7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 第七章 复数 学习目标 1 2 3 掌握复数加、减运算的运算法则，培养数学运算的核心素养 了解复数加、减运算的几何意义，培养直观想象的核心素养 会利用运算法则的知识解决相关问题 复习回顾 1. 复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 3. 共轭复数 z＝a＋bi， ＝a-bi. 2. 复数的模 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.下面就来讨论复数集中的运算问题. 新课导入 在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，那你知道这个规则是什么吗？ 数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也相应成立. 我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律，那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？ 新知生成 复数的加法法则 设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和 我们规定，复数的加法法则如下: 显然，两个复数的和实质上就是将两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加，其结果仍然是一个复数. 追问 复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？ 两个复数相加，类似于两个多项式相加，即“合并同类项”. 新知探究 问题1 类比多项式的加法，复数的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 追问 能试着证明这个结论吗？ 即复数加法满足交换律和结合律. 复数加法的运算律 新知探究 3. 证明复数的加法满足交换律、结合律. ∴复数的加法满足交换律、结合律. 证明： 教材P77 新知探究 y x O 如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则 问题2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 说明向量 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. ——复数加法的几何意义 新知探究 问题3 我们知道，实数的减法是加法的逆运算．类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法? 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 的复数x+yi(x, y∈R)叫做复数a+bi(a, b∈R)减去复数c+di(c, d∈R)的差. 记作 根据复数相等的含义，可得 (a+bi)-(c+di) 即 这就是复数的减法法则，即两个复数的差是一个确定的复数. 两个复数相减，类似于两个多项式相减. 新知探究 问题4 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗? x O y 如图，设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则 说明向量 的差就是与复数(a-c)-(b-d)i 对应的向量. ——复数减法的几何意义 典例分析 例1 计算 (5－6i)＋(－2－i)－ (3＋4i). 解： 学以致用 教材P77 1. 计算： 解： 典例分析 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1,y1), Z2(x2,y2) 之间的距离. x O y 解： 复数减法的模|z1-z2|的几何意义： |z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离. 如：|z+(1+2i)|表示：______________________. 点Z 到点(-1,-2)的距离 |z+1+2i|=|z-(-1-2i)| |z|表示： _________________. 点Z与原点间的距离 学以致用 教材P77 解：(1) (2) (3) Z(a,b) A(1,0) B(a+1,b) 2. 如图，向量 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量： （1）z＋1； （2）z－i； （3）z＋(－2＋i) . Z(a,b) C(-2,1) D(a-2,b+1) Z(a,b) B(0,1) 学以致用 教材P77 4. 求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离: 解： 能力提升 题型一 复数的加、减运算 例题 1. 设，复数，若为纯虚数， 则 ( ) C A. B. 3 C. D. 或3 [解析] . 因为 为纯虚数， 所以 解得 . 能力提升 题型一 复数的加、减运算 例题 2. 已知 ， ， ， ， 若 ，则 ___. [解析] ， 解得 . 3 能力提升 题型二 复数加、减运算的几何意义 例题 3. (多选题) 表示( ) A.点与点之间的距离 B.点与点之间的距离 C.点到原点的距离 D.坐标为的向量的模 [解析] 由复数的几何意义知,复数与分别对应复平面内的点与点 , 所以 表示点 与点 之间的距离,故A正确,B错误； , 可表示点 到原点的距离,故C正确； , 可表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D正确. 故选 . ACD 能力提升 题型三 复数模的最值问题 例题 4. 已知且若则的最大值是( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 [解析] 设 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 则 ， 又 所以 ， 当 时， 有最大值，为4. 课堂小结 1. 复数代数形式的加减运算: 复数可以求和差，虚实各自相加减. 2.复数加减运算的几何意义: 本节课你学会了哪些主要内容？ 复数加减 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量加减 复平面的点坐标运算 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$