18.1.2平行四边形的判定 课件2024－2025学年人教版数学八年级下册

平行四边形的判定（2） 新课导入 我们已经学习了平行四边形的哪些判定方法？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 除此之外，是否还存在其他的判定方法？ 简记为： 两组平行或相等 一组平行且相等 新课探索 思考 由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互相平分”，逆向思考，互换条件与结论，试写出它的逆命题. 条件 结论 平行四边形的两条对角线互相平分 逆命题 一个四边形是平行四边形 这个四边形的两条对角线互相平分 一个四边形的两条对角线互相平分 这个四边形是平行四边形 你认为它是真命题吗？ 试 一 试 作一个两条对角线互相平分的四边形. 步骤: 1. 任意画两条相交直线 m、n，记交点为 O; 2. 以点 O 为中心，分别在直线 m、n 上截取 OB 与 OD、OA 与 OC，使OB = OD，OA = OC，顺次连结所得的四点，即得到一个两条对角线互相平分的四边形 ABCD. B D A C O n m 四边形 ABCD 是平行四边形 已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 A B C D O A B C D O 证明 ∵OA = OC，OB = OD， ∠AOB =∠COD， ∴△AOB ≌△COD， ∴AB = CD. 同理可得 AD = BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD， ∴ ABCD 是平行四边形. A B C D O 平行四边形的判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 例 1 如图，在 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. A B C D O E F 证明 连结 BD，交 AC 于点 O. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD， OA = OC (平行四边形的对角线互相平分). 又∵ AE = CF ， ∴OA – AE = OC – CF. 即 OE = OF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). A B C D O E F 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 OA 和 OC 的中点，四边形 BFDE 是平行四边形吗？请说明理由. 练习 证明 四边形 BFDE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD， OA = OC (平行四边形的对角线互相平分). 又∵ OE = OA ， OF = OC. ∴ OE = OF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 1 2 1 2 我们知道平行四边形的对角相等，那么反过来，对角相等的四边形是平行四边形吗？请你试着证明. 思考 例2 已知：如图，在四边形 ABCD 中∠A =∠C，∠B =∠D. 求证：四边形 ABCD是平行四边形. 证明：∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴∠A +∠B = 180°. ∴AD∥CB， 同理可得：AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）. 创新训练： （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ （2）一组对边相等,一组对角 相等的四边形是平行四边形吗？ C A B E △ABE为等腰三角形 作△DCA≌△EAC ∴ ∠B = ∠E = ∠D AB = AE = DC 显然,四边形ABCD不是 平行四边形. D . 创新训练： （3）有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？ 创新训练： 1、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A、∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A=∠B=∠C=90 º C.∠A+∠B=180º ，∠B+∠C=180 º D.∠A+∠B=180 º ，∠C+∠D=180 º A B C D D 练习一 2. 如图所示，D 为△ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，且 AE = CE，FC∥AB． 求证：CD = AF． 练习二 证明：∵FC∥AB， ∴∠DAC =∠ACF，∠ADF =∠DFC. 又∵AE = CE， ∴△ADE ≌△CFE（AAS）， ∴DE = EF. ∵AE = CE， ∴四边形 ADCF 为平行四边形． ∴CD = AF. 往往平行四边形的判断和性质结合应用，一般先判定，再性质 3. 如图，□ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作两条直线分别与 AB，BC，CD，AD 交于 G，F，H，E 四点． 求证：四边形 EGFH 是平行四边形 ． 练习三 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO = CO，AD∥CB. ∴∠OAE =∠OCF. 又∵∠AOE =∠COF， △AOE ≌△COF（ASA）， ∴OE = OF， 同理可得：OG = OH. ∴四边形 EGFH 为平行四边形. 选 做 题 中考链接 1.已知，如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,∠B=∠DEF，BE=CF. 求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形。 B A E D C F 选 做 题 中考链接 考考你？ 2.如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M，N,∠A=∠F, ∠1=∠2. （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE=2,连结BN,若BN平分∠DBC，求CN的长。 C D E F M N A B 1 2 选 做 题 中考链接 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AM和BN相交于点P，且BM=AC，AN=MC，△EMC是等腰直角三角形。 （1）求证：四边形MENA是平行四边形； （2）求∠BPM的度数。 P A B C N M E 课堂小结 总 结 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定方法 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 几种容易产生误判的命题: 2.有两组边相等的四边形是平行四边形吗? 图1 图2 3.对角线相等的四边形是平行四边形吗? 图3 4.有两组邻角互补的四边形是平行四边形吗? 5.有一组对角相等的四边形是平行四边形吗? 6.有两组角相等的四边形是平行四边形吗? 7.一条对角线平分另一条对角线的四边形 是平行四边形吗? 8.一组对边相等,一组对角相等的四边形是 平行四边形吗？ 图4 C A B E △ABE为等腰三角形 作△DCA≌△EAC ∴ ∠B = ∠E = ∠D AB = AE = DC 显然,四边形ABCD不是 平行四边形. D . 图5 $$