5.1.2 导数的概念课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义 第五章 一元函数的导数及其应用 课时2 导数的概念 新知生成 知识点一 平均变化率 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从 变化到.这时，的变化量为，的变化量为 .我们把比值，即 叫作函数从到的平均变化率. 2 一、平均变化率 例题1 已知函数，分别计算当自变量从1变到3和从1变到2时的平均 变化率. 【解析】当自变量从1变到3时，函数的平均变化率为 ；当自变量从1变到2时，函数的平均变化率为 . 3 反思感悟 方法总结 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量 ； (2)再计算自变量的改变量 ； (3)得平均变化率 . 4 新知运用 跟踪训练1 求函数在区间上的平均变化率，并求当 ， 时平均变化率的值. 【解析】函数在区间上的平均变化率为 . 当，时，函数在区间上的平均变化率为 . 5 新知生成 知识点二 导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，那么称 在处可导，并把这个确定的值叫作在处的导数 (也称为瞬时变化率)，记作或 ，即 . 6 二、导数的概念 例题2 已知函数，试求 . 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 . 7 反思感悟 方法总结 求函数在处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 ； (2)求平均变化率 ； (3)取极限，得导数 . 8 新知运用 跟踪训练2 求函数在 处的导数. 【解析】因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 即函数在 处的导数为2. 9 三、导数定义的应用 例题3 已知函数的导函数为，且，则 ( ) . A.2 B. C.5 D.10 【解析】因为，所以 .故选D. D 10 反思感悟 方法总结 利用导数定义中公式计算时，要注意分子是否为函数值的增量与分母是否为自变量的增量，只有对应关系相同才能用导数的定义计算，否则要配凑系数，一般有如下结论： . 11 新知运用 跟踪训练3 设在可导，则 ( ) . A. B. C. D. 【解析】因为在 处可导， 所以 .故选D. D 12 四、导数的实际意义 例题4 某小型水槽放水时，出水量（单位：）与时间（单位： ）的函数关系为，求并说明它的实际意义. 【解析】当 时， ， 所以 . 说明在附近，水流大约以的速度流出. 13 反思感悟 方法总结 函数在处的导数的实际意义：函数在处的导数 反映了函数在处的瞬时变化率，在不同的背景下有不同的含义. 14 新知运用 跟踪训练4 设某物体做直线运动，其运动时间𝑡（单位：）与位移（单位： ）之间的 关系为，则它在末的瞬时速度为( ) . A. B. C. D. 【解析】 ， . B 15 随堂检测 1.函数在上的平均变化率是( ) . A.0 B.1 C.2 D. 2. 设函数，若，则 ( ) . A.2 B. C.3 D. 3. 若函数可导，则 ( ) . A. B. C. D. A A C 16 随堂检测 4.已知一物体做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位： ）满足 ，求该物体在时的瞬时速度. 【解析】 由 ， 得 ， 所以 ， 所以该物体在时的瞬时速度为 . 17 课堂小结 1.知识清单： (1)平均变化率； (2)导数的概念; (3)导数定义的应用； (4)导数的实际意义. 18 $$