精品解析：广东省深圳外国语学校高中园2024-2025学年高一上学期期末数学试题

深外高中园2024－2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单选题（本题共8小题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的运算即可求解. 【详解】由，， 可得：， 故选：D 2. 设、 、均为实数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，B，当时，显然不成立， 对于C：由可得：，正确. 对于D，取，满足，显然不成立， 故选：C 3. 若幂函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数定义可知其系数为1，解方程可得结果. 【详解】根据幂函数定义可知，，解得. 故选：A 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在定理直接判断. 【详解】由，得，， ，，， 因为，所以函数的零点所在区间为. 故选：A. 5. 的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期， 故选:D. 6. 已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，是上的增函数， 而由函数是上的增函数，可得 ，即得，推不出. 则“”是“函数是上的增函数”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 8. 已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按函数能否取到分类讨论求出的值或范围即可得解. 【详解】由，得，由的最小值为，得，即， 当时，的最小值，则，此时，符合题意，因此； 若的最小值大于，则，且，解得， 余弦函数在上单调递减，因此存在唯一，使得， 因此或，所以所有满足条件的的积属于区间. 故选：B 【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到进行分类是求解问题的关键. 二、多选题（本题共3小题，每题6分） 9. 若集合，则实数的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 10. 已知，则对任意的，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合对数运算逐项分析判断. 【详解】因为，， 所以，故A正确，B错误； ，故C错误，D正确； 故选：AD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定形式是“，” B. 当时，的最小值为4 C. D. “（）”是“（）”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】写出命题“，”的否定形式判断选项A；求得当时，的最小值判断选项B；求得的值判断选项C；求得“（）”与“（）”的逻辑关系判断选项D. 【详解】选项A：命题“，”的否定形式是 “，”判断正确； 选项B：当时，，令， 则在单调递减，最小值为5， 则当时，的最小值为5.判断错误； 选项C：由， 可得.判断正确； 选项D：（）， 可化为或或或（）， 故“（）”是“（）”的充分不必要条件.判断错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每题5分） 12. 函数的定义域为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义，则，即， 解得或.故的定义域：或. 故答案为：或. 13. 已知的定义域且在上单调递增，若，，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，不等式等价于，利用函数单调性求解即可. 【详解】因为，故，故， 而，故， 故，故为上的偶函数， 因为，所以不等式，即为． 故，故，解得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 14. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出的图象，设，得到方程，设结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足或，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，当时， ， 因为，可得，所以在单调递增，， 又由时，为单调递减函数，且， 因为函数是上的偶函数，画出函数的图象，如图所示， 设，则方程可化为， 由图象可得： 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有4个实数根； 当时，方程有2个实数根； 当时，方程有1个实数根； 要使得有6个不同的根， 设是方程的两根，设， ①，当时，可得，可得， 此时方程为，解得，不满足，所以无解. ②，即，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 化简求各式的值： （1）； （2） （3）已知，计算的值； 【答案】（1） （2）0 （3）0 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可解出； （2）根据对数的运算性质即可解出. （3）由，可得，然后由可得答案； 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 由题意， . 【小问3详解】 由，化简得，因此. 所以； 16. （1）设 ，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值； （3）化简求值． 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，，求出和，利用两角和的余弦公式求出，可得的值； （2）括号里切化弦，通分，辅助角公式化简，再与括号外算式利用倍角公式和诱导公式化简即可； （3）利用两角和的正切公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】（1） 为锐角，，则， 为锐角，，则， 得， ，为锐角，，则； （2） ； （3）. 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数在内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由； （3）若都有恒成立.求实数m的取值范围； 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意.利用正弦函数的图象的对称性.求得函数的对称中心． （2）由题意.根据正弦函数的单调性.得出结论． （3）由题意.求得函数的最大值和最小值.可得实数m的取值范围． 【小问1详解】 对于函数， 令，，求得，， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 当，有， 当时，函数单调递减，即，求得， 可得函数的减区间为， 故函数在内存在单调减区间． 【小问3详解】 由，有，， 故函数的最大值为1，最小值为； 若都有恒成立， 则， 故实数m的取值范围为. 19. 已知偶函数和奇函数满足：． （1）求解析式； （2）解不等式； （3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性构造方程，解方程组得解； （2）利用对数函数单调性解不等式得解； （3）利用复合函数的单调性求出函数最值，原问题可化为，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数，， 为偶函数，． ，① ，② 联立①②得，， ． 【小问2详解】 ． ， ，， 不等式的解集为． 【小问3详解】 ， 当时，令为增函数， 由在上单调递增知，知在单调递增， 所以的最小值为． ， 由在上单调递减，单调递增， 知在单调递减，的最大值为． 当时，． 存在实数满足， ， ． ， 在取到最大值，， ，解得，或． 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深外高中园2024－2025学年第一学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单选题（本题共8小题，每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、 、均为实数，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分） 9. 若集合，则实数的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 10. 已知，则对任意的，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定形式是“，” B. 当时，的最小值为4 C. D. “（）”是“（）”的必要不充分条件 三、填空题（本题共3小题，每题5分） 12. 函数的定义域为______. 13. 已知的定义域且在上单调递增，若，，则不等式的解集为_______． 14. 已知定义在上的偶函数，当时满足，关于 的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 化简求各式的值： （1）； （2） （3）已知，计算的值； 16. （1）设 ，为锐角，且，，求的值； （2）化简求值； （3）化简求值． 17. 已知关于 的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于 的不等式 （3），恒成立，求的范围． 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数在内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由； （3）若都有恒成立.求实数m的取值范围； 19. 已知偶函数和奇函数满足：． （1）求解析式； （2）解不等式； （3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $