精品解析：广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高一上学期期末数学试题

深圳市高级中学高中园2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学试题 命题人：张星江 审题人：吴斌 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 第I卷 （本卷共计58分） 一、选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，所以． 故选：B． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一的零点. 故选：C. 4. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案. 【详解】根据特殊角的三角函数值，可知.故选D. 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，即可得答案. 【详解】解：函数， 由，，得，， 所以函数的单调递减区间为， 故选：A. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到. 【详解】由得， 平方得， 即，得. 故选：C 8. 已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的性质，基本不等式以及指数函数、对数函数的单调性逐个判断即可. 【详解】由，同除以得，A选项正确； 由基本不等式，又，所以等号不成立，所以，B选项正确； 由在上单调递减，因为，所以，C选项不正确； 取，，得，，得，D选项不正确． 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角 D. 已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由终边相同的角的特点可得答案；对于B，利用三角函数值在各象限的符合即可得出结果；对于C，由所在象限，即可求得所在象限；对于D，由弧度制下扇形的面积公式可得答案. 【详解】对于A，与的终边相同，都是x轴的非负半轴，故A正确； 对于B，，是第二象限角，所以，故B错误； 对于C，若是第二象限角，即，则，则是第一象限或第三象限角，故C错误； 对于D，设此扇形的弧长为，则，解得，故D项正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确； 对于B，当时，，易知在上不单调， 所以函数在区间上不单调，即B错误； 对于C，因为， 因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，则命题的否定是__________________________. 【答案】∀x∈R，x2+x-1≥0. 【解析】 【分析】否定命题的结论，把存在量词改为全称量词． 【详解】命题的否定是． 故答案为：． 【点睛】本题考查命题的否定．注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换． 13. 当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式恒成立对二次项系数k的取值进行分类讨论，再由判别式可解得k的取值范围. 【详解】当时，不等式可化为，显然恒成立， 当时，若不等式对一切实数x都成立， 需满足，且，即； 综上可得，, 即k的取值范围是. 故答案为： 14. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围 【详解】由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数. 因为，且在R上为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数. 又，所以， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式. （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案； （2）由对数的运算性质化简即可得出答案. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）函数在内单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，通过变形即可求解； （2）任取，可证，从而得出结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由得，整理可得； 【小问2详解】 函数在内单调递减；证明如下： 由（1）知， 在上任取，，且， ， 由，得，，， 所以，即， 所以函数在内单调递减. 17. 已知. （1）若为锐角，求的值. （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和求得，结合两角和的余弦公式计算即可； （2）根据题意可得，利用二倍角的正切公式求出，将所求式子弦化为切，代入求值即可． 【小问1详解】 由为锐角，，得， ； 【小问2详解】 由得， 则， . 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完． （1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)． （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元． 依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5； 当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－. 所以P(x)＝； （2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13， 当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13； 当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数. 当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝. 由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题. 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） 根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . （2） 左边 ， 右边 . 由，得， 所以. （3） 仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，. 所以仅有1个零点. 【解析】 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可. （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明. （3）易得，再证明当时，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2024-2025学年第一学期期末考试 高一数学试题 命题人：张星江 审题人：吴斌 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3、考试结束，监考人员将答题卡收回. 第I卷 （本卷共计58分） 一、选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 4. A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角 D. 已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，则命题的否定是__________________________. 13. 当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________． 14. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式. （1） （2）. 16. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 17. 已知. （1）若为锐角，求的值. （2）求的值. 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完． （1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)． （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若函数，判断的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $