要购买件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为______元；乙超市的购物金额为_______元； （2）假如你是该单位采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【答案】（1），；（2）当时，选乙超市支付的费用较少；当时，两家超市支付的费用一样；当时，选择甲超市支付的费用较少 【分析】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解答本题的关键． （1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可； （2）设单位购买件这种文化用品，所花费用为元，可得当时，，显然此时选择乙超市更优惠，当时，，再分三种情况讨论即可． 解：（1）解：甲超市一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折售卖， 该单位需要购买件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， 乙超市全部按标价的折售卖， 该单位需要购买件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， 故答案为：，； （2）解：设单位购买件这种文化用品，所花费用为元，又当时，可得， 当时，， 显然此时选择乙超市更优惠， 当时，， ， 当时，则，解得：， 当时，两家超市的优惠一样， 当时，则，解得：， 当时，选择乙超市更优惠， 当时，则，解得：， 当时，选择甲超市更优惠， 综上，当时，选乙超市支付的费用较少；当时，两家超市支付的费用一样；当时，选择甲超市支付的费用较少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$