5.1.3 导数的几何意义课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义 第五章 一元函数的导数及其应用 课时3 导数的几何意义 新知探究 探究一：导数的几何意义 情境设置 观察函数的图象,平均变化率表示什么? 瞬时变化率表示什么? 2 新知生成 知识点一 导数的几何意义 (1)如图，在曲线上任取一点 ，如果当点沿着曲线 无限趋近于点 时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点 处的切线. (2) 导数的几何意义：函数在 处的导数就是切线的斜率，即 . 3 一、导数的几何意义 例题1 已知曲线 . (1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点 的切线方程. 【解析】(1) 点在曲线 上， 曲线在点 处的切线的斜率 ， 曲线在点处的切线方程为，即 . (2) 设曲线与过点的切线相切于点， ，则切线的斜率 ， 切线方程为 ， 即 . 点 在切线上， ，即 ， ， ， ， 解得或 .故所求的切线方程为或 . 4 反思感悟 方法总结 求曲线在点处的切线方程，即给出了切点的坐标，求切线 方程的步骤： ①求出函数在处的导数 ； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为 .要注意“曲线 过点的切线”与“曲线在点处的切线”的区别，若题中所给出的点不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 5 新知运用 跟踪训练1 (1)求函数的图象在点处的切线方程． (2) 求抛物线过点 的切线方程． 【解析】(1) 因为函数的图象在点处的切线的斜率 ， 所以所求的切线方程为，即 . (2) 设切点为 ，则 ， ， 切线方程为 . 点 既在切线上，又在抛物线上， ， 切线方程为或 . 6 新知探究 探究二：利用图象理解导数的几何意义 情境设置 观察函数的图象，回答下列问题. 问题：函数的图象在处的切线的斜率 的值与0的大小关系是什么？图象在附近的变化情况如何？ 【解析】函数的图象在处的切线的斜率，这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减. 7 新知生成 知识点二 利用图象理解导数的几何意义 (1)若，则曲线在处的切线斜率 ； (2)若，则曲线在处的切线斜率，且函数在附近单调递增，越大，说明函数 的图象变化得越快； (3)若，则曲线在处的切线斜率，且函数在附近单调递减，越大，说明函数的图象变化得越快. 8 二、利用图象理解导数的几何意义 例题2 已知函数的图象如图所示，则与的大小关系是( ) . A. B. C. D.不能确定 【解析】由导数的几何意义可知,，分别是切线在点A，B处的切线的斜率，由题图可知 . B 9 反思感悟 方法总结 导数与函数图象升降的关系 (1)若函数在处的导数存在且 (即切线的斜率大于零)，则函数在附近的图象是上升的； (2)若 (即切线的斜率小于零)，则函数在附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢. 10 新知运用 跟踪训练2 已知函数的图象如图所示，则下列不等关系正确的是( ) . A. B. C. D. 【解析】 ， 为函数的图象在点 处的切线的斜率， 为函数的图象在点处的切线的斜率，根据图象可知 . C 11 新知生成 知识点三 导函数的概念 从求函数在处导数的过程可以看出， (1)当时，是一个唯一确定的数. (2)当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数)的导函数记作或 ，即 . 12 判断下列结论是否正确 (1) 若函数在处有导数，则函数在处的导数是 一个常数.( ) (2) 函数在处的导数值就是曲线在处的切线的斜率.( ) . (3)若直线与曲线相切，则直线与该曲线一定只有一个公共点.( ) (4) 函数没有导数.( ) √ √ × × 13 三、导函数的概念 例题3 已知函数 . (1) 求 ； (2) 求在 处的导数. 【解析】(1) ， ， . ( . 14 反思感悟 方法总结 用定义法求导数的步骤： (1)求出，； (2) . 15 新知运用 跟踪训练3 已知函数，求及 . 【解析】令，则 ， 所以， . 16 随堂检测 1.已知曲线在点处的切线方程为，则 ( ) . A.4 B. C. D.2 2. 已知二次函数的图象如图所示，则在，两点处的导数 与 的大小关系为___.(填“ ”或“ ”) 3.函数的导数 _____. D 17 随堂检测 4. 已知曲线在点处的切线斜率为16，则点的坐标为_______. 【解析】设点 ， 则 ， 令,解得， 点的坐标为 . 18 课堂小结 1.知识清单： (1)导数的几何意义； (2)利用图象理解导数的几何意义; (3)导函数的概念. 19 $$