专题09 实数之单元重难点检测卷（重难点常考题型专练）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第八章 实数单元重难点检测卷 （测试时间；100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填写在括号中。） 1．（2023-2024七年级·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是的算术平方根 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根以及算术平方根，立方根的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【解答】解：的平方根是，故选项A正确； 的平方根是，故选项B正确； 是的算术平方根，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选C． 2．（2023-2024七年级·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（   ） A．2.7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为， 故选：D． 3．（2023-2024七年级下·湖北恩施·期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可． 【解答】解：由题意知，，， ∵， ∴， 当，， 当，， ∴， 故选：C． 4．（2023-2024七年级·河南商丘·期末）若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A．3 B． C．16 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可． 【解答】解： 与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， ，即这个数是9． 故选D． 5．（2023-2024七年级·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【解答】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 6．（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】 设长方形纸片的长为，则宽为，先根据长方形的面积公式可得，从而可得长方形纸片的长为，宽为，再根据无理数的估算即可得． 【解答】解：设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得：， 解得（负值已舍）， 则长方形纸片的长为，宽为， ， ， ， 则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是， 故选：C． 7．（2023-2024七年级·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【解答】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2023-2024七年级·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【解答】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 9．（2023-2024七年级·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【解答】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 10．（2023-2024八年级·北京石景山·期中）对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（   ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】：A． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算①根据新运算的运算方法，分类讨论：，，判断出是否等于即可；②由①，推得，所以不一定成立；③举反例，判断出与的关系即可． 【解答】解：①时， ，， ； 时， ，， ； ①符合题意． ②由①，可得：， 当时， ， 不一定等于， 当时， ， 不一定等于， 不一定成立， ②不符合题意． ③当时， 取， ， 不成立， ③不符合题意， 说法中正确的有1个：①． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2023-2024七年级·广东广州·期末）的平方根是 ； ． 【答案】 3 【分析】根据平方根以及立方根的计算法则即可解答； 【解答】的平方根是：； ； 故答案为：；3． 【点评】该题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，解答的关键是熟悉这些概念，注意正负号． 12．（2023-2024七年级·福建泉州·期末）在实数中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小比较．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据题意可得，最小的实数为 ． 【解答】∵，，，且， ∴， ∴， ∴最小的实数是． 故答案为：． 13．（2022-2023七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】4或2或0． 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解答】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0． 14．（2023-2024七年级·甘肃嘉峪关·期末）若，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，然后根据算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：， 且， 即，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的非负性和算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x，y的值是解题的关键． 15．（2023-2024七年级·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【解答】解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点评】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 16．（2024-2025七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B到原点的距离，求出点B表示的数，然后分两种情况：当点B在点A右侧时和当点B在点A左侧时，利用两点间的距离公式，求出和，进行解答即可． 【解答】解：∵点B到原点的距离为， ∴点B表示的数是， 当点B在点A右侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数为， ∴， ∵点B，C到点A的距离相等， ∴， ∴当点B表示的数是时，点C表示的数是：； 当点B在点A左侧时， ∵点A表示的数为1，点B表示的数是， ∴， ∴， 点C表示的数是， 综上可知：点C表示的数为：或， 故答案为：或． 17．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解答】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 18．（2024-2025七年级上·浙江宁波·期末）整数满足，其中，则的最大值是 ． 【答案】1024． 【分析】本题考查平方，立方根，代数式求值，先根据已知条件确定b和可能的值，进而确定，推出，再分情况讨论求出和c可能的值，最后求出比较大小即可． 【解答】解：整数满足， 为整数， ， 或或或， 或或或， 当时，，不成立， 又 ， ， ， ， 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上可知，整数的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，， 当整数的值为2，8，2时，； 当整数的值为2，8，时，； 当整数的值为2，，8时，； 当整数的值为2，，时，； 综上可知，的最大值是1024． 故答案为：1024． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2023-2024七年级·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值的求解，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用立方根以及算平方根分别化简得出答案； （2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案． 【解答】（1）解： ； （2） ． 20．（2023-2024七年级·内蒙古呼和浩特·期中）求下列式中的x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的意义， （1）利用立方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可． 【解答】（1）， ， ． （2）， ， ，， ，． 21．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 【答案】(1)；； (2)①见解析；② (3)，；， 【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可； （2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以的长为半径画弧，则此弧与数轴正方向的交点所表示的数为； ②利用数轴上点的特点进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【解答】（1）解：点A表示数为；点B表示数为；点D表示数为． 