专题1.6 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.6 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（精选精练） 第一部分 考点与题型目录 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件................................................1 【题型2】利用二次根式的性质化简..............................................2 【题型3】复合二次根式的化简..................................................2 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断......................................3 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较..................................................4 【题型6】二次根式的混合运算..................................................4 【题型7】二次根式的化简求值..................................................5 【题型8】回归教材............................................................6 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算..................................................6 【题型10】二次根式混合运算化简求值...........................................7 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】二次根式与最值探究.................................................7 【题型12】二次根式与规律探究.................................................7 【题型13】二次根式与拓展探究.................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）若且，则，结出如下几个结论：①；②；③；④式子有意义，则，其中正确的共有个（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_____； （2）若，求的“麓外区间”． 3．（17-18八年级上·江西景德镇·期末）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知，求的值． 解：由，解得：，∴．∴． 请继续完成下列两个问题： （1）若x、y为实数，且，化简：； （2）若，求的值． 【题型2】利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）当时， ；若，则 ． 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： （1）当时，化简：______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值． 【题型3】复合二次根式的化简 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 2．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则 ． 3．（22-23九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第四个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断 1．（21-22八年级下·河北邯郸·阶段练习）课堂上学习了二次根式的乘法“”，学生小鸥写了五个等式： ①；②；③； ④；⑤．其中成立的是（    ） A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④ D．①③④ 2．（22-23八年级下·河南安阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，是轴上一点，若使的点有个，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级下·福建福州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【题型6】二次根式的混合运算 1．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·湖北荆州·期末）符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）（1）， （2） 若 ，求的值是多少？ 【题型7】二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 2．（2023·河北石家庄·一模）[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A] （1）把多项式A分解因式为 ； （2）当时，多项式A的值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【题型8】回归教材 1．（2018·江西赣州·一模）人教版初中数学教材在八年级下册介绍过《海伦﹣﹣﹣秦九韶公式》：如果一个三角形的三边为a，b，c，记p= ，则该三角形的面积为S=……①，被称之为海伦公式；是古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的． 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261年），也提出了利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S= ……②，被称之为秦九韶公式．经过论证，公式①、②实质上是同一个公式；现已知一个三角形的三边为4，，5，依据公式，计算得到三角形面积S= ． 2．（2018·山东潍坊·中考真题）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ． 3．（24-25八年级上·四川·期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 【题型10】二次根式混合运算化简求值 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为 ． 2．（19-20八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 3．（20-21八年级上·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】二次根式与最值探究 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【题型12】二次根式与规律探究 1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 2．（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖南常德·期末）观察下列分母有理化 ，…… 从计算结果中找出规律 ． 【题型13】二次根式与拓展探究 1．（19-20九年级上·全国·单元测试）能力拓展： ；；；________． …：________． 请观察，，的规律，按照规律完成填空． 比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ 同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________ 2．（20-21八年级下·浙江·期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1， ） （2）根据图象，当的取值范围为 时，的周长大于的周长． 3．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 二次根式（全章挑战综合压轴分类专题）（精选精练） 第一部分 考点与题型目录 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件................................................1 【题型2】利用二次根式的性质化简..............................................4 【题型3】复合二次根式的化简..................................................6 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断......................................8 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较.................................................10 【题型6】二次根式的混合运算.................................................13 【题型7】二次根式的化简求值.................................................14 【题型8】回归教材...........................................................18 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算.................................................20 【题型10】二次根式混合运算化简求值..........................................23 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】二次根式与最值探究................................................25 【题型12】二次根式与规律探究................................................27 【题型13】二次根式与拓展探究................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 第1部分 综合篇 【考点一】二次根式性质 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）若且，则，结出如下几个结论：①；②；③；④式子有意义，则，其中正确的共有个（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义，，则，同理，故正确；设，得，代入可得正确；设，，，则，，，运用幂的运算法则，得，故错误；由题知，且且，解得且，故错误． 解：，则，同理，故正确； 设根据定义得，即，故正确； 设，，， 则，，；， ， ，故错误； 根据定义，式子有意义，则有且且， 解得且，故错误． 故选：． 【点拨】本题考查新定义的理解，理解新定义，结合幂的运算法则作相应计算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_____； （2）若，求的“麓外区间”． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 解：（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 3．（17-18八年级上·江西景德镇·期末）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知，求的值． 解：由，解得：，∴．∴． 请继续完成下列两个问题： （1）若x、y为实数，且，化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2）3 【分析】本题考查二次根式的非负性，解一元一次不等式组； （1）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y的取值范围，然后化简即可； （2）根据非负数的性质列出方程组，然后求出x、y，再代入代数式进行计算即可得解． 解：（1）由，解得：， ∴． ∴； （2）由：，解得：． ∴． ∴． 【题型2】利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据二次根式性质，结合，，逐项进行化简，然后得出答案即可． 解：A．∵，， ∴， ∴无意义，故A错误； B．∵，， ∴，故B正确； C．∵，， ∴，故C错误； D．∵，， ∴，故D错误． 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）当时， ；若，则 ． 【答案】 1或2 【分析】此题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简和求值即可． 解：当时，， 若，则或， 解得，1或2， 故答案为：，1或2 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： （1）当时，化简：______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 【题型3】复合二次根式的化简 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 2．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，已知等边三角形中，，等腰Rt中，，延长、交于点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】作CH⊥BE，根据已知条件求出CH，DH，利用勾股定理即可求出CD的长． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC=2，∠BAC=60° ∵是等腰Rt△ ∴AB=BD=2 ∵， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=4，BE= ∴C点AE的中点 ∴CE=2 如图，作CH⊥BE ∴CH=， ∵BC=CE=2 ∴BH= ∴DH=BD-BH=2- ∴CD= 故答案为：． 【点拨】此题主要考查三角形内长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、等腰直角三角形、勾股定理及二次根式的运算． 3．（22-23九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第四个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果； （2）由规律得出答案，再验证即可． 解：（1）解：由题意可得：第四个等式为：， 故答案为：； （2）猜想的第n个等式为：， 验证： 所写等式正确． 【点拨】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键． 【题型4】二次根式运算与性质化简综合判断 1．（21-22八年级下·河北邯郸·阶段练习）课堂上学习了二次根式的乘法“”，学生小鸥写了五个等式： ①；②；③； ④；⑤．其中成立的是（    ） A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐个判断即可． 解：①正确； ②如，而，所以错误； ③正确； ④正确； ⑤如时，，错误； 所以正确的有①③④， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算和二次根式的性质，能举出反例是解此题的关键． 2．（22-23八年级下·河南安阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】先分别写出各个选项的逆命题，再逐个进行判断即可． 解：A、“二次根式是负数”的逆命题是“如果是负数，那么是二次根式”是假命题，不符合题意； B、“若最简二次根式与能合并成一项，则”的逆命题为：“若，则最简二次根式与能合并成一项”，是假命题，不符合题意； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，是真命题，符合题意； D、“当时，”的逆命题为“当时，则”，是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次根式的性质，写出命题的逆命题，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，以及二次根式的性质． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 解：A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 【考点二】二次根的运算化简求值 【题型5】二次根式的大小比较 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，是轴上一点，若使的点有个，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得线段的长为，再根据三角形三边关系可得，即时这样的点有个，经验证可得答案． 解：如图：    ，， ， 当直线与轴交点为时，则 ，只有一个交点， 要使的点有个，根据三角形三边关系可得：， 由于，，， 故选：D． 【点拨】此题考查的是三角形的三边关系、坐标与图形的性质，二次根式的大小比较，勾股定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 2．（19-20八年级下·福建福州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 解：a=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 解：（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【题型6】二次根式的混合运算 1．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案 解：A．原式＝ ，结果为有理数； B．原式＝ ，结果为有理数； C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数； D．原式＝ ，结果为有理数． 故选择C． 