第9章 平面向量 章末题型归纳总结（能力篇）（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 题型三：向量的数乘运算 题型四：向量的数量积运算 题型五：向量的模、向量的夹角 题型六：向量的投影、投影向量 题型七：平面向量的实际应用 题型八：平面向量范围与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】如图，过D作直线，交AC于F，则， ∴， ∴，∴  ∴， 又B，D，C三点共线，∴， 故， 故选：C 【变式1-1】如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 【变式1-2】如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例2】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【解析】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 【变式2-1】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 【变式2-2】如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，. (1)当时，用，表示； (2)求的值，并求最小值. 【解析】（1）因为为边的中线，所以， 因为，，所以，， 所以， 即； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，， ， 由三点共线，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以最小值为. 【变式2-3】在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. (1)试用表示; (2)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置. 【解析】（1） 在 中，由 ，可得 ，且 ， 设 ，则 ， 又因为 三点共线，可得 ，解得 . 可得 . （2） 设 ，所以 ， 因为 ，又因为 ，三点共线，所以 ， 即，又因为，由平面向量基本定理得， 所以 ，解得 ，所以满足 . 题型三：向量的数乘运算 【例3】已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【解析】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故， 故答案为：5 【变式3-1】已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 【答案】3 【解析】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故答案为：3. 【变式3-2】已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则= ． 【答案】/0.3 【解析】∵，∴． 设中点为，中点为，则, ∵为的中位线，且， ∴，即． 故答案为：． 【变式3-3】在△中，为边上一点，且满足，设，则 【答案】1 【解析】依题意可得，所以，因此，所以. 故答案为：. 题型四：向量的数量积运算 【例4】设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，由题意可设， 对于A，由数量积的定义可得，故A错误； 对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确； 对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误； 对于D，由数量积的定义可得，故D错误； 故选：B. 【变式4-1】已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 【变式4-2】向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式4-3】如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即，解得， 又因为，可知点E为AB的中点， 则， 所以. 故选：D． 题型五：向量的模、向量的夹角 【例5】已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【解析】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 【变式5-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【解析】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【变式5-2】已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 【变式5-3】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【解析】（1）， . （2） . 题型六：向量的投影、投影向量 【例6】如图，已知O为平面直角坐标系的原点．，， (1)求和的坐标； (2)求向量与向量的夹角； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【解析】（1）依题意，设， 则， ， ， ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 设向量在向量的夹角为， 所以， 因为，所以. 所以向量与向量的夹角为； （3）由（1）可得， 所以在向量在向量上的投影长度为， 所以在向量上的投影向量的坐标为． 【变式6-1】已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【解析】（1）. （2）由，得， 所以.故. （3）由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 【变式6-2】在平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中． (1)求； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【解析】（1）因为，， ，又，所以，所以． （2）， 所以，解之得， 设向量和向量的夹角为θ，又， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 当时，，， 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为或 题型七：平面向量的实际应用 【例7】在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 【变式7-1】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 【变式7-2】数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为的外心，为的中点,所以, 因为为的垂心,所以, 所以, 易得 所以，所以. 因为为的重心，所以. 所以, 所以. 故选：B. 【变式7-3】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 题型八：平面向量范围与最值问题 【例8】在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【解析】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 【变式8-1】如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 【解析】（1）由题意知，，          所以， 所以三点共线； （2）在梯形中，， 易得， 设，         解法一：所以，        所以，                         当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为；   解法二：因为， 所以， ， 所以 ，             当且仅当时，等号成立，所以最小值为；      解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系， 则， 设，则，              由于，因此， 解得，，      因此，             故，            当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 【变式8-2】在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则， 所以. （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则， 所以. 【变式8-3】如图1，在中，，，点是的中点. （1）求证：； （2）直线过点且垂直于，为上任意一点，求证：为常数，并求该常数； （3）如图2，若，为线段上的任意一点，求的范围. 【解析】（1）中，延长到使得到长度相等， 连接，， ∵是线段的中点， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴. （2）∵， ∴. ∵，∴， ∵ . ∴. （3）中，∵，， 又， ∴ ，∴， 由（1）同理可证， ∴. 设，则， ， 的范围是. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 题型三：向量的数乘运算 题型四：向量的数量积运算 题型五：向量的模、向量的夹角 题型六：向量的投影、投影向量 题型七：平面向量的实际应用 题型八：平面向量范围与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例2】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【变式2-1】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【变式2-2】如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，. (1)当时，用，表示； (2)求的值，并求最小值. 【变式2-3】在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. (1)试用表示; (2)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置. 题型三：向量的数乘运算 【例3】已知所在平面内一点满足，则 ． 【变式3-1】已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 【变式3-2】已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则= ． 【变式3-3】在△中，为边上一点，且满足，设，则 题型四：向量的数量积运算 【例4】设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【变式4-2】向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 题型五：向量的模、向量的夹角 【例5】已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【变式5-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【变式5-2】已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【变式5-3】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 题型六：向量的投影、投影向量 【例6】如图，已知O为平面直角坐标系的原点．，， (1)求和的坐标； (2)求向量与向量的夹角； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【变式6-1】已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【变式6-2】在平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中． (1)求； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 题型七：平面向量的实际应用 【例7】在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【变式7-1】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 题型八：平面向量范围与最值问题 【例8】在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【变式8-1】如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点． (1)若，求证：三点共线； (2)若，求的最小值． 【变式8-2】在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 【变式8-3】如图1，在中，，，点是的中点. （1）求证：； （2）直线过点且垂直于，为上任意一点，求证：为常数，并求该常数； （3）如图2，若，为线段上的任意一点，求的范围. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$