精品解析： 福建省南平市政和县2024-2025学年 上学期八年级期中质量监测数学试题

2024-2025学年上学期八年级期中质量监测 数 学 试 题 命题人：黄爱华 叶永芳 审核人：黄爱华 叶永芳 （全卷共6页，3大题，共25小题；满分：120 分；考试时间：150分钟） 一、选择题：（本大题每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车脚架 C. 伸缩门 D. 旧门钉木条 4. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是7cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 7. 等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 14cm 8. 如图 在中，，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，为的中点，若，的面积是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 ________ （只写一个即可，不添加辅助线）． 13. 如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为________ 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 15. 如图．在中，，．若，则______． 16. 如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 三．解答题（共86分） 17. 如图，点在同一直线上，．求证：． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，在中，，直线经过点A，于点E，于点F，求证：． 20. 如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 21. 等边三角形的边长为，点D沿方向从点C出发向点A运动，点E从B出发沿的延长线向右运动，已知点D、E都以每秒的速度同时开始运动，运动过程中与相交于点P．求运动几秒后，为直角三角形？ 22. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°． （1）作∠B的平分线BD，交AC于点D； （2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE． 23. 如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形，证明你的结论． 24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在CE上，AF⊥CB，垂足为F. (1)若AC＝10，求四边形ABCD的面积； (2)求证：CE＝2AF. 25. 【探索发现】 如图①，已知在△ABC中，BAC= 45°，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE相交于F． （1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC，（用>，<，=填空）； （2）若ABC=67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图②，在△ABC中，ADBC，垂足为D，已知BAC=45°，C=22.5°，AD= ，求△ABC的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期八年级期中质量监测 数 学 试 题 命题人：黄爱华 叶永芳 审核人：黄爱华 叶永芳 （全卷共6页，3大题，共25小题；满分：120 分；考试时间：150分钟） 一、选择题：（本大题每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 选项C，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可解． 【详解】解：A、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； B、，，长度为的三条线段能组成三角形，符合题意； C、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； D、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选B． 3. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车脚架 C. 伸缩门 D. 旧门钉木条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 4. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的内角和可以表示成，外角和都等于，故可列方程求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n， 则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是7cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而推出的周长为，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的长为； 故选A． 6. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定．根据全等三角形的判定及直角三角形全等的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； D、两锐角相等和直角对应相等，没有边相等，不能证明两直角三角形全等，该选项符合题意． 故选：D． 7. 等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为（ ） A. 6cm B. 10cm C. 6cm或10cm D. 14cm 【答案】B 【解析】 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26﹣6﹣6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6cm为底边时，则腰长=（26﹣6）÷2=10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 8. 如图 在中，，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义，解答本题的关键是掌握三角形内角和定理和角平分线的定义． 由三角形内角和定理和角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故选：C． 9. 如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：①是等腰三角形，；②折叠后和一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形 ；④和一定是全等三角形，其中正确的有：( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了图形的翻折变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③④正确，无法判断和是否相等． 【详解】根据矩形的性质得到，， 在和中， ， ∴，故④正确； ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 故③折叠后得到的图形是轴对称图形也正确； ∵无法判断和是否相等，∴②错误， 综上可知：①③④正确， 故选：C． 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，为的中点，若，的面积是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，连接，，根据等腰三角形三线合一性质得，再根据三角形的面积公式求出的长，根据垂直平分线的性质得，可推出的长为的最小值，由此可得结论．能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点为中点， ∴， ∵的面积是，， ∴，即， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为． 故选：A． 二、填空题（本大题每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点， 关于x轴对称则横坐标不变，纵坐标为相反数即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 ________ （只写一个即可，不添加辅助线）． 【答案】∠APO=∠BPO（答案不唯一） 【解析】 【详解】OA=OB结合已知条件可得△AOP=≌△BOP（ASA），当∠OAP=∠OBP或∠APO=∠BPO时，利用全等三角形的判定（AAS）可得△AOP≌△BOP． 解：已知点P在∠AOB的平分线上 ∴∠AOP=∠BOP ∵OP=OP，OA=OB ∴△AOP=≌△BOP． 故填OA=OB． 13. 如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于E，根据补角的定义得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：延长交于E， ， ， ， ， 故答案为： 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 15. 