故答案为：；；． （2）解：①如图， ∵正方形的面积为：， ∴正方形的边长； ②根据数轴可知，． 故答案为：． （3）解：无理数：，； 负数：，． 故答案为：，；，． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数与数轴． 22. （2023-2024七年级·广西南宁·期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求x和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)x和b的值分别为和 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的整数部分是解题的关键． （1）由题意知，，，可求，则，然后作答即可； （2）由，可得，根据的平方根为，代值求解即可． 【解答】（1）解：由题意知，，， 解得，， ∴， ∴x和b的值分别为和； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 23．（2021-2022七年级下·浙江台州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， （2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【解答】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 24．（2022-2023七年级下·西藏那曲·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． （1）在数轴上，把点向左平移个单位长度得到点，求点表示的数； （2）若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； （3）若点从点向点以每秒个单位长度向运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动问当点运动秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【解答】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移个单位长度得到点， ∴点表示的数为； （2）解：∵点表示的数是所表示数的相反数， ∴点表示的数为； （3）解： ∴运动秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为 因为表示的数是， ， ， ∴，即． ∴P在C点的左侧． 25.（2023-2024七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【解答】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 26．（2022-2023八年级·北京房山·期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“4节点” （1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为，则n=___________； （2）若点D为点A，B的“节点，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ___________； （3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的 “n节点”，求n的值． 【答案】见解析 【分析】（1）根据新定义求解； （2）设未知数，根据新定义列方程求解； （3）先求点E表示的数，再计算n的值． 【解答】（1）解：， 故答案为：6； （2）解：设D表示的数为x， 则|， ∵，， ∴或， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：设E点表示的数是y， 则：， 当时， ， 解得； 当时， ， 解得（舍去）； 当时， ， 解得； ∴． 当时， ， 当时， ． ∴n的值为或4． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数单元重难点检测卷 （测试时间；100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填写在括号中。） 1．（2023-2024七年级·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是的算术平方根 D． 2．（2023-2024七年级·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（   ） A．2.7 B． C． D． 3．（2023-2024七年级下·湖北恩施·期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023-2024七年级·河南商丘·期末）若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A．3 B． C．16 D．9 5．（2023-2024七年级·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（   ） A． B． C． D．8 6．（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（   ） A． B． C． D． 7．（2023-2024七年级·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2023-2024七年级·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 9．（2023-2024七年级·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（   ） A． B． C． D． 10．（2023-2024八年级·北京石景山·期中）对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（   ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2023-2024七年级·广东广州·期末）的平方根是 ； ． 12．（2023-2024七年级·福建泉州·期末）在实数中，最小的实数是 ． 13．（2022-2023七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 14．（2023-2024七年级·甘肃嘉峪关·期末）若，满足，则的值是 ． 15．（2023-2024七年级·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2024-2025七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是 ． 17．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 18．（2024-2025七年级上·浙江宁波·期末）整数满足，其中，则的最大值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2023-2024七年级·四川南充·期中）计算： (1)； (2)． 20．（2023-2024七年级·内蒙古呼和浩特·期中）求下列式中的x值： (1) (2) 21．（2023-2024七年级·浙江温州·期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示． (1)点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______． (2)①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接．__________________ (3)将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：________________________； 负数：________________________ 22. （2023-2024七年级·广西南宁·期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求x和b的值； (2)求的平方根． 23．（2021-2022七年级下·浙江台州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， （2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 24．（2022-2023七年级下·西藏那曲·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． （1）在数轴上，把点向左平移个单位长度得到点，求点表示的数； （2）若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； （3）若点从点向点以每秒个单位长度向运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动问当点运动秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 25.（2023-2024七年级·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 26．（2022-2023八年级·北京房山·期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“4节点” （1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为，则n=___________； （2）若点D为点A，B的“节点，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ___________； （3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的 “n节点”，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$