【点拨】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键． 2．（21-22八年级下·湖北荆州·期末）符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新运算将6*2变换成，然后再计算即可． 解：由题意得：． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二次根式的混合运算是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）（1）， （2） 若 ，求的值是多少？ 【答案】（1）12；（2）；（3）1 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，以及字母的值，求代数式的值，绝对值和二次根式的非负性质． （1）化简绝对值，求算术平方根以及立方根最后再进行二次根式加减运算． （2）化简绝对值，求算术平方根以及立方根最后再进行二次根式的加减运算． （3）利用非负性质，先求出x，y，m的值，然后代入计算即可． 解：（1）原式 （2）原式    （3）由题可知：，， ∴，，， 则 【题型7】二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 2．（2023·河北石家庄·一模）[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A] （1）把多项式A分解因式为 ； （2）当时，多项式A的值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案； （2）把代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案． 解：（1）根据题意得； 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 解：（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8】回归教材 1．（2018·江西赣州·一模）人教版初中数学教材在八年级下册介绍过《海伦﹣﹣﹣秦九韶公式》：如果一个三角形的三边为a，b，c，记p= ，则该三角形的面积为S=……①，被称之为海伦公式；是古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的． 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261年），也提出了利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S= ……②，被称之为秦九韶公式．经过论证，公式①、②实质上是同一个公式；现已知一个三角形的三边为4，，5，依据公式，计算得到三角形面积S= ． 【答案】8． 【分析】直接把已知数据代入进而得出S的值． 解：S==8． 故答案为8． 【点拨】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简数据是解题关键． 2．（2018·山东潍坊·中考真题）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得． 解：由题意知输入的值为32=9， 则输出的结果为[（9+3）﹣]×（3+） =（12﹣）×（3+） =36+12﹣3﹣2 =， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 3．（24-25八年级上·四川·期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3），见分析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据题意将式子分母有理化即可求解； （2）将原式的每一项分母有理化，进而即可求解； （3）计算，进而比较大小，即可求解． 解：（1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 （3）解： 第2部分 压轴篇 【考点三】二次根的运算化简求值 【题型9】二次根式的混合运算 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，分母有理化，还涉及因式分解，难度较大，正确计算化简是解题的关键． 先分母有理化化简，然后对分子提取公因式，再分母有理化即可． 解： ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算 （1）； （2）（）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． （1）解： ＝ ＝－＋ ． （2）解： ＝· ． 【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型10】二次根式混合运算化简求值 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 解：， ， ， ， ，， ∴ ， ∴ ， ∴原式， 故答案为：． 2．（19-20八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 解：原式 当时， 原式 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键． 3．（20-21八年级上·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 【答案】（1）40；（2） 【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得； （2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可． 解：（1）， ， ，， ． （2），， ，， ． 【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点． 【考点四】二次根的运算化简求值 【题型11】二次根式与最值探究 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 【题型12】二次根式与规律探究 1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 【答案】 解：∵第1个数： 第2个数： 第3个数： 第4个数： ∴第n个数 当n=2021时， 故答案为. 【点拨】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键. 2．（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 解：由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点拨】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 3．（22-23八年级上·湖南常德·期末）观察下列分母有理化 ，…… 从计算结果中找出规律 ． 【答案】2022 【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算． 解：原式 ． 故答案为：2022． 【点拨】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 【题型13】二次根式与拓展探究 1．（19-20九年级上·全国·单元测试）能力拓展： ；；；________． …：________． 请观察，，的规律，按照规律完成填空． 比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ 同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________ 【答案】（1）、；（2）;（3） 【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式； （2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或减去一个数，等式仍成立，求得，然后利用（1）的结论解答； （3）利用（2）的结论进行填空. 解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以 ，， （2）∵， ∴， ∴，即 ， ∴； （3）由（1）、（2）知，，，； 故答案为（1）、；（2）;（3） 【点拨】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同. 2．（20-21八年级下·浙江·期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1， ） （2）根据图象，当的取值范围为 时，的周长大于的周长． 【答案】 【分析】（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可； （2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案. 解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长， 而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键. 3．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 【点拨】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$