1.1等腰三角形 第三课时教学设计2024－2025学年北师大版数学八年级下册

八年级下册分课时教学设计 《三角形的证明》第3课时（1.1等腰三角形(3）教学设计 课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。 反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。 学习者分析 等腰三角形的性质，前节课学生已经学习。本节课利用性质来判断是否为等腰三角形。学生已有基本知识（等边对等角），学习新知识（等角对等边）比较简单。 综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。 教学目标 1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 2. 通过动手操作探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形. 3.理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题. 4.了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美. 5.过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点 理解并掌握判定等腰三角形的方法. 教学难点 反证法的运用和掌握。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：知识再现； 教师活动1： 1、等腰三角形的定义 两条边相等的三角形叫等腰三角形. 2、二.等腰三角形的性质 等边对等角； 三线合一； 轴对称性. 学生活动1： 1、学生回顾知识。 活动意图说明： 回顾旧知为新授铺垫。 环节二：探究等腰三角形的判定定理 教师活动2： 1、已知：在△ABC中，∠B=∠C． 求证：AB=AC． 证明：过点A作∠BAC的平分线交BC于点D. 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2（角平分线的定义）， ∠B=∠C（已知）， AD=AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）， ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).过点B作BM⊥AC于点M，过点C作CN⊥AC于点N. 2、几种证明判断定理的方法：过点A作AD⊥BC于点D. 过点A作BC边的中线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F. 过点A作AO∥BC，过点B作BG⊥AO于点G，过点C作CH⊥AO于点H 过点C作CH⊥AO于点H. 分别作∠ABC、∠ACB的平分线，交AC于点P，交AB于点Q. 小结： 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”） 几何语言：在△ABC中， ∵∠B=∠C；∴ AC=AB 即△ABC为等腰三角形. 学生活动2： 1、学生证明等腰三角形的判定定理 活动意图说明： 学生独立证明三角形的判定定理，然后教师挑选几种具有代表性的证明整理归纳，培养学生的自学能力 环节三：探究反证法 教师活动3： 一、尝试证明命题： 1、一个三角形中不可能有两个直角。 2、已知：在△ABC中，AB≠AC, 求证：∠B ≠ ∠ C”。 3、如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析： 　　由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知　a2 +b2 ＝c2 . 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2　成立吗？请说明理由。 探究： 假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2　成立。 二、反证法的定义： 假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。 三、反证法的步骤： ① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。 ② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。 ③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 练习：写出下列各结论的反面： （1）a//b （2）a≥0 （3）b是正数 ( 4 )至多有一个 （5）至少有一个 例1：已知：如图，在△ABC中,若∠C是直角， 求证：∠B一定是锐角. 证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角。 找矛盾：当∠B是直角时，则∠B+∠C=90° 这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾 当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180° 这与三角形的三个内角和等于180°矛盾 结论：综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角. 例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∴　∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°　　　　　　　　　　　　　　　　　 即∠A+∠B+∠C>180°。 这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 例3: 若a1、a2、a3、a4、a5都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1试说明这五个数中至少有一个大于或等于 。 证明：假设5个数都小于1/5 则 a1+a2+a3+a4+a5小于++++<1 这与a1+a2+a3+a4+a5＝1相矛盾 因此假设不成立，所以这五个数中至少有一个大于或等于 常用互为否定的表述形式： 学生活动3： 1、 让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明。 2、 总结归纳反证法的步骤。 活动意图说明： 让学生在体验、探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。并对不同的形式的命题做反设，进一步熟练反证法证。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.说出下列命题的反面： （1）a是实数。【a不是实数】 （2）a不大于2。【a大于或等于2】 （3）至少有2个。【至多有1个】 (4) 最多有一个。【最少有2个】 2.用反证法证明“若a≠ b,则a ≠ b”的第一步是　【a= b】 3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE， AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝【6】. 4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 【40°或140°】 . 5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是【∠B＝∠C或AE＝AD 】(添加一个条件即可） 6.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是【任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形 】 7．梁正、赵光卓、任一杰三个人，梁正说赵光卓撒谎，赵光卓说任一杰撒谎，任一杰说梁正、赵光卓都撒谎。则任一杰一定是在撒谎，你知道为什么吗？ 选做题： 8、华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。 　有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。 3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。 【综合拓展类作业】 9、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°）， ∠A=40°，∠B=70° （已知）， ∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质）， =180°－40°－70°=70°， ∴∠C=∠B（等量代换）， ∴AB=AC 10 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC. 证明：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2， ∴ ∠B= ∠1（等量代换）. ∴ AB=AC（等角对等边）. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是:【设这个三角形是等腰三角形】 2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　C　) A．有一个解　　B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解 3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB. (1)∠1=【36°】，∠2=【72°】， 图中的等腰三角形有.△ABC、 △DBA、 △BCD E (2)如果AD=4cm，则BC=【4cm】 (3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有【5】 个等腰三角形. 4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(　C　) A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50° 5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(　C　) A．1组　　B．2组　 C．3组　　 D．4组 6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm， 则该等腰三角形的底边长为(　A　) A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 选做题： 7.有两个三角形，它们的三个角分别为 （1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°. 怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看. 【综合拓展类作业】 8.已知：如图，AB=DC，BD=CA. 求证：△AED是等腰三角形 证明：在△ABD与△DCA中， AB=DC， ∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）. BD=CA(已知)， AD=DA（公共边）， ∵ ∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）. ∴AE=DE（等角对等边）. ∴△AED是等腰三角形. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$