专题08 实数运算中的新定义与规律探究问题（压轴题常考题型专练）2024-2025学年人教版数学七年级下册

专题08 实数运算中的新定义与规律探究问题 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 实数】 【题型梳理】 【题型1】 实数运算中的新定义问题 【题型2】 与实数有关的规律问题探究 【题型1】 实数运算中的新定义问题 1．（2023-2024七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2023-2024七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 3．（2022-2023八年级·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算 如下，如:，那么 ． 4．（2024七年级上·云南普洱·期末）规定：用表示大于的最小整数，例如等；用［m]表示不大于的最大整数，例如， （1） ； ； （2）如果整数满足关系式：，则 ． 5．（2023-2024八年级·全国·专题练习）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1． 6.（2022-2023七年级·河北保定·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11． 若， （1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ； （2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ． 7．（2022-2023八年级上·四川达州·期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行 次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是 ． 8．（2023-2024七年级下·重庆潼南·期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 9．（2023-2024七年级·福建福州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 10．（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_________； （2）若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． （3）实数x，y，m满足关系式： ，求的算术平方根的“麓外区间”． 【题型2】 与实数有关的规律问题探究 11.（2023-2024七年级·福建莆田·期中）设表示最接近x的整数（，n为整数），则（   ） A．5151 B．5150 C．5050 D．5049 12．（2023-2024七年级下·安徽亳州·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是 ． 13.（2023-2024七年级下·广西崇左·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 14．（2022-2023八年级·湖南岳阳·期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 15．（2022-2023七年级下·江西南昌·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中 ， ； ； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则 ； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ； (3)试比较与a的大小． 当 时，；当 时，；当 时，． 16．（2023-2024八年级·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 17．（2023·安徽合肥·校考一模）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 18．（2021-2022七年级·浙江杭州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 19．（2023-2024八年级·河南南阳·阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图． 化简：． 20．（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 实数运算中的新定义与规律探究问题 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 实数】 【题型梳理】 【题型1】 实数运算中的新定义问题 【题型2】 与实数有关的规律问题探究 【题型1】 实数运算中的新定义问题 1．（2023-2024七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可． 【解答】解：， ， 解得：，故①正确； 若，， 则，故②正确； ， 解得：，故③错误； ， 当时，有最小值，故④错误． 故选：B． 2.（2023-2024七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【解答】解：， 故答案为：23． 3．（2022-2023八年级·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算 如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级上·云南普洱·期末）规定：用表示大于的最小整数，例如等；用［m]表示不大于的最大整数，例如， （1） ； ； （2）如果整数满足关系式：，则 ． 【答案】 3 3 【分析】本题考查了实数的新运算问题，正确理解定义是解题的关键． （1）根据定义的内涵计算即可． （2）根据定义，将等式，转化为方程，求解即可． 【解答】（1）；； 故答案为：3，． （2）根据定义， ，转化为方程， 解得， 故答案为：3． 5．（2023-2024八年级·全国·专题练习）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1． 【答案】4 【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1． 【解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 经过4次操作可以变为1； 故答案为：4． 【点评】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键． 6.（2022-2023七年级·河北保定·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11． 若， （1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ； （2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ． 【答案】 1 【分析】（1）若，根据题意进行计算即可得； （2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，再算出第三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得． 【解答】解：（1）若，第一次“F运算”的结果为：， 第二次“F运算”的结果为：， 故答案为：，； （2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为， 第三次运算结果为：， 第四次运算结果为：， 第五次运算结果为：， 第六次运算结果为：， ∵ ∴第2022次“F运算”的结果为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律． 7．（2022-2023八年级上·四川达州·期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行 次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是 ． 【答案】 3 255 【分析】根据可用表示不超过a的最大整数，反推回去每次求最大整数可得答案． 【解答】解：由题意得，这样对72需进行3次操作后变为1； ∵表示不超过a的最大整数， ∴设，则a的最大值为， ∵第三次结果为1， ∴第二次结果为3 ∴第一次最大结果为15 ∵， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 故答案为：3；255 【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，反推是解题的关键． 8．（2023-2024七年级下·重庆潼南·期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 【答案】． 【分析】由是“中项两倍数”，得，再由能被整除，可得为整数，从而求得的值，再根据为有理数，为有理数，求得的值，最后由求得的值，便可求得． 【解答】解：是“中项两倍数”， ， 能被整除， 为整数， ， 为有理数， 为有理数， 或或， 当，时，， 解得舍， 当，时，， 解得，此时， 当，时，， 解得舍， 综上，， 故答案为：． 9．（2023-2024七年级·福建福州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)，3 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据已知可得，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，进而可得，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【解答】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根是3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴， ∴， ∴当时，的立方根为； 当时，的立方根为； ∴综上所述：的立方根为或． 【点评】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_________； （2）若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． （3）实数x，y，m满足关系式： ，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 1或37； (3) ． 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴无理数的“麓外区间”是， 故答案为： （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， ∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是一个完全平方数，， ∵， ∴满足题意的m、n的值为：或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根的“麓外区间”是． 【题型2】 与实数有关的规律问题探究 11.（2023-2024七年级·福建莆田·期中）设表示最接近x的整数（，n为整数），则（   ） A．5151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【分析】根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解. 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C. 【点评】本题是新定义运算，考查了实数的规律性问题，得出是解题的关键. 12．（2023-2024七年级下·安徽亳州·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是 ． 【答案】 【分析】根据题意给出的规律即可求出答案． 【解答】解：根据题意可知，每个分式的符号规律为一负一正 分子的规律： 分母的规律：2， 4， 8， 16， 32， 64，… 即为： 第10个数是： 故答案为： 【点评】本题考查了实数规律探索问题，解决本题的关键是否能根据题意找出规律，解决本题的难点在于是否能将转化为． 13.（2023-2024七年级下·广西崇左·期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 【答案】55 【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【解答】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：55． 【点评】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键． 14．（2022-2023八年级·湖南岳阳·期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 【答案】-22． 【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【解答】解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 15．（2022-2023七年级下·江西南昌·期末）观察表格，回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y z … (1)表格中 ， ； ； (2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则 ； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ； (3)试比较与a的大小． 当 时，；当 时，；当 时，． 【答案】(1)0.1；10；100 (2)①31.6；② (3)；或0； 【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可． 【解答】（1），，． 故答案为：0.1；10，100； （2）①∵， ∴． ②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）由表格中数据可知： 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：；或0；． 【点评】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键． 16．（2023-2024八年级·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【答案】(1)； (2)①；②；③当，；当时，；当， 【分析】本题考查了立方根的定义； （1）根据立方根定义直接计算即可； （2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可． 由定义推导并找到规律是解题的关键． 【解答】（1）解：， ，； （2）①与比较，被开方数扩大到1000倍， 立方根扩大到10倍 故答案为： ； ②立方根从边长，扩大到10倍， 被开方数扩大到倍 故答案为：； ③由题意得： 当， 当时， 当， 17．（2023·安徽合肥·校考一模）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解； （2）根据规律直接得出结果即可； （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据规律可知，， 故答案为： ； （3） ． 【点评】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． 18．（2021-2022七年级·浙江杭州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【答案】， ． 【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【解答】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， （6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数， 所以（6，6）表示的数为； 因为， 所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以 将，代入得 故答案为：，． 19．（2023-2024八年级·河南南阳·阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图． 化简：． 【答案】见解析 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【解答】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 20．（2023-2024七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】（1）两，9，3 ； （2）32 ，． 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【解答】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是． 学科网（北京）股份有限公司 $$