7.1 同底数幂的乘法 同步练习 2024-2025学年苏科版七年级数学下册

苏科版七年级数学下 7.1同底数幂的乘法 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．计算： 2．计算： (1)； (2)． 3．规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 4．规定新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 5．（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 6．若，求n的值． 7．回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 8．（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 9．规定，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值． 10．规定，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 11．已知． (1)求的值； (2)求的值． 12．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： (2)令，，，试说明下列等式成立的理由：． 13．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 14．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 15．阅读理解 解：设①      则② ，得      所以原式= 扩展运用 (1) (2) 16．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 17．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求的值． 18．一般的，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)观察（1），猜想： （且，，）； (3)已知，求的值（且） 19．材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 20．一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为，则．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． (1)下列各“劳格数”的值：______，______，______． (2)观察（1）中的数据易得，你发现此时满足关系式是______． (3)由（2）的结果，请你猜想与且之间的关系，并证明你的猜想． (4)根据上述结论解决下列问题：已知，，求的值和的值．（且）． 21．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么． (1) ； (2)计算：． (3)探索：与的大小关系，并说明理由． 22．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 23．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版七年级数学下 7.1同底数幂的乘法 同步练习》参考答案 1．． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，先把底数化为同底数幂，再计算乘法，最后合并同类项即可,掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算， （1）根据同底数幂的乘方将原式化为，再根据有理数的乘方进行运算即可； （2）先去括号，再进行合并同类项即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【详解】（1）原式； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 4．(1)8； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由可得 ． （2）解：由可得．                 因为， 所以,                 解得． 5．（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 6． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据公式，得到，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 7．(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 8．（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【详解】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．(1) (2) 【解析】略 10．(1)16 (2) 【详解】解：（1）由题意，得． （2）因为，所以，所以，所以，所以． 11．(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的运算及逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． （1）根据，可得出，再根据同底数幂的乘除法即可得出答案； （2）将转化为再得到，最后将代入，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 12．(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查新定义运算，有理数的乘方，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）由，结合新定义运算法则可知； （2）由新定义运算法则得出，，，从而得出，再根据同底数幂的乘法法则可知，即可证明． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，，， 所以，，． 因为， 所以，即， 所以， 所以． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键． （1）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案； （2）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 则， 得，， 解得：， ； （2）解：设， 则， 得，， 解得：， ． 14． 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．设，求出，用，求出的值，进而求出S的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合计算，规律型-数字变化类，解题的关键是利用材料掌握求和的方法． （1）根据阅读材料将表示为S，再表示出，再利用，可得，等式两边同时除以2即可得S的值，即可求解． （2）根据（1）进行解答即可． 【详解】（1）设①， 将等式两边同时乘以3得：②， 将②－①得：， 即，即； （2）设①， 将等式两边同时乘以3得：②， 将②－①得：， 即，即 16．(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 17．(1)； (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算． （1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得： ，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴； （2）∵如果，那么我们规定， ∴由，可得， ，可得， ，可得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 18．(1)2，4，6 (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，，写成对数式； （2）设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，据此计算即可； （3）由，得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：，，， ；； 故答案为：2；4；6； （2）设，， 则，， ， 根据对数的定义，， 即； 故答案为：． （3）由，得， ， 根据对数的定义，． 19．(1)2；4；6 (2) (3)； 【分析】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． （1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2；4；6． （2）解：设，， 则，， ∴，， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴ ． 20．(1)1；3；4 (2) (3)猜想，证明见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了新定义，同底数乘法计算： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则； （4）根据（3）的结论可得，则． 【详解】（1）解：∵ ∴，，； 故答案为：1；3；4； （2）解：由（1）可得； （3）解：猜想，证明如下： 设， ∴，， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 21．(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，，计算即可． （2）根据题意，，，根据公式计算即可． （3）根据题意，设，则，，根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．本题考查了新定义计算，同底数幂的乘法，正确理解定义，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴ 故答案为：6． （2）∵，， ∴ （3）．理由如下： 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 23．(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$