专题1.4 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.4 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【题型1】根式变形法..........................................................1 【题型2】平方法..............................................................1 【题型3】分母有理化法........................................................2 【题型4】分子有理化法........................................................2 【题型5】作差比较法..........................................................3 【题型6】倒数法..............................................................3 【题型7】二次根式大小比较综合................................................3 【题型8】中考链接............................................................4 【题型9】拓展延伸............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】根式变形法 【例1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小：5 （填“>”，“=”或“<”） 【变式1】（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 【题型2】平方法 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”、“=”或“<”）． 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【题型3】分母有理化法 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式1】（16-17八年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则（  ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【变式3】（23-24八年级·全国·假期作业）比较大小： ．（用＞，＝或＜填空） 【题型4】分子有理化法 【例4】（18-19八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（     ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【变式1】（18-19九年级·浙江杭州·）已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． （1）利用分母有理化，计算：的值． （2）利用分子有理化，比较与的大小． 【题型5】作差比较法 【例5】（20-21八年级上·福建漳州·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型6】倒数法 【例6】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【变式2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【题型7】二次根式大小比较综合 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【变式3】（21-22七年级上·江西景德镇·期中）比较大小：（1） ；（2） ． 第三部分【链接中考与延伸拓展】 【题型8】中考链接 【例1】（2021·湖南怀化·中考真题）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【例2】（2015·福建泉州·中考真题）比较大小：4 （填“＞”或“＜”）． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： （1）的有理化因式是______，______； （2）比较大小：______（填>，<，或中的一种） （3）计算： （4）已知，求的值． 【例2】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出_____； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【题型1】根式变形法..........................................................1 【题型2】平方法..............................................................2 【题型3】分母有理化法........................................................4 【题型4】分子有理化法........................................................5 【题型5】作差比较法..........................................................7 【题型6】倒数法..............................................................8 【题型7】二次根式大小比较综合...............................................10 【题型8】中考链接...........................................................13 【题型9】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】根式变形法 【例1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小：5 （填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质，先整理，，则，即可作答． 解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：>． 【变式1】（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 解：且 即 故选：A． 【点拨】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 将转换为，转换为，比较大小即可． 解：，， ， 故， 故答案为： 【题型2】平方法 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 【答案】（1）>；（2），见分析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 解：（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的乘法运算，先比较，的平方，从而可得答案． 解：，，， ． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【题型3】分母有理化法 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【变式1】（16-17八年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 解：∵; ∴a-b=; ∴a-b<0; ∴a<b; 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级·全国·假期作业）比较大小： ．（用＞，＝或＜填空） 【答案】＞ 【分析】先根据分母有理化的法则进行计算，化简为，再根据实数比较大小的方法：若，则；若，则；若，则，即可得出答案． 解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：＞． 【点拨】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，实数的大小比较，平方差公式，掌握相应的法则是解题的关键． 【题型4】分子有理化法 【例4】（18-19八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（     ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 解：∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点拨】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 【变式1】（18-19九年级·浙江杭州·）已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可． 解： 即 故选：D． 【点拨】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键． 【变式2】（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． （1）利用分母有理化，计算：的值． （2）利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 解：（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【题型5】作差比较法 【例5】（20-21八年级上·福建漳州·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将两式相加，再判断结果的符号，从而得到结果． 解： = = ∵， ∴原式=＜0， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握作差法比较大小． 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案. 解：∵（）-（）=3-2=3-=->0， ∴， ∵（）-（）=-=-=>0， ∴， ∴， 故选D. 【点拨】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键. 【题型6】倒数法 【例6】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 解： ， ∵， ∴． 故答案为： 【题型7】二次根式大小比较综合 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 【变式3】（21-22七年级上·江西景德镇·期中）比较大小：（1） ；（2） ． 【答案】 > > 【分析】（1）利用分子有理化比较大小即可； （2）利用作差法结合配方法即可比较大小； 解：（1）∵， ， 而>， ∴<， ∴>, （2）∵， ∴ 故答案为：（1）>；（2）> 【点拨】本题主要考查了比较大小方法的应用，本题比较大小方法有：分子有理化和作差法，结合题目特征，灵活选用恰当的方法比较大小是解题的关键． 第三部分【链接中考与延伸拓展】 【题型8】中考链接 【例1】（2021·湖南怀化·中考真题）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大． 解：， ∴， 故答案为：＞． 【点拨】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键． 【例2】（2015·福建泉州·中考真题）比较大小：4 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 解：根据二次根式的意义可知被开方数越大二次根式的值越大，由4=可知＞，因此可得4＞． 故答案为＞． 考点：二次根式的大小比较 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： （1）的有理化因式是______，______； （2）比较大小：______（填>，<，或中的一种） （3）计算： （4）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 解：（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 【例2】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出_____； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可； （3）根据，，即可求解． 解：（1）解： 故答案为： （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，，且， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$