如图．在中，，．若，则______． 【答案】54° 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可． 【详解】∵ AF=EF， ∴ ∠A=∠AEF， ∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°， ∴ ∠A=36°， ∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°． 故答案为：54°． 【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 16. 如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③错误； 故答案为：①②． 三．解答题（共86分） 17. 如图，点在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．求出，根据推出，即可得结论． 【详解】解：， ， 即， 在与中， ， ， ． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析，，， （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示， 由图知，，，； 【小问2详解】 解：． 19. 如图，在中，，直线经过点A，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明：于点于点F， ， 在和中，， ， ， ， ， ∵直线经过点A， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得，再由直角三角形的性质得，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解题的关键． ，，结合，得，得．根据，，即得平分． 【详解】证明：∵于点F，于点E， ， 在和中， ， ， ． 又于点F，于点E， 平分． 21. 等边三角形的边长为，点D沿方向从点C出发向点A运动，点E从B出发沿的延长线向右运动，已知点D、E都以每秒的速度同时开始运动，运动过程中与相交于点P．求运动几秒后，为直角三角形？ 【答案】秒 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质．先判断运动之后为直角三角形则，．设x秒时，为直角三角形，则，根据角所对的直角边＝斜边的一般建立方程，求出其解即可． 【详解】解：是等边三角形且边长等于 ∵运动之后为直角三角形 ， ， ， 设需运动x秒， ∵点D，E都以每秒的速度同时运动， ， ， ． ∴运动秒后，为直角三角形． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°． （1）作∠B的平分线BD，交AC于点D； （2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线； （2）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点； （3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE． 试题解析：（1）作出∠B的平分线BD； （2）作出AB的中点E. （3）证明： ∵∠ABD=×60°=30°,∠A=30°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD， 在△ADE和△BDE中， ∴△ADE≌△BDE(SSS). 23. 如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）120°，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由已知条件易得∠EAD=∠CAD，∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，从而可得∠B=∠C，进一步可得AB=AC，由此即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，因此当∠BAC=60°，即∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形． 【详解】解：（1）∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． 故△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下： ∵∠CAE=120°， ∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°， 又∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形． 24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在CE上，AF⊥CB，垂足为F. (1)若AC＝10，求四边形ABCD的面积； (2)求证：CE＝2AF. 【答案】(1) 50；(2)证明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； （2）过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求出AF=AG，进而求出CG=AG=GE，即可得出答案． 详解：(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△ADE中， AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE， ∴△ABC≌△ADE(SAS)． ∴S△ABC＝S△ADE，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ADE＋S△ACD ＝S△ACE＝AC·AE＝×102＝50. (2)∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠ACE＝∠AEC＝45°.由(1)知△ABC≌△ADE， ∴∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠ECF. 过点A作AG⊥CD，垂足为点G. ∵AF⊥CB，∴AF＝AG.又∵AC＝AE， ∴∠CAG＝∠EAG＝45°， ∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC， ∴CG＝AG＝GE， ∴CE＝2AG＝2AF. 点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，直角三角形的性质和应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型. 25. 【探索发现】 如图①，已知在△ABC中，BAC= 45°，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE相交于F． （1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC，（用>，<，=填空）； （2）若ABC=67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图②，在△ABC中，ADBC，垂足为D，已知BAC=45°，C=22.5°，AD= ，求△ABC的面积． 【答案】（1）=；（2）AF=2BD，见解析；（3）8 【解析】 【分析】（1）证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AE，证明△CBE≌△FAE（ASA），即可得出结论； （2）结论：AF=2BD．只要证明△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题； （3）如图中，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G．只要证明BC=AD，利用三角形面积公式，即可解决问题． 【详解】（1）∵∠BAC=45°，BEAC， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE=AE， ∵ADBC， ∴∠C+∠CBE=∠C+∠FAE=90°， ∴∠CBE =∠FAE， 在△CBE和△FAE中， ， ∴△CBE≌△FAE（ASA）， ∴AF=BC； （2）结论AF=2BD． 理由：∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°， ∴∠C=180-∠BAC-ABC=67.5°， ∴∠C=∠ABC， ∴△ABC是等腰三角形，且AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=BC， 由（1）得：AF=BC=2BD； （3）如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G． ∵∠AHC=90°， ∴∠HAC=∠HCA=45°， ∴AH=HC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADB=∠BHC=90°， ∵∠ABD=∠CBH， ∴∠GAH=∠BCH， ∵∠AHG=∠CHB=90°， ∴△AHG≌△CHB， ∴BC=AG， ∵∠ACB=22.5°，∠HCA=45°， ∴∠ACD=∠GCD=22.5°， 又∵CD⊥AG， ∴△AGC是等腰三角形，且GC=AC， ∴AD=GD=2， ∴BC=AG=2AD=4， ∴△ABC的面积